完整版最新北师大版数学八下易错题含答案推荐文档Word格式.docx
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点到线的距离相等,为角平分线的交点,此时的距离有“垂直”
】
6.
如图,在△ABC中,AB=5,AC=3,BC的垂直平分线交AB于D,交BC于E,则△ADC的周长等于8
垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等
7.用反证法证明:
一个三角形中至少有一个内角小于或等于60°
.
答案:
已知:
△ABC,求证:
△ABC中至少有一个内角小于或等于60°
证明:
假设△ABC中没有一个内角小于或等于60°
,即每一内角都大于60°
则∠A>
60°
∠B>
∠C>
∴∠A+∠B+∠C>
+60°
=180°
即∠A+∠B+∠C>
180°
,这与三角形的内角和为180度矛盾.假设不成立.
∴△ABC中至少有一个内角小于或等于60°
考查知识:
反证法,用反证法进行证明时先写出已知、求证,再假设求证的反面成立,推出与题设、定理等相矛盾的结论,从而肯定原结论成立【注意:
反证法一般很少用到,除非是题目要求用反证法证明,否则一般不考虑该方法】
8.如图所示,∠AOB=30°
,OC平分∠AOB,P为OC上任意一点,PD∥OA交OB于点
D,PE⊥OA于点E,若PE=2cm,则PD=cm.
过点P作PF⊥OB于F,
∵∠AOB=30°
,OC平分∠AOB,
∴∠AOC=∠BOC=15°
∵PD∥OA,
∴∠DPO=∠AOP=15°
∴∠BOC=∠DPO,
∴PD=OD=4cm,
,PD∥OA,
∴∠BDP=30°
1
∴在Rt△PDF中,PF=PD=2cm,
∵OC为角平分线,PE⊥OA,PF⊥OB,
∴PE=PF,∴PE=PF=2cm
9.
如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线交于点E,过点E作MN∥BC交AB于M,交AC于N,若BM+CN=9,则线段MN的长为()A.6B.7C.8D.9
∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E,
∴∠MBE=∠EBC,∠ECN=∠ECB,
∵MN∥BC,
∴∠EBC=∠EBC,∠ECN=∠ECB,
∴BM=ME,EN=CN,
∴MN=BM+CN,
∵BM+CN=9,
∴MN=9
平行+平分,必有等腰三角形
10.
如图,AD是△ABC的角平分线,DF⊥AB,垂足为F,DE=DG,△ADG和△AED的面积分别为50和39,则△EDF的面积为(B)A.11B.5.5C.7D.3.5
作DM=DE交AC于M,作DN⊥AC,
∵在△AED和△AMD中
∴△AED≌△AMD
∴SVADE=SVADM
∵DE=DG,DM=DE,
∴DM=DG,
∵AD是△ABC的外角平分线,DF⊥AB,
∴DF=DN,
在Rt△DEF和Rt△DMN中,
Rt△DEF≌Rt△DMN(HL),
∵△ADG和△AED的面积分别为50和39,
∴SVMDG=SVADG-SVADM=50-39=11
=1S1
SVDNM=SVDEF
=×
11=5.5
2VMDG2
角平分线上的点到角两边的距离相等及三角形的全等
11.在Rt△ABC中,∠C=90°
,AC=9,BC=12,则点C到AB的距离是(A)
A.
B.
C.
D.
在Rt△ABC中,AC=9,BC=12,根据勾股定理得:
AB==过C作CD⊥AB,交AB于点D,
=15
11AC.BC9x1236
则由SVABC=2AC.BC=2AB.CD,得CD=AB
==
155
利用面积相等法
12.如图,在△ABC中AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D、E,AD、CE交于点H,已知EH=EB=3,AE=4,则CH的长是(A)A.1B.2C.3D.4
∵AD⊥BC,
∴∠EAH+∠B=90°
∵CE⊥AB,
∴∠EAH+∠AHE=90°
∴∠B=∠AHE,
∵EH=EB,
在△AEH和△CEB中,
∴△AEH≌△CEB(ASA)
∴CE=AE,
∵EH=EB=3,AE=4,
∴CH=CE-EH=4-3=1
利用三角形全等求线段长度.
13.如图,在△ABC中,AD是中线,AE是角平分线,CF⊥AE于点F,AB=5,AC=2,则DF的长
3
为.
延长CF交AB于点G,
∵AE平分∠BAC,
∴∠GAF=∠CAF,
∵AF垂直CG,
∴∠AFG=∠AFC,
在△AFG和△AFC中,
∴△AFG≌△AFC(ASA)
∴AC=AG,GF=CF,
又∵点D是BC的中点,
∴DF是△CBG的中位线,
1113
∴DF=BG=(AB-AG)=(AB-AC)=
2222
点评:
本题考查了三角形的中位线定理,解答本题的关键是作出辅助线,一般出现既是角平分线又是高的情况,我们就需要寻找等腰三角形.
14.如图,在△ABC中,AD为∠BAC的平分线,FE垂直平分AD,交AD于E,交BC的延长线于F.
求证:
∠CAF=∠B.
∠B=∠CAF.
∵FE垂直平分AD,
∴FA=FD,
∴∠FAD=∠ADF
∵AD为∠BAC的平分线,
∴∠CAD=∠BAD
又∵∠CAF=∠FAD=∠CAD,∠B=∠ADF-∠BAD,
∴∠B=∠CAF
此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的定义及三角形的外角等知识点.15.如图,OA、OB表示两条相交的公路,点M、N是两个工厂,现在要在∠AOB内建立一个货物中
转站P,使中转站到公路OA、OB的距离相等,并且到工厂M、N的距离也相等,用尺规作出货物中转站P的位置.
①作∠AOB的角平分线;
②连接MN,作MN的垂直平分线,交OM于一点,交点就是所求货物中转站的位置.
16.如图,在△ABC中,∠C=90°
,AD平分∠CAB,交CB于点D,过点D作DE⊥AB于点
E.
(1)求证:
△ACD≌△AED;
(2)若∠B=30°
,CD=1,求BD的长.
(1)证明:
∵AD平分∠CAB
∴∠CAD=∠EAD
∵DE⊥AB,∠C=90°
∴∠ACD=∠AED=90°
又∵AD=AD,
∴△ACD≌△AED
(2)解:
∵△ACD≌△AED
∴DE=CD=1
∵∠B=30°
,∠DEB=90°
∴BD=2DE=2
17.如图,△ABC中,AB=BC,BE⊥AC于点E,AD⊥BC于点D,∠BAD=45°
,AD与BE交于点
F,连接CF.
BF=2AE;
(2)若CD=
,求AD的长.
∵AD⊥BC,∠BAD=45°
∴∠ABD=∠45°
=∠BAD
∴AD=BD
∵BE⊥AC
∴∠CAD+∠AFE=90°
∵AD⊥BC
∴∠FBD=∠BFD=90°
又∠AFE=∠BFD
∴∠CAD=∠FBD
又∠ADC=∠BDF=90°
∴△ADC≌△BDF
∴AC=BF
∵AB=BC,BE⊥AC
∴AC=2AE
∴BF=2AE
设AD=x,则BD=x
∴AB=BC=+x
∵△ABD是等腰直角三角形
∴AB=AD
∴+x=x
解得x=2+
即AD=2+
18.
如图,已知△ABC是等边三角形,D、E分别在BA、BC的延长线上,且AD=BE.
DC=DE
延长BE至F,使EF=BC
∵△ABC是等边三角形
∴∠B=60°
,AB=BC
∴AB=BC=EF
∵AD=BE,BD=AB+AD,BF=BE+EF
∴BD=BF
∴△BDF是等边三角形
∴∠F=60°
,BD=FD
在△BCD和△FED中,
BC=EF
∠B=∠F=60°
BD=FD
∴△BCD≌△FED(SAS)
∴DC=DE
19.如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°
,D是AC上一点,AE⊥BD交BD的延长线于E,
且AE=BD,求证:
BD是∠ABC的角平分线.
延长AE、BC交于点F
∵AE⊥BE
∴∠BEF=90°
,又∠ACF=∠ACB=90°
∴∠DBC+∠AFC=∠FAC+∠AFC=90°
∴∠DBC=∠FAC
在△ACF和△BCD中
∴△ACF≌△BCD(ASA)
∴AF=BD
又AE=BD
∴AE=EF,即点E是AF的中点
∴AB=BF
∴BD是∠ABC的角平分线
20.如图,在△ABC中,分别以AC、AB为边,向外作正△ACD,正△ABE,BD与AE相交于
F,连接AF,求证:
AF平分∠DME
过点A分别作AM⊥BD,AN⊥CE,分别交BD,CE于M,N两点
∵△ABE和△ACD均为等边三角形,
∴∠EAB=∠CAD=60°
,AD=AC,AB=AE
∵∠EAC=∠BAD=60°
+∠BAC,
∴△EAC≌△BAD,
∴SVEAC=2CE.AN=SVBAD=2BD.AMCE=BD
∴AN=AM
∴AF平分∠DME(在角的内部到角两边距离相等的点在该角的平分线上)
21.如图,已知:
AB=AC,∠A=90°
,AF=BE,BD=DC.求证:
FD⊥ED.
连接AD.
∵∠A=90°
AB=ACD是BC的中点
∴AD⊥BC∠ADB=90°
∠B=45°
=∠CADAD=BD(直角三角形中,中线等于斜边的一半)且BE=AF
∴易证△BED≌△AFD(SAS)
∴∠BDE=∠ADF∵∠ADE+∠EDB=∠ADB=90°
∴∠ADF+∠ADE=90°
∴ED⊥FD
不等式基本性质
第二章不等式(组)
例:
如果x>y,那么下列各式中正确的是(C)
xy
A.x-2<y-2B.<C.-2x<-2yD.-x>-y
1.系数含有字母的不等式(组)
解题思路:
先把字母系数当做已知数,解除未知数的取值范围,再根据题意及不等式的性质
或解不等式组的方法进行计算【特别注意:
“=”一定要考虑,如果满足题意则要取,不满足题意就不取】
【自己做】
(1)已知关于x的方程3k-5x=-9的解是非负数,求k的取值范围.
(2)已知关于x的不等式(1-a)x>2的解集为x<
利用不等式的基本性质三:
a-1<0
⎧x-a>
0
1-a
,则a的取值范围是a>1.
⎩
(3)如果不等式组⎨x+b<
0的解集是3<
x<
5,那么a=3,b=-5.
解得不等式组的解集为:
a<
-b
而不等式组的解集为:
3<
5
∴a=3,b=-5
(4)如果不等式
⎧x<
8
⎨x>
m无解,那么m的取值范围是(B)
A.m>8B.m≥8C.m<8D.m≤8
不等式组无解的条件是:
比大的还大,比小的还小;
∴m≥8【“=”一定要考虑,这个题取“=”就满足题意】
(5)如果不等式组⎧x+8<
4x-1的解集是x>
3,则m的取值范围是(A).
⎨x>
m
A.m≤3B.m≥3C.m=3D.m<3
不等式组解集:
同大取大;
解不等式组得
而该不等式组的解集是x>
3,∴m≤3【“=”一定要考虑,这个题取“=”就满足题意】
⎧x-3<
6(x-2)-1
(6)关于x的不等式组⎪
⎨5+2a-x>
5-2x
有三个整数解,则a的取值范围是
⎩⎪3
-5<a≤-2.
63
解该不等式组得
∵有三个整数解
∴2<x<6a+10
∴三个整数解应该是3,4,5
∴5<6a+10≤6
52
解得-<a≤-
⎧x+y=m+2,
【自己解答】
(7)若方程组⎨4x+5y=6m+3的解x,y均为正数,求m的取值范围.
先将m当作已知数,将x、y用含m的式子表示出来,然后利用x,y均为正数,列出含m的不等式组,解出m的取值范围
【自己解】2.解不等式(组)
【不等式组的结果不能写成大括号的形式】
(1)
解不等式2x+1≥(3x-1)+1,并将解集在数轴上表示出来;
32
⎧5x-1<
3(x+1)
⎪
(2)
解不等式组⎨2x-1-5x+1≤1,并把它的解集表示在数轴上.
3.一元一次不等式(组)与一次函数
利用一次函数解一元一次不等式(组):
实质就是比较两个函数y值得大小,函数值(y)越大,图像越高,函数值(y)越小,图像越高低,这里一般是让求自变量x的取值范围,找出与x轴交点的横坐标(指一元一次不等式),看让求图像在x轴以上的自变量的取值范围
(还是图像在x轴以下的自变量的取值范围);
或找出函数交点的横坐标,然后看在该交点以左满足题意还是交点以右满足题意.
(1)函数y=kx+b(k、b为常数,k≠0)的图象如图所示,则关于x的不等
式kx+b>
0的解集为(C).
A.x>
0B.x<
0C.x<
2D.x>
(2)直线l1:
y=k1x+b与直线l2:
y=k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示,则关于x的不等式k1x+b>
k2x的解为x<
-1
4.一元一次不等式(组)应用题
◆一件商品的进价是500元,标价为600元,打折销售后要保证获利不低于8%,则此商品最多打9折.
商品销售中需注意的地方:
①“进价”也叫“成本”;
“售价”也叫“标价”;
②获利是在
x
进价的基础上获利;
打折是在售价基础上打折;
③打几折就是给售价×
10
设可以打x折.
那么(600×
x
-500)÷
500≥8%
解得x≥9.
故答案为:
9.
◆某商贩去菜摊买黄瓜,他上午买了30斤,价格为每斤x元;
下午,他又买了20斤.价格为
x+y
每斤y元.后来他以每斤元的价格卖完后,结果发现自己赔了钱,其原因是(B)
x<
yB.x>
yC.x≤yD.x≥y
(1)某商场文具部的某种毛笔每支售价25元,书法练习本每本售价5元。
该商场为促销
制定了如下两种优惠方式:
第一种:
买一支毛笔附赠一本书法练习本;
第二种:
按购买金额打九折付款。
八年级
(2)班的小明想为本班书法兴趣小组购买这种毛笔10支,书法练习本x(x≥10)本。
试问小明应该选择哪一种优惠方式才更省钱?
(利用一次函数与不等式(组)的知识进行解答)
(1)y1=25×
10+(x-10)×
5=5x+200;
y2=(25×
10+5x)×
0.9=4.5x+225.
(2)①y1>y2时,
即5x+200>4.5x+225,
解得:
x>50;
②y1=y2时,
即5x+200=4.5x+225,
x=50;
③y1<y2时,
即5x+200<4.5x+225,
解得x<50.
(3)甲方案:
25×
10+50×
5=500元;
乙方案:
(25×
10+60×
5)×
0.9=495元;
两种方案买:
5×
0.9=475元,
(2)甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品,为了吸引顾客,各自推出不同的优惠
方案:
在甲超市累计购买商品超出300元之后,超出部分按原价8折优惠;
在乙超市累计购买商品超出200元之后,超出部分按原价8.5折优惠.设顾客预计累计购物x元
(x>
300).
(1)请用含x的代数式分别表示顾客在两家超市购物所付的费用;
(2)顾客到哪家超市购物更优惠?
说明你的理由.
(1)设应付金额为y则
在甲超市购物所付的费用是:
y=300+0.8(x-300)=0.8x+60在甲超市购物所付的费用是:
y=200+0.85(x-200)=0.85x+30
(2)①当0.8x+60>
0.85x+30时,
解得x<600,而x>300
∴300<x<600
即顾客购物超过300元且不满600元时,到乙超市更优惠;
②当0.8x+60=0.85x+30时,解得x=600
∴当顾客购物600元时,到两家超市所付费用相同;
③当0.8x+60<0.85x+30时,解得x>600
∴当顾客购物超过600元时,到甲超市更优惠;
(3)去年6月份广州市某果农收获荔枝30吨,香蕉13吨,现计划租用甲、乙两种货车共10
辆将这批水果全部运往深圳,已知甲货车可装荔枝4吨和香蕉1吨。
乙种货车可装荔枝、香蕉
各2吨:
①该果农安排甲、乙两种货车时有几种方案?
请你帮助设计出来;
②若甲种货车每辆要付出运输费2000元。
乙种货车每辆要付出运输费1300元,则该果农应选择哪种方案使运费最少?
最少是多少?
(1)设安排甲种货车x辆,则安排乙种货车10-x辆,由题意得
解得5≤x≤7
∵x是整数
∴x取5、6、7
因此,安排甲、乙两种货车有三种方案:
方案1:
甲种货车5辆,乙种货车5辆;
方案2:
甲种货车6辆,乙种货车4辆;
方案3:
甲种货车7辆,乙种货车3辆.
(2)方案1需要运费:
2000×
5+1300×
5=16500(元)
方案2需要运费:
6+1300×
4=17200(元)
方案3需要运费:
7+1300×
3=17900(元)
∴该果农应选择方案1运费最少,最少运费是16500元.
(4)某工厂计划为震区生产A,B两种型号的学生桌椅500套,以解决1250名学生的学习问题,一套A型桌椅(一桌两椅)需木料0.5m3,一套B型桌椅(一桌三椅)需木料0.7m3,工厂现有库存木料302m3.
①有多少种生产方案?
②现要把生产的全部桌椅运往震区,已知每套A型桌椅的生产成本为100元,运费2元;
每套B型桌椅的生产成本为120元,运费4元,求总费用y(元)与生产A型桌椅x(套)之间的关系式,并确定总费用最少的方案和最少的总费用.(总费用=生产成本+运费)
③按②的方案计算,有没有剩余木料?
如果有,请直接写出用剩余木料再生产以上两种型号的桌椅,最多还可以为多少名学生提供桌椅;
如果没有,请说明理由.
(1)设生产A型桌椅x套,则生产B型桌椅(500-x)套,由题意得
解得240≤x≤250
∵x是整数,
∴有11种生产方案
(2)由题意得y=(100+2)x+(120+4)×
(500-x)=-22x+62000(240≤x≤250)
∵-22<0,
∴y随x的增大而减小
∴当x=250时,y有最小值
∴当生产A型桌椅250套、B型桌椅250套时,总费用最少,为-22×
250+62000=56500元
(3)有剩余木料,
[302-(05+0.7)×
250]÷
0.5×
2=8
或302-(05+0.7)×
250=2<3
∴有以下几种方案:
①全部做A型可做4套,
②全部做B型可做2套,
③一部分做A型一部分做B型最多3套,比较可知,应选第①中方案,故最大值应为8
∴最多还可以为8名学生提供桌椅.
(5)本学期我校开展了课外兴趣小组活动,有很多同学参加了书法兴趣小组。
小刚代表兴趣小组的同学去文具店购买毛笔。
一个批发兼零售的文具店规定:
凡一次购买毛笔100枝
以上(包括100枝),可以按批发价付款;
购买100枝以下(不包括100枝)只能按零售价付款。
小刚来到该店购买毛笔,如果给兴趣小组的同学每人购买一枝,那么只能按零售价付款,需270元;
如果多购买10枝,那么可以按批发价付款,同样需270元。
①请问参加书法兴趣小组的同学人数在什么范围内?
(3分)
②若按批发价购买10枝与按零售价购买9枝的款相同,那么参加书法兴趣小组的同学有多少人?
①设有x人则由题意可得:
∴90≤x<100且x为整数
②设批发价为m元,零售价为n元则得到10m=9n还有条件得
∴xm=(x+10)n
∴x
x+10
=n=9
m10
解得x=90
(6)若干名学
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