人教版八年级上册数学第十二章《全等三角形》单元练习题文档格式.docx
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3:
4D.4:
2
10.如图,已知∠DCE=90°
,∠DAC=90°
,BE⊥AC于B,且DC=EC,若BE=7,AB=3,则AD的长为( )
A.3B.5C.4D.不确定
11.工人师傅常用角尺平分一个任意角,做法如下:
如图,∠AOB是一个任意角,在边OA、OB上分别取OM=ON,移动角尺,使角尺两边相同的到刻度分别与点M、N重合,过角尺顶点C作射线OC由此作法便可得△NOC≌△MOC,其依据是( )
A.SSSB.SASC.ASAD.AAS
12.如图,在△ABC中,∠C=90°
,AC=BC,AD平分∠CAB交BC于D,DE⊥AB于E,若AB=6cm,则△DBE的周长是( )
A.6cmB.7cmC.8cmD.9cm
二.填空题
13.如图,BD平分∠ABC交AC于点D,DE⊥BC于点E,若AB=5,BC=7,S△ABC=12,则DE的长为 .
14.如图,△ABC中,∠B=∠C,D,E,F分别是BC,AC,AB上的点,且BF=CD,BD=CE,∠FDE=55°
,则∠A= .
15.如图,∠1=∠2,∠B=∠C,则△ABD与△ACD (填“全等”、“不一定全等”).
16.如图,△ABC中,AB=8,BC=10,BD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于点E,若DE=4,则三角形ABC的面积为 .
17.如图为6个边长相等的正方形的组合图形,则∠1+∠2+∠3= °
.
三.解答题
18.解方程
(1)如图1,∠A=90°
,∠B=21°
,∠C=32°
,求∠BDC的度数.
(2)如图2,若△OAD≌△OBC,且∠O=65°
,∠C=20°
,求∠OAD的度数.
19.如图,在△ABC中,AB=AC=8,BC=12,点D从B出发以每秒2个单位的速度在线段BC上从点B向点C运动,点E同时从C出发以每秒2个单位的速度在线段CA上向点A运动,连接AD、DE,设D、E两点运动时间为t秒(0<t<4)
(1)运动 秒时,AE=
DC;
(2)运动多少秒时,△ABD≌△DCE能成立,并说明理由;
(3)若△ABD≌△DCE,∠BAC=α,则∠ADE= (用含α的式子表示).
20.如图①,在Rt△ABC中,∠C=90°
,BC=9cm,AC=12cm,AB=15cm,现有一动点P,从点A出发,沿着三角形的边AC→CB→BA运动,回到点A停止,速度为3cm/s,设运动时间为ts.
(1)如图
(1),当t= 时,△APC的面积等于△ABC面积的一半;
(2)如图
(2),在△DEF中,∠E=90°
,DE=4cm,DF=5cm,∠D=∠A.在△ABC的边上,若另外有一个动点Q,与点P同时从点A出发,沿着边AB→BC→CA运动,回到点A停止.在两点运动过程中的某一时刻,恰好△APQ≌△DEF,求点Q的运动速度.
21.如图,在△ABC中,∠ACB=45°
,过点A作AD⊥BC于点D,点E为AD上一点,且ED=BD.
(1)求证:
△ABD≌△CED;
(2)若CE为∠ACD的角平分线,求∠BAC的度数.
22.如图,已知△ABC中,AB=6cm,∠B=∠C,BC=4cm,点D为AB的中点.若点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向点C运动,同时,点Q在线段CA上由点C向点A运动.
(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,经过1秒后,△BPD与△CQP是否全等,请说明理由;
(2)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,当点Q的运动速度为多少时,能够使△BPD与△CQP全等?
23.雨伞的中截面如图所示,伞骨AB=AC,支撑杆OE=OF,AE=
AB,AF=
AC,当O沿AD滑动时,雨伞开闭,问雨伞开闭过程中,∠BAD与∠CAD有何关系?
说明理由.
24.如图,AM∥BN,AC平分∠MAB,BC平分∠ABN,过C的直线分别交AM、BN于D、E.
AC⊥BC;
(2)求证:
DC=EC;
(3)求证:
AD+BE=AB;
(4)将直线铙C转动,使DE与直线AM交于点D,与直线NB交于点E,画出不同情况的图型,探究AB、AD、BE三条线段之间是否存在某种确定的数量关系并证明.
参考答案
1.解:
∵△ABC≌△CDE,AB=CD
∴∠ACB=∠CED,AC=CE,∠BAC=∠ECD,∠B=∠D
∴第三个选项∠ACB=∠ECD是错的.
故选:
C.
2.解:
A、添加BC=BE,可根据SAS判定△ABC≌△DBE,故正确;
B、添加AC=DE,SSA不能判定△ABC≌△DBE,故错误;
C、添加∠A=∠D,可根据ASA判定△ABC≌△DBE,故正确;
D、添加∠ACB=∠DEB,可根据ASA判定△ABC≌△DBE,故正确.
B.
3.解:
A、符合AAS,能判断△ABD≌△BAC;
B、符合ASA,能判断△ABD≌△BAC;
C、不能判断△ABD≌△BAC;
D、符合SSS,能判断△ABD≌△BAC.
4.解:
∵△MNP≌△MNQ,
∴MP=MQ,
已知PM=6,
∴MQ=6.
5.解:
根据角平分线的性质,集贸市场应建在∠A、∠B两内角平分线的交点处.
A.
6.解:
A、同旁内角互补,两条直线平行是正确的,不符合题意;
B、相等的角不一定是对顶角是正确的,不符合题意;
C、有两个角和一条边对应相等的三角形一定全等是正确的,不符合题意;
D、两条直线被第三条直线所截,同位角相等,说法错误,应是两条平行的直线被第三条直线所截,同位角相等,符合题意.
D.
7.解:
∵AD是△ABC的中线,
∴BD=CD,又∠CDE=∠BDF,DE=DF,
∴△BDF≌△CDE,故④正确;
由△BDF≌△CDE,可知CE=BF,故①正确;
∴△ABD和△ACD等底等高,
∴△ABD和△ACD面积相等,故②正确;
由△BDF≌△CDE,可知∠FBD=∠ECD
∴BF∥CE,故③正确.
8.解:
易得OC=0′C'
,OD=O′D'
,CD=C′D'
,那么△OCD≌△O′C′D′,
可得∠A′O′B′=∠AOB,所以利用的条件为SSS,
9.解:
过点O作OD⊥AC于D,OE⊥AB于E,OF⊥BC于F,
∵O是三角形三条角平分线的交点,
∴OD=OE=OF,
∵AB=20,BC=30,AC=40,
∴S△OAB:
S△OAC=2:
4.
10.解:
∵∠DCE=90°
,
∴∠ACD+∠BCE=90°
∵BE⊥AC,
∴∠CBE=90°
,∠E+∠BCE=90°
∴∠ACD=∠E,
在△ACD和△BCE中,
∴△ACD≌△BEC(AAS),
∴AD=BC,AC=BE=7,
∵AB=3,
∴BC=AC﹣AB=7﹣3=4.
11.解:
∵在△ONC和△OMC中
∴△MOC≌△NOC(SSS),
∴∠BOC=∠AOC,
12.解:
∵AD平分∠CAB,DE⊥AB,∠C=90°
∴DE=CD,
又∵AC=BC,AC=AE,
∴AC=BC=AE,
∴△DBE的周长=DE+BD+EB=CD+BD+EB=BC+EB=AE+EB=AB
∵AB=6cm,
∴△DBE的周长=6cm.
二.填空题(共5小题)
13.解:
作DF⊥AB于F,
∵BD平分∠ABC,DE⊥BC,DF⊥AB,
∴DE=DF,
∴
×
AB×
DF+
BC×
DE=S△ABC,即
5×
DE+
7×
DE=12,
解得,DE=2,
故答案为:
2.
14.解:
在△FBD和△DCE中,
∴△FBD≌△DCE(SAS),
∴∠DFB=∠EDC,
∵∠EDC+∠FDE=∠B+∠DFB,∠FDE=55°
∴∠B=∠FDE=55°
∵∠B=∠C,
∴∠C=55°
∴∠A=180°
﹣∠B﹣∠C=70°
70°
15.解:
△ABD与△ACD全等,
理由是:
∵∠1=∠C+∠CAD,∠2=∠B+∠BAD,
又∵∠1=∠2,∠B=∠C,
∴∠CAD=∠BAD,
在△ABD和△ACD中
∴△ABD≌△ACD(AAS),
全等.
16.解:
过D作DF⊥BC,
∵BD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于点E,DE=4,
∴DF=4,
∴△ABC的面积=△ABD的面积+△DBC的面积=
36
17.解:
观察图形可知:
△ABC≌△BDE,
∴∠1=∠DBE,
又∵∠DBE+∠3=90°
∴∠1+∠3=90°
∵∠2=45°
∴∠1+∠2+∠3=∠1+∠3+∠2=90°
+45°
=135°
135.
三.解答题(共7小题)
18.
(1)解:
如图,连接AD并延长AD至点E,
∵∠BDE=∠BAD+∠B,∠CDE=∠CAD+∠C,
∴∠BDC=∠CDE+∠BDE
=∠C+∠CAD+∠BAD+∠B
=∠BAC+∠B+∠C,
∵∠A=90°
∴∠BDC=90°
+21°
+32°
=143°
;
(2)解:
∵△OAD≌△OBC,∠C=20°
∴∠D=∠C=20°
∵∠O=65°
∴∠OAD=180°
﹣∠O﹣∠D=180°
﹣65°
﹣20°
=95°
19.解:
(1)由题可得,BD=CE=2t,
∴CD=12﹣2t,AE=8﹣2t,
∴当AE=
DC,时,8﹣2t=
(12﹣2t),
解得t=3,
3;
(2)当△ABD≌△DCE成立时,AB=CD=8,
∴12﹣2t=8,
解得t=2,
∴运动2秒时,△ABD≌△DCE能成立;
(3)当△ABD≌△DCE时,∠CDE=∠BAD,
又∵∠ADE=180°
﹣∠CDE﹣∠ADB,∠B=∠180°
﹣∠BAD﹣∠ADB,
∴∠ADE=∠B,
又∵∠BAC=α,AB=AC,
∴∠ADE=∠B=
(180°
﹣α)=90°
﹣
α.
90°
20.解:
(1)①当点P在BC上时,如图①﹣1,
若△APC的面积等于△ABC面积的一半;
则CP=
BC=
cm,
此时,点P移动的距离为AC+CP=12+
=
移动的时间为:
÷
3=
秒,
②当点P在BA上时,如图①﹣2
则PD=
BC,即点P为BA中点,
此时,点P移动的距离为AC+CB+BP=12+9+
或
(2)△APQ≌△DEF,即,对应顶点为A与D,P与E,Q与F;
①当点P在AC上,如图②﹣1所示:
此时,AP=4,AQ=5,
∴点Q移动的速度为5÷
(4÷
3)=
cm/s,
②当点P在AB上,如图②﹣2所示:
即,点P移动的距离为9+12+15﹣4=32cm,点Q移动的距离为9+12+15﹣5=31cm,
∴点Q移动的速度为31÷
(32÷
③当点P在AC上,如图②﹣3所示:
此时,AP=5,AQ=4,
∴点Q移动的速度为4÷
(5÷
④当点P在AB上,如图②﹣4所示:
即,点P移动的距离为9+12+15﹣5=31cm,点Q移动的距离为9+12+15﹣4=32cm,
∴点Q移动的速度为32÷
(31÷
综上所述,两点运动过程中的某一时刻,恰好△APQ≌△DEF,
点Q的运动速为
cm/s或
cm/s.
21.
(1)证明:
∵AD⊥BC,∠ACB=45°
∴∠ADB=∠CDE=90°
,△ADC是等腰直角三角形,
∴AD=CD,∠CAD=∠ACD=45°
在△ABD与△CED中,
∴△ABD≌△CED(SAS);
∵CE为∠ACD的角平分线,
∴∠ECD=
∠ACD=22.5°
由
(1)得:
△ABD≌△CED,
∴∠BAD=∠ECD=22.5°
∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=22.5°
=67.5°
22.解:
(1)全等,理由如下:
∵t=1秒,
∴BP=CQ=1×
1=1厘米,
∵AB=6cm,点D为AB的中点,
∴BD=3cm.
又∵PC=BC﹣BP,BC=4cm,
∴PC=4﹣1=3cm,
∴PC=BD.
∴△BPD≌△CPQ;
(2)∵vP≠vQ,
∴BP≠CQ,
又∵△BPD≌△CPQ,∠B=∠C,
则BP=CP=2,BD=CQ=3,
∴点P,点Q运动的时间为:
t=2秒,
∴vQ=1.5cm/s;
23.解:
雨伞开闭过程中二者关系始终是:
∠BAD=∠CAD,
理由如下:
∵AB=AC,AE=
AC,
∴AE=AF,
在△AOE与△AOF中,
∴△AOE≌△AOF(SSS),
∴∠BAD=∠CAD.
24.证明:
(1)∵AM∥BN,
∴∠MAB+∠ABN=180°
又∵AC,BC分别为∠MAB、∠NBA的平分线,
∴∠ABC+∠CAB=
(∠MAB+∠ABN)=90°
∴∠ACB=180°
﹣∠1﹣∠3=90°
即∠ACB为直角;
(2)过E点作辅助线CF使其平行于AM,
∵AM∥BN,CF∥BC,
∴CF∥AD∥BC,
∴∠ACF=∠DAC,∠BCF=∠CBE,
∵∠FAC=∠DAC,∠FBC=∠CBE,
∴∠ACF=∠FAC,∠BCF=∠FBC,
∴AF=FE=FB,
∴F为AB的中点,又EF∥AD∥BC,
根据平行线等分线段定理得到E为DC中点,
∴DC=EC;
(3)∵CF为梯形ABED中位线,
∴AD+BE=2CF,
∵AF=FE=FB,
∴AD+BE=AB.
(4)由(3)中结论可知,只要DE经过点C,
总满足CF为梯形ABED中位线的条件,
∴AD+BE=2CF=AB.
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