完整双曲线知识点总结及练习题推荐文档文档格式.docx
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(F2)到准线
h(I2)的距离为
I2(h)的距离为
2.2
abc——
cc
—c
渐近线方程
by
x(
.212
虚、bb
—),c,—工c,—
头a和a
b
x-ya
(头>
将右边的常数设为0,
即可用解二兀二次的方法求出渐近线的解
共渐近线的双曲线系
方程
x2y
a2b
k(k0)
22yx
2,2
ab
双曲线
2x
~2a
爲1与直线ykxb的位置关系:
b2
X利用07
V-1
.21十七2斗_.二—、治七壬口中助[口[[卡為宀
b2转化为兀二次力程用判力别式确疋。
直线和双曲线的位置
ykxb
二次方程二次项系数为零直线与渐近线平行。
相交弦
AB
的弦长|ab|Jik%/(x1x2)24x1x2
通径:
y2y1
2b2
与椭圆一样
过双曲线上一点的切
线
XoXy°
ya2b2
1或利用导数
YoYx°
xa2b2
四、双曲线的参数方程:
xasecxacos
椭圆为
ybtanybsin
五、弦长公式
[提醒]解决直线与椭圆的位置关系问题时常利用数形结合法、根与系数的关系、整体代入、设而不求的思想方法。
3、特别地,焦点弦的弦长的计算是将焦点弦转化为两条焦半径之和后,利用第二定义求解
六、焦半径公式
22
双曲线笃每1(a>
0,b>
0)上有一动点M(x0,y0)
exoa,|MF21exo
eX)a,|MF21eX)a
左焦半径:
r=|ex+a|
右焦半径:
r=|ex-a|
当M(xo,y。
)在左支上时|MFi|
当M(x0,y0)在右支上时IMF^!
|
左支上绝对值加-号,右支上不用变化
双曲线焦点半径公式也可用“长加短减”原则:
(与椭圆焦半径不同,椭圆焦半径要带符号计算,
而双曲线不带符号)MF1exoa构成满足抽尸'
|mf22a
MF2ex0a
注:
焦半径公式是关于Xo的一次函数,具有单调性,当M(xo,y。
)在左支端点时|MFi|ca,
IMF2Ica,当M(X0,y°
)在左支端点时|MR|ca,|MF2|ca
七、等轴双曲线
1(a>
0)当ab时称双曲线为等轴双曲线
2。
离心率e2;
3。
两渐近线互相垂直,分别为y=x;
4。
等轴双曲线的方程x2y2,0;
八、共轭双曲线
以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线,
通常称它们
互为共轭双曲线。
222
z仝与0
2.2J2
aba
y_
—2
互为共轭双曲线,它们具有共同的渐近线:
y_ob2
九、点与双曲线的位置关系,
直线与双曲线的位置关系
1点与双曲线
占
八、、
P(Xo,yo)在双曲线
~2
.2
x
y
P(x°
y°
)在双曲线
1(a
直线与双曲线
代数法:
设直线l:
ykx
m,双曲线
~~2
0,b
0)的内部
0)的外部
0)上
Xq
(b2
k2)x2
2a2mkx
a2m2
(1)
0时,
(2)m
B,k
—ka—或a
k存在时,若
-2
若b2a2k2
殳1(aq,-
a2b20
-,直线与双曲线交于两点
xo
2xo~2a
y0
yc
-計
0)联立解得
k不存在时,直线与双曲线没有交点;
a2k2
代值验证,如x2y21
—,直线与双曲线渐近线平行,直线与双曲线相交于一点;
a
2amk)
4(b2
ak)(
0时,m2
0,直线与双曲线相交于两点;
0,直线与双曲线相离,没有交点;
2222222222
amab)4ab(mbak)
0时m2b2a2k20,
k2
2,2
mb
直线与双曲线有一个交点;
相切
k不存在,ama时,直线与双曲线没有交点;
a直线与双曲线相交于两点;
十、双曲线与渐近线的关系
0,焦点在y轴上)
卜一、双曲线与切线方程
1、双曲线—
b21(a
0,b0)上一点P(x0,y0)处的切线方程是-02卑
1。
2、过双曲线—
21(a0,b0)外一点P(x°
y°
)所引两条切线的切点弦方程是
x°
Ycy
每1(a0,b0)与直线
椭圆与双曲线共同点归纳
十二、顶点连线斜率
双曲线一点与两顶点连线的斜率之积为K时得到不同的曲线。
椭圆参照选修2-1P41,双曲线参照选修2-1P55
1、A、B两点在X轴上时
(1)当斤>
0时轨迹是双曲线,除去A,B两点,与双曲线的标准方程4-4=1*比较知八小所以広卑;
(2)当k--1时轨迹是圆*除去呂两点;
(3)当时,轨迹是焦点落在調轴上的椭圆,除去A,
B两点,其中;
(4)当^<
-1时,轨迹是焦点落在y轴上的椭圆,除去A,B
b2
两点,其中k一孑
2、A、B两点在Y轴上时
结论3设点A「B的坐标分别为(Q-边(0上》直线AM,
BM相交于点虬且它们的斜率之积是k-^7所求点M的轨迹方程是升卜p
结沦4设点A「B的坐标分别为⑴-叭伽),直线AM,
BM相交于点M,且它们的斜率之积是亶务所求点M的轨迹方程是再各如叭
(2D
十三、面积公式
双曲线上一点P与双曲线的两个焦点构成的三角形称之为双曲线焦点三角形,
Spf.,f2bcot2
面积公式推导:
椭圆上一点与椭圆的两个焦点Fi,F2构成的三角形PF1F2称之为椭圆焦点三角形.Spf/2b2tan2
面积公式推导
二r1r2cos2b2
十四、(双曲线中点弦的斜率公式):
设M(x0,y0)为双曲线^2yy1弦AB(AB不平行y轴)的中点,则有kAB
证明:
设A(Xi,yi),B(X2,y2),则有kAB
yiy2
X2
Xi
X)
yi2
yf
两式相减得:
X-Ix2
0整理得:
XiX2
(yi
y2)(%y?
)
(XiX2)(X1X2)
2,因为M(xo,yo)是弦ABa
的中点,
所以koM
yo
Xo
2yo
2x0
■丄,所以kABkoM
X,X2
椭圆中线弦斜率公式
£
双曲线基础题
1•双曲线2x2—y2=8的实轴长是()
A•2B•22C•4D•42
x2
2.设集合P=x,yX4—y2=1,Q={(x,y)|x—2y+1=0},记A=PAQ,则集合A中元素的
个数是()
A•3B•1C•2D•4
3•双曲线16—七=1的焦点到渐近线的距离为()
A•2B•3C•4D•5
4•双曲线7—£
=1的共轭双曲线的离心率是•
能力提升
5•中心在原点,焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4,—2),则它的离心率为()
A..6B.5C.26D.25
6•设双曲线^2—七=1(a>
0)的渐近线方程为3xi2y=0,贝Va的值为()
a9
A•4B•3C•2D•1
7•从勒—£
=1(其中m,n€{—1,2,3})所表示的圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)方程中任取一个,
则此方程是焦点在x轴上的双曲线方程的概率为()
1423
A.2B.7D.4
y2x2
8•双曲线6—3=1的渐近线与圆(x—3)2+y2=r2(r>
0)相切,贝Ur=()
A..6B•3C•4D•6
.n
9•如图K51—1,在等腰梯形ABCD中,AB//CD且AB=2AD,设/DAB=0,张0,?
,以A、
B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e1,以C、D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e2,贝Ue1e=
10•已知双曲线二—2=1(a>
0,b>
0)的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60°
的直线与双曲线的
右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是•
11•已知双曲线x2—y2=1(a>
0)的一条渐近线方程为y=3x,它的一个焦点为F(6,0),则双
曲线的方程为•
12•(13分)双曲线C与椭圆2+3|=1有相同焦点,且经过点(.15,4)•
(1)求双曲线C的方程;
(2)若F1,F2是双曲线C的两个焦点,点P在双曲线C上,且/F1PF2=120°
求厶F1PF2的面积.
难点突破
13•
(1)(6分)已知双曲线x2—y2=1
x2v2
和椭圆—2+y2=1(a>
0,m>
b>
0)的离心率互为倒数,那么以a,
b,m为边长的三角形是()
A.锐角三角形
B•直角三角形
C•钝角三角形
D•锐角三角形或钝角三角形
(2)(6分)已知Fi、F2为双曲线C:
x2—y2=1的左、右焦点,点P在双曲线C上,且/FiPF2=60°
则|PFi||PF2|=()
A.2B.4C.6D.8
双曲线综合训练
、选择题(本大题共7小题,每小题5分,满分35分)
动点P到点M(1,0)及点N(3,0)的距离之差为2,则点P的轨迹是(
A.双曲线
设双曲线的半焦距为
B.双曲线的一支C.两条射线D.一条射线
c,两条准线间的距离为d,且cd,那么双曲线的离心率e等于(
过双曲线的一个焦点
F2作垂直于实轴的弦PQ,
F1是另一焦点,若/PFQ-,则双曲线的离心
率e等于(
A.、21
B.2C.21D.、2
4.双曲线mx2
1
1的虚轴长是实轴长的2倍,则m
5.双曲线
面积为1,
1(a,b
且tanPF1F2
12x
A.
5
3y2
C.3x2
12y2
6.若F1、F2为双曲线
曲线的右准线上,且满足
A..2
7.如果方程—
P
xA.
2qp
q
C.y-
2pqq
D.-
4
0)的左、右焦点分别为Fi,F2,点P为该双曲线在第一象限的点,
!
tan
PF2F1
1的左、
FQPM,OP
△PF1F2
2,则该双曲线的方程为(
右焦点,
5x2
12
3y21
O为坐标原点,点P在双曲线的左支上,点
(OF1OM)
OF1OM
(0),则该双曲线的离心率为(
1表示曲线,则下列椭圆中与该双曲线共焦点的是
xB.
二、填空题:
(本大题共
M在双
D.x—
2pq
3小题,每小题5分,满分15分)
9.若曲线-
1表示双曲线,则k的取值范围是
10•若双曲线
1的渐近线方程为y
丄3x,则双曲线的焦点坐标是
三、解答题:
2小题,满分30分)
11.(本小题满分10分)双曲线与椭圆有共同的焦
点Fi(0,5)冋0,5),点P(3,4)是双曲线的渐近线
与椭圆的一个交点,求渐近线与椭圆的方程。
12.(本小题满分20分)已知三点P(5,2)、F1(-6,0)、F?
(6,0)。
(1)求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆的标准方程;
(2)设点P、F1、F2关于直线y=x的对称「点分别为P、F;
、F?
,求以F;
为焦点且过点P
的双曲线的标准方程•
X『―1,所以a2=4,得a=2,所以2a=4.故实轴长为4.
„2
【基础热身】
1.C[解析]双曲线方程可化为48
X21
2.B[解析]由于直线x—2y+1=0与双曲线7—y2=1的渐近线y=-X平行,所以直线与双曲线只有一个交点,所以集合A中只有一个元素.故选B.
x2V2
3.
(5,0),一条渐近线是3x—4y=0,由点到直线的距离公
B[解析]双曲线-—9=1的一个焦点是式可得d=|3X5—0|=3.故选B.
9—y7=1,所以a=3,b=7,所以c=4,所以离心
4.4[解析]双曲线7—9=1的共轭双曲线是
3/9
率e=3.
【能力提升】
一x2y2
5.D[解析]设双曲线的标准方程为孑一^2=
—2)在渐近线上,所以b=舟.根据c2=a2+b2,可得c=£
解得e2=5所以e=F,故选D.
2a44
1(a>
0),所以其渐近线方程为y=牛乂,因为点(4,二^=1,解得e2=彳,所以e=h
a442
6.C[解析]根据双曲线x2—=1的渐近线方程得:
y=±
^x,即ayi3x=0.又已知双曲线的渐近线
a9a
方程为3x±
2y=0且a>
0,所以有a=2,故选C.
7.B[解析]若方程表示圆锥曲线,贝U数组(m,n)只有7种:
(2,—1),(3,—1),(—1,—1),(2,2),
(3,3),(2,3),(3,2),其中后4种对应的方程表示焦点在x轴上的双曲线,所以概率为P=7.故选B.
y=±
2x,圆心为(3,0),所以半径r=L±
243—^|=/6.故选A.
连接BD,设AB=2,贝UDM=sin0,在Rt△BMD中,由勾股定理
e*|AC|+|AD|=「5—4cosB+1,
K—
10.[2,+8)[解析]依题意,双曲线的渐近线中,倾斜角的范围是[60°
90°
所以tan60°
=.3,a
即b2>
3a2,c2>
4a2,所以e>
2.
11.
=1[解析]b=3,即b=,3a,而c=6,所以b2=3a2=3(36—b2),得b2=27,a2=9,
27a
所以双曲线的方程为—27=1.
12•[解答]
(1)椭圆的焦点为F1(0,—3),F2(0,3).
设双曲线的方程为y2—X2=1,贝Ua2+b2=32=9•①
又双曲线经过点C.15,4),所以a6—15=1,②
解①②得a2=4,b2=5或a2=36,b2=—27(舍去),
所以所求双曲线C的方程为y—X=1.
45
(2)由双曲线C的方程,知a=2,b=,5,c=3.
设|PF1|=m,|PF2|=n,贝V|m—n|=2a=4,
平方得m2—2mn+n2=16.①
在厶中,由余弦定理得(2c)2=m2+n2—2mncos120°
=m2+n2+mn=36②
由①②得mn=20,
所以△F1PF2的面积为S=2mnsin120=53^.
【难点突破】
13.
故选B.
(1)B
(2)B[解析]
(1)依题意有aJb寫b=〔,化简整理得a2+b2=m2⑵在△F1PF2中,由余弦定理得,
o|PF1|2+|PF2|2—IF1F2I2cos60=2|PF1||PF2|,
|PF1|—|PF2|2—|F1F2|2+2|PF1||PF2|
2|PFi||PF2|
4a2—4c2—4b2
=+1=+1.
2|PFi||PF2|2|PFi||PF2|
因为b=1,所以|PFi||PF2|=4•故选B.
、选择题
A.
2ac2又PF2|PF12aPF22ac,由双曲线的第二定义知:
e丄丄-1.且e1,
ce
e2,故选C.
【命题分析】:
考查圆锥曲线的第一、二定义及与向量的综合应用,思维的灵活性
7.D•由题意知,pq0若p0,q0,则双曲线的焦点在y轴上,而在选择支A,C中,椭圆的焦点都在x
轴上,而选择支B,D不表示椭圆
选择支D的方程符合题意.
2X
4y2
(0),焦距2c10,c25
二、填空题
xy
8.
205
1设双曲线的方程为
,X
当0时,一
1,
—25,20;
0,选择支
A,C不表示椭圆
,双曲线的半焦距平方
2c
0时,—
-1,(4)25,
20
0,(k4)(k1)0,k1,或k
3,c.7,且焦点在x轴上.
9.(,4)U(1,)(4k)(1k)
10.(.7,0)渐近线方程为y
三、解答题
11.解:
由共同的焦点F1(0,5),F2(0,5),可设椭圆方程为—1;
aa25
所以椭圆方程为—x1;
双曲线方程为
4015
12.
(1)由题意,可设所求椭圆的标准方程为笃+与1(ab0),其半焦距c6。
2a|PF1||PF2|11222、122265,/•a35,
222xy
b2a2c245369,故所求椭圆的标准方程为+1;
459
(2)点P(5,2)、F1(-6,0)、F2(6,0)关于直线y=x的对称点分别为:
P(2,5)、F1'
(0,-6)、F2'
(0,6)
0),由题意知半焦距C16,
4.5,•••a125,
设所求双曲线的标准方程为务-卑1(a10,b1
a1b1
2a1|P'
F1'
||P'
F2'
|J11222仰__F
b12c12a12362016,故所求双曲线的标准方程为—-—1.
2016
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