八年级上学期数学期中复习专题教师版Word文档下载推荐.docx
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(2)CF-CE=5.连接OC,在CF上截取CM=CO,连接EF,OM.∵∠A=∠B=30°
O为AB中点,
易得∠ACB=120°
CO⊥AB.∴∠ACO=∠BCO=60°
∴∠OCE=120°
.∵CM=CO,∴△COM为等边三角形,
∴∠COM=60°
,∴∠OMB=120°
=∠OCE.∵∠EOF=2∠A=60°
,∴∠COM=∠EOF,∴∠COE=∠MOF.
在△COE和△MOF中,∠COE=∠MOF,CO=MO,∠OCE=∠OMF,∴△COF≌△MOF.∴CE=MF.
∴CF-CE=CF-MF=CM=CO.在Rt△AOC中,∠A=30°
AC=10,∴C0=5.∠CF-CE=5.
2.(2016秋.黄陂区月考)已知在△ABC中,AC=BC,∠CAB=∠CBA=45︒,点M为直线BC上任意一点,过
点C作CD⊥AM交AB于点D,在BC上取一点N,使CN=BM.连接DN.
(1)如图,M,N在线段BC上,求证:
∠AMC=∠DNB;
(2)若M,N分别在CB,BC的延长线上,试画出图形,并说明
(1)中的结论是否成立?
(1)如图①,作BG上BC,交CD的延长线于G,设AM交CD才0.∵AM⊥CD,BG⊥BC,∴∠AOC=∠CBG90°
∴∠ACO+∠CAO=90°
∴∠ACO+∠BCG=90°
∴∠CAM=∠BCG∵AC=BC,易证△ACM≌△CBG(ASA),∴CM=BG,∠AMG.∴CN=BM,∴BN=CM=BG.∵∠DBN≌△DBG(SAS),∴∠G=∠BND,∠AMC=△DNB
(2)
(1)中的结论成立.理由:
作BG上BC,交CD的延长线于G,设AM交CD的延长线于O,∵AM⊥CD,
BG⊥BC,∴∠AOC=∠CBG=∠ACM=90°
,∴∠ACO+∠CAO=90°
∠ACO+∠BCG=90°
,∴∠CAM=∠BCG.又∵AC=BC,∴△ACM≌△CBG(AAS),∴CM=BG,∠M=∠G.∵CN=BM,∴CM=BN=BG.∵BD=BD,∠DBN=∠DBG==45°
BN=BG,∴△DBN≌△DBG(SAS),∴∠G=∠N,∴∠M=∠N.
专题2等腰三角形与全等
1.(2017秋·
青山区期中)已知,AB=AC,D,A,E三点在同一直线上,且∠BDA=∠AEC=∠BAC=120°
.
(1)如图①,求证:
BD=AE;
(2)如图②,AF平分∠BAC,且AF=AB,连接FD,FE,试判断△FDE的形状,并说明你的结论.
(1)∵∠BDA=∠BAC=120°
,∴∠DBA+∠DAB=∠CAE+∠DAB=60°
∴∠DBA=∠CAE.
在△BAD和△ACE中,∠BDA=∠AEC,∠DBA=∠CAE,BA=AC,∴△ADB≌△CEA(AAS),∴BD=AE.
(2)△DEF为等边三角形.理由:
如图②,连接BF,CF.∵AB=AC=AF,AF平分∠BAC,∠BAC=120°
∴△ABF和△ACF均为等边三角形,∴BF-AF=AB=AC=CF,∠BAF=∠CAF=∠ABF=60°
.由
(1)知△ADB≌△CEA(AAS),∴BD=AE,∠DBA=∠CAE.∵∠ABF=∠CAF=60°
∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF,∴∠DBF=∠FAE.在△BDF和△AEF中,FB=FA,∠DBF=∠FAE,BD=AE,∴△DBF≌△EAF(SAS).∴DF=EF,∠BFD=∠AFE.∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°
,∴△DEF为等边三角形.
2.(2016秋·
武昌区期末)已知,在△ABC中,AC=BC,
(1)如图①,分别过A,B做AM⊥BC,BN⊥AC,垂足分别为点M,N,AM与BN相交于点P,求证:
AP=BP;
(2)如图②,分别在AC的右侧,BC的左侧做等边△ACE和等边△BCD,AE与BD相交于点F,连接CF并延长交AB于点G,求证:
点G是AB的中点;
(3)在
(2)的条件中,当∠ACB的大小发生变化时,设直线CD与直线AE相交于H点,当∠ACB等于时,使得AH=CD.
(1)∵AM⊥BC,BN⊥AC,∴∠AMC一∠BNC=90°
.∴∠C+∠CAM=90°
∠C+∠CBN=90°
.∠CAM=∠CBN.∴CA=CB,∴∠CAB=∠CBA,∴∠PAB=∠PBA,∴PA=PB.
(2)∵CA=CB∴∠CAB=∠CBA.∵△AEC和△BCD为等边三角形,∴∠CAE=∠CBD.∴∠FAG=∠FBG.∴AF=BF.在△ACF和△BCF中,AF=BF,AC=BC,CF=CF,∴△AFC≌△BFC(SSS),∴∠ACF=∠BCF.∵AC=BC,∴AG=BG,即点G为AB的中点.
3.(2017秋·
黄陂区期中)如图,在△ABC和△ADE中,AB=AD,AC=AE,∠BAC=∠DAE,BC交DE于点O,∠BAD=a.
(1)求证:
∠BOD=a;
(2)若AO平分∠DAC,求证:
AC=AD;
(3)若∠C=30°
,OE交AC于F,且△AOF为等腰三角形,则a.
(1)设AD交OB于K.在△ABC和△ADE中,AB=AD,∠BAC=∠DAE,AC=AE,∴△ABC≌△ADE(SAS),∴∠B=∠D.∵∠AKB=∠DKO,∴∠BOD=∠BAD=a.
(2)过A作AM⊥BC于M,作AN⊥DE于N,∵△ABC≌△ADE,∴S△ABC=S△ADE,BC=DE,
∴
BC·
AM=
DE·
AN,∴AM=AN.∴AO平分∠BOE,
∴∠AOB=∠AOE.∴AO平分∠DAC,∴∠DAO=∠CAO.∴∠DAE-∠DAO=∠BAC-∠CAO,即∠BAO=∠EAO.
在△ABO和△AEO中,∠BAO=∠EAO,AO=AO,∠AOB=∠AOE,∴△ABO≌△AEO(ASA),∴AB=AE,∵AB=AD,AC=AE,∴AC=AD.
4.如图,在等腰△ABC中,AB=AC,点P为底边BC上一动点,连接AP,在AP左侧作等腰△APD,使PA=PD,∠APD=∠BAC,连接BD.
(1)如图①,若∠APD=∠BAC=60°
,求证:
△ABD≌△ACP;
(2)如图②,若∠APD-∠BAC=90°
,AB=2,当点P由点C运动到点B时:
①∠PBD的大小是否为定值?
若为定值,求出其大小,若发生变化,请说明理由;
②求出点D运动的路径长度,
(1)如图①,∵∠BAC=60º
,AB=AC,∴△ABC为等边三角形,同理,得△APD也是等边三角形,∴AD=AP,∠DAP=∠BAC=60º
,∴∠DAB+∠BAP=∠CAP+∠BAP,∴∠DAB=∠CAP,∴△ABD∽△ACP(SAS).
(2)①∠PBD的大小会发生变化.过A作AF⊥BC,交BC于F,则F是BC的中点,
i)当点P在FC上运动时,∠PBD=45º
,如图②,理由:
过点D作DG⊥BC于G,
∵∠APF+∠DPG=90º
∠GDP+∠DPG=90º
,∴∠APF=∠GDP.∵∠AFP=∠DGP=90º
AP=PD,
∴△AFP≌△PGD(AAS),∴AF=PG,PF=GD.∵AF=BF,∴BF=PG∴BF-FG=PG-FG,即BG=PF.
∴BG=GD,∴△BGD是等腰直角三角形,∴∠PBD=45º
;
ii)当点P与中点F重合时,∠PBD=Oº
iii)当点P在BF上运动时,∠PBD=135º
,理由:
如图③,过点D作DG上BC,交CB的延长线于点G,易证:
△APF≌△PDG,∴AF=PG,PF=DG.又∵AF=BF,∴PG=BF,∵BG=PF=DG.∴△BDG是等腰直角三角形,∴∠GBD=45º
,∴∠PBD=135º
.
②如图:
D,点D运动的路径是从点D到点E,当点P在点C时,设AD交BC于F,∵△APD与△ABC都是等腰直角三角形,∴AD⊥BC.当点P运动到点B时,由∠APD=90º
得∠ABE=90º
,∴∠ABC=45º
,∴∠CBD=45º
,∠EBD=180º
,∴E,B,D在同一直线上.∵△ADE是等腰直角三角形.AB=2,∴ED=2AB=4,∴点D运动的路径长庋为4.
专题3等边三角形综合探究
青山区期末)已知△ABC是等边三角形,过点C作CD‖AB,且CD=AB,连接BD交AC于点O.
AC垂直平分BD;
(2)点M在BC的延长线上,点N在AC上,且ND=NM,连接BN,
①如图②,点N在线段CO上,求∠NMD的度数;
②如图③,点N在线段AO上,求证:
NA=MC.
(1)△ABC是等边三角形,∠ABC=∠ACB=∠CAB=60º
.AB∥CD,∠ACD=∠A=60º
=∠ACB,又CD=AB=BC,∵BO=DO,CO⊥BD,∴AC垂直平分BD.
(2)①如图②,由①知AC垂直平分BD,NB=ND,∠CBD=
∠ABC=30º
.∴∠1=∠2,
∴∠BND=180º
-2∠2.
∵ND=NM,∴NB=NM,∴∠3=∠4,∠BNM=180º
-2∠4,∴∠DNM=360°
-(180°
-2∠2)一(180°
-2∠4)=2(∠2+∠4)=60°
又∵ND=NM,∴△NMD为等边三角形,∴∠NMD=60°
②连接AD.如图,由题意知,△ACD是等边三角形,∴∠ADC=60°
AD=CD.与①同理可证∠1=∠2,
∠3=∠NBM,∠BND=180°
-2∠2,∠BNM=180°
-2∠NBM,∴∠MND=∠BND-∠BNM=2(∠NBM-∠2)=60°
∵ND=NM,∴△MND是等边三角形.∴DN=DM,∠NDM一60°
∠ADC一∠NDM,
∴∠NDA=∠MDC.在△AND与∠CMD中,DN=DM,∠NDA=∠MDC,AD=DC,∴△AND≌△CMD(SAS),∴NA=MC.
2.(2017秋·
东湖高新区期末模拟)如图,在△ABC中,∠ACB=900,∠ABC=300,△CDE是等边三角形,点D在边AB上.
(1)如图①,当点E在边BC上时,求证:
DE=EB;
(2)如图②,当点E在△ABC内部时,猜想ED和EB的数量关系,并加以证明;
(3)如图③,当点E在△ABC外部时,EH上。
气B于点H,过点E作GE∥AB,交线段AC的延长线于点G,AG=5CG,BH=3.求CG的长.
(1)∵△CDE是等边三角形,∴∠CED=60°
,∴∠EDB=60°
-∠B=30°
,∴∠EDB=∠B,∴DE=EB.
(2)ED=EB.理由如下:
取AB的中点0,连接CO,EO.∵∠ACB=90°
∠ABC=30°
,∴∠A一60°
OC=OA.
,∴△ACO为等边三角形,∴CA=CO.∵△CDE是等边三角形,∴∠ACO=∠DCE,∴∠ACD=∠OCE.
在△ACD和△OCE中,CA=CO,∠ACD=∠OCE,CD=CE,∴△ACDcn△OCE(SAS),
∴∠COE=∠A=60°
∴∠BOE=60°
.在△COE和△BOE中,OC=OB,∠COE=∠BOE,OE=OE,
∴△COE≌△BOE(SAS),∴EC=EB,∴ED=EB.
(3)取AB的中点0,连接CO,EO,EB,由
(2)得△ACD≌△OCF,,∴∠COE=∠A=600,∴∠BOE=60°
易证△COE≌△BOE(SAS),∴EC=EB,∴ED=EB.∵EH⊥AB,∴DH=BH=3.∵GE‖AB,∴∠G=180°
-∠A=120°
.在△CEG和△DCO中,∠G=∠COD,∠GEC=∠OCD(易证),CE=CD,∴△CEG≌△DCO(AAS),
∴CG=OD.设CG=a,则AG=5a,OD=a,∴AC=OC=4a,∵OC=OB,∴4a=a+3+3,
解得a=2,即CG=2.
专题4代几综合
东湖高新区期中)如图①,在平面直角坐标系中,A,B坐标分别为(6,O),(O,6),P为线段AB上的一点.
(1)如图①,若S△AOP=12,求点P的坐标;
(2)如图②,若P为AB的中点,点M,N分别是OA,OB边上的动点,点M从顶点A,点N从顶点O同时出发,且它们的速度都为1cm/s,则在M,N运动的过程中,线段PM,PN之间有何关系?
并证明;
(3)如图③,若P为线段AB上异于A,B的任意一点,过点B作BD⊥OP,分别交OP,OA于F,D两点,E
为OA上一点,且∠PEA=∠BDO,试判断线段OD与AE的数量关系,并说明理由.
(1)P(2,4).
(2)结论:
PM=PN,PM⊥PN,如图②,连接OP.由题意易证△PON≌△PAM(SAS),
∴PN=PM,∠OPN=∠APM,∴∠NPM=∠OPA=90°
,∴PM⊥PN,PM=PN.
(3)结论:
OD=AE.理由:
如图③,作AG⊥x轴交OP的延长线于G.∵BD⊥OP,∴∠OAG=∠BOD=∠OFD=90°
∠ODF+∠AOG=90°
∠ODF+∠OBD=90°
,∴∠AOG=∠DBO.又∵OB=OA,∠BOD=∠OAC,∴△DBO≌△GOA(ASA),∴OD=AG,∠BDO=∠G.∵∠BDO=∠PEA,∴∠G=∠AEP.∵∠PAE=∠PAG=45°
PA=PA,
∴△PAE≌△PAG(SAS),∴AE=AG.又∵AG=OD,∴OD=AE.
2.已知,等腰直角△ABC在平面直角坐标系中的位置如图①,点A(O,2),点B(-6,O),点C在第四象限.
(1)点C的坐标为;
(2)如图②,若AC交x轴于M,BC交y轴于D,E是AC上一点,且CE=AM,连接DE,求证:
AD+DE=BM;
(3)如图③,在y轴上取点F(0,-6),点H是y轴上F下方任一点,作HG⊥BH交射线CF于G,在点H位置变化的过程中,
是否为定值?
若是,求其值;
若不是,说明理由.
(1)(2,-4)
(2)如图②,作CK⊥AC交x轴于K.易知∠ABM=∠CAK.∵∠BAM=∠ACK=90°
AB=AC,
∠ABM=∠CAK,∴△ABM≌△CAK(ASA),∴AM=CK,BM=AK.∵CE=AM,∵CE=CK.
∵∠DCE=∠DCK,DC=DC,∴△CDE≌△CDK,∴DE=DK,∴AD+DE=AD+DK=AK=BM.
=1.理由:
如图③,作AI⊥AF交FB的延长线于I,作HJ⊥BF于J,HK⊥GF于K,∵B(-6,O),F(0,-6),∴OB=OF,∴△BOF是等腰直角三角形,∴∠AFB=45°
∵AI⊥AF,∴∠I=∠AFI=45°
∴AI=AF.∵∠BAC=∠IAF=90°
,∴∠IAB=∠FAC.∴AI=AF,AB=AC,∴△AIB≌△AFC,∴∠CFA=∠I一45°
∴∠BFC=90°
∴∠GFH一∠HFJ=45°
∴∠BFG一∠BHG=90°
∴∠HBF=∠HGF,
易证△HJB≌△HKG(AAS),∴BH=GH,
=1
洪山区期中)在平面直角坐标系xOy中,直线AB交y轴于点A,交x轴于点B,A(0,6),B(6,O).点D是线段BO上一点,BN⊥AD交AD的延长线于点N.
(1)如图①,若OM∥BN交AD于点M.过点0作OG⊥BN,交BN的延长线于点G,求证:
AM=BG;
(2)如图②,若∠ADO=67.5°
OM‖BN交AD于点M,交AB于点Q,求
的值;
(3)如图③,若OC∥AB交BN的延长线于点C.请证明:
∠CDN+2∠BDN=180º
(1)如图①,∵BN⊥AN,OM∥BG,∴OM⊥AN,∴∠AMO=∠ANB=∠AOD=90°
∵∠ADO=∠BDN,
∴∠OAD=∠DBN,∵A(0,6),B(6,O),∴OA=OB.∵OG⊥BG,∴∠OGB=∠OMA=90°
∴△AOM≌△BOG,∴AM=BG.
(2)如图②,作BH⊥OQ交OQ的延长线于H.
∵∠ADO=67.5∴∠BOH=∠OAM=22.5°
.∵OA=OB,∠AMO=∠H=90°
,∴△OAM≌△BOH,∴OM=BH,
AM=OH.∵AN⊥OH,OH⊥BH,∴AN∥BH,∴∠ADO=∠OBH=67.5°
.∵∠OBA=45°
∴∠HBQ=∠DOM=22.5°
.∵∠OMD=∠H=90°
,∴△OMD≌△BHQ.∴DM=QH.∴AD-OQ=AM+DM-(OH-HQ)=2DM,∴
(3)如图
,作OE平分∠AOB交AD于E.∵OC∥AB,∴∠COB一∠ABO一∠AOE=45°
∵OA=OB,
∠0AE=∠OBC,∴△AOE≌△BOC,∴OE=OC,又∵∠EOD=∠DOC,OD=OD,∴△ODE≌△ODC(SAS),
∴∠ODE=∠0DC.∵∠ODE=∠BDN,∴∠ODC=∠BDN.∵∠CDN+∠0DC+∠BDN=180°
,∴∠CDN+2∠BDN=180°
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