江苏常州中考数学试题解析版Word文档格式.docx
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{题目}4.(2019年常州)如图,在线段PA、PB、PC、PD中,长度最小的是()
A.线段PAB.线段PBC.线段PCD.线段PD
{答案}B
{解析}本题考查了垂线的性质及点到直线的距离,根据“垂线段最短”,易知在线段PA、PB、PC、PD中,长度最小的是PB,因此本题选B.
[1-5-1-2]垂线}
垂线的性质}
点到直线的距离}
{难度:
{题目}5.(2019年常州)若△ABC∽△
,相似比为1﹕2,则△ABC与△
的周长的比为()
A.2﹕1B.1﹕2C.4﹕1D.1﹕4
{解析}本题考查了相似三角形的性质,根据相似三角形的周长比等于相似比,知△ABC与△
的周长的比为1﹕2,因此本题选B.
[1-27-1-2]相似三角形的性质}
相似三角形的性质}
2-简单}
{题目}6.(2019年常州)下列各数中与2+
的积是有理数的是()
A.2+
B.2C.
D.2-
{解析}本题考查了分母有理化及二次根式的乘法法则,因数(2+
)(2-
)=1,因此本题选D.
[1-16-2]二次根式的乘除}
分母有理化}
二次根式的乘法法则}
3-中等难度}
{题目}7.(2019年常州)判断命题“如果n<1,那么n2-1<0”是假命题,只需举出一个反例.反例中的n可以
为()
A.-2B.-
C.0D.
{解析}本题考查了用举反例的方法证明一个假命题,根据反例的意义:
即命题的条件成立,但命题的结论不成立的例子即可为反例,本题中由“-2<1,而(-2)2-1=3>1”,从而反例中的n可以为-2,因此本题选A.
[1-5-4]命题、定理、证明}
推理与证明}
反证法}
{题目}8.(2019年常州)随着时代的进步,人们对PM2.5(空气中直径小于等于2.5微米的颗粒)的关注日益密切.
某市一天中PM2.5的值y1(ug/m3)随着时间t(h)的变化如图所示,设y2表示0到t时PM2.5的值的极
差(即0时到t时PM2.5的最大值与最小值的差),则y2与t的函数关系大致是()
B.
C.2D.
{解析}本题考查了极差的意义及函数图像的应用,将一天24小时分成三段:
0≤t≤10、10≤t≤20、20≤t≤24,在0≤t≤10,y2随t的增大而增大;
在10≤t≤20,y2随t的增大而不变(恒为85-42=43),在20≤t≤24,y2随t的增大而增大,因此本题选B.
[1-19-1-2]函数的图象}
函数的图象}
极差}
分段函数的应用}
代数选择压轴}
思想方法}{类别:
高度原创}{类别:
发现探究}{类别:
常考题}{类别:
易错题}{类别:
新定义}
5-高难度}
{题型:
2-填空题}二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分.不需写出解答过程,请把答案直接写在答题卡相应位置上)
{题目}9.(2019年常州)计算:
a3÷
a=__________.
{答案}a2
{解析}本题考查了同底幂的除法法则:
同底幂相除,底数不变,指数相减,而a3÷
a=a3-1=a2,因此本题答案为a2.
[1-15-2-3]整数指数幂}
同底数幂的除法}
{题目}10.(2019年常州)4的算术平方根是__________.
{答案}2
{解析}本题考查了算术平方根的定义,因为22=4,所以4的算术平方根为2,因此本题答案为2.
[1-6-1]平方根}
算术平方根}
易错题}
{题目}11.(2019年常州)分解因式:
ax2-4a=__________.
{答案}a(x+2)(x+2)
{解析}本题考查了因式分解的常用方法,根据因式分解的步骤,先提公因式,再运用公式法进行分解,ax2-4a=a(x2-4)=a(x+2)(x+2),因此本题答案为a(x+2)(x+2).
[1-14-3]因式分解}
因式分解-提公因式法}
因式分解-平方差}
{题目}12.(2019年常州)如果∠α=35°
,那么∠α的余角等于__________°
.
{答案}55°
{解析}本题考查了余角的定义,根据和为90°
的两个角称为互为余角,∵35°
+55°
=90°
,∴∠α的余角等于55°
,因此本题答案为55°
[1-4-3-3]余角和补角}
互余}
{题目}13.(2019年常州)如果a-b-2=0,那么代数式1+2a-2b的值是__________.
{答案}5
{解析}本题考查了整式的求值问题,将条件进行转化,然后利用整体代入的方法进行求值.∵a-b-2=0,∴a-b=2.∴1+2a-2b=1+2(a-b)=1+2×
2=5,因此本题答案为5.
[1-2-2]整式的加减}
代数式求值}
思想方法}
{题目}14.(2019年常州)平面直角坐标系中,点P(-3,4)到原点的距离是__________.
{解析}本题考查了平面内两点间的距离公式及勾股定理知识,根据两点间的距离公式或勾股定理,可求得点P(-3,4)到原点的距离是
=5,因此本题答案为5.
[1-7-2]平面直角坐标系}
平面直角坐标系}
点的坐标}
点的坐标的应用}
{题目}15.(2019年常州)若
是关于x、y的二元一次方程ax+y=3的解,则a=__________.
{答案}1
{解析}本题考查了二元一次方程的解的定义,将
代入方程ax+y=3,得a+2=3,a=1,因此本题答案为1.
[1-8-1]二元一次方程组}
二元一次方程的解}
{题目}16.(2019年常州)如图,AB是⊙O的直径,C、D是⊙O上的两点,∠AOC=120°
,则∠CDB=__________°
{答案}30
{解析}本题考查了圆周角定理,∵AB是⊙O的直径,∠AOC=120°
,∴∠BOC=60°
.∴∠CDB=30°
.因此本题答案为30.
[1-24-1-4]圆周角}
圆周角定理}
直径所对的圆周角}
{题目}17.(2019年常州)如图,半径为
的⊙O与边长为8的等边三角形ABC的两边AB、BC都相切.连接OC,则tan∠OCB=__________.
{答案}
{解析}本题考查了切线长定理、等边三角形的性质、锐角三角函数等知识.设⊙O与BC边相切于点D,连接OB、OD.由等边三角形的性质得∠ABC=60°
,再由切线长定理易求∠OBC=30°
,而OD=
,从而由tan∠OBD=
,得BD=
=3,于是CD=BC-BD=8-3=5.在Rt△OCD中,由正切函数定义,得tan∠OCB=
=
.因此本题答案为
[1-24-2-2]直线和圆的位置关系}
[1-28-3]锐角三角函数}
切线长定理}
正切}
解直角三角形}
高度原创}
{题目}18.(2019年常州)如图,在矩形ABCD中,AD=3AB=3
.点P是AD的中点,点E在BC上,CE=2BE,点M、N在线段BD上.若△PMN是等腰三角形且底角与∠DEC相等,则MN=__________.
{答案}6
{解析}本题考查了矩形的性质、相似三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数等几何知识点.首先由勾股定理,求得BD=10,然后由“AD=3AB=3
.点P是AD的中点,点E在BC上,CE=2BE”,求得PD=
,CE=2
,这样由tan∠DEC=
;
第四步过点P作PH⊥BD于点H,在BD上依次取点M、N,使MH=NH=2PH,于是因此△PMN是所求符合条件的图形;
第五步由△DPH∽△DBA,得
,即
,得PH=
,于是MN=4PH=6,本题答案为6.
[1-17-1]勾股定理}
[1-13-2-1]等腰三角形}
[1-18-2-1]矩形}
[1-27-1-1]相似三角形的判定}
勾股定理}
等边三角形的性质}
等边三角形的判定}
矩形的性质}
由平行判定相似}
几何填空压轴}
发现探究}
4-解答题}三、解答题(本大题共10小题,共84分.请在答题卡指定区域内作答,如无特殊说明,解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程)
{题目}19.(2019年常州)(8分)计算:
(1)
(2)(x-1)(x+1)-x(x-1).
{解析}本题考查了实数的运算、整式的加减乘除法运算,解题的关键是按实数的运算法则与运算顺序、整式的乘法法则及加减法法则进行计算即可.
{答案}解:
(1)原式=1+2-3=0;
(2)原式=x2-1-x2+x=x-1.
{分值}8
[1-6-3]实数}
单项式乘以多项式}
平方差公式}
{题目}20.(2019年常州)(6分)解不等式组
并把解集在数轴上表示出来.
{解析}本题考查了一元一次不等式组的解法及在数轴上表示法,解题先分别求每一个不等式的解集,然后借助数轴找它们解集的公共部分即为原不等式组的解集,另外,画出数轴按相关要求将其解集表示出来.
不等式①的解集为x>-1;
不等式②的解集为:
3x+x≤8,
4x≤8,
x≤2.
∴原不等式组的解集为-1<x≤2,在数轴上表示如下:
{分值}6
[1-9-3]一元一次不等式组}
解一元一次不等式组}
在数轴上表示不等式的解集}
{题目}21.(2019年常州)(8分)如图,把平行四边形纸片ABCD沿BD折叠,点C落在
处,
与AD相交于点E.
(1)连接
,则
与BD的位置关系是_________;
(2)EB与ED相等吗?
证明你的结论.
{解析}本题考查了折叠、平行四边形的性质、平行线的判定、等腰三角形的判定等知识点,连接
,从图形上容易看出并证明四边形
是等腰梯形,故
∥BD.由折叠(轴对称性质)及平行四边形的性质、等角对等边可证明EB=ED.
第21题答图
∥BD;
(2)EB=ED.理由如下:
由折叠可知∠CBD=∠EBD,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC.
∴∠CBD=∠EDB.
∴∠EBD=∠EDB.
∴EB=ED.
[1-13-1-1]轴对称}
[1-18-1-1]平行四边形的性质}
折叠问题}
等角对等边}
平行四边形角的性质}
{题目}22.(2019年常州)(8分)在“慈善一日捐”活动中,为了解某校学生的捐款情况,抽样调查了该校部分学生的捐款数(单位:
元),并绘制成下面的统计图.
(1)本次调查的样本容量是________,这组数据的众数为________元;
(2)求这组数据的平均数;
(3)该校共有600名学生参与捐款,请你估计该校学生的捐款总数.
{解析}本题考查了统计中的条形图的应用,众数、平均数的求法及用样本估计总体的统计核心思想.将条形图的四组数据相加即可样本容量;
由图可知这组数据的众数为10元;
利用加权平均数计算公式即可求出这组数据的平均数;
最后用样本平均数去乘数据总个数即可计该校学生的捐款总数.
(1)30,10;
(2)
=12(元);
(3)∵12×
600=7200(元),
∴估计该校学生的捐款总数为7200元.
[1-10-1]统计调查}
[1-20-1-1]平均数}
[1-20-1-2]中位数和众数}
总体、个体、样本、样本容量}
用样本估计总体}
条形统计图}
加权平均数(频数为权重)}
{题目}23.(2019年常州)(8分)将图中的A型(正方形)、B型(菱形)、C型(等腰直角三角形)纸片分别放在3个盒子中,盒子的形状、大小、质地都相同,再将这3个盒子装入一只不透明的袋子中.
根据以上信息,解决下列问题:
(1)搅匀后从中摸出1个盒子,盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是________;
(2)搅匀后先从中摸出1个盒子(不放回),再从余下的2个盒子中摸出1个盒子,把摸出的2个盒中的纸片长度相等的边拼在一起,求拼成的图形是轴对称图形的概率.(不重叠无缝隙拼接)
{解析}本题考查了概率的求法,第
(1)问用简单枚举法及概率的意义较易求出;
第
(2)问用列表法或画树状图法可以解决.
(2)现画树状图如下:
第23题答图
由图可知共有6种等可能的结果,其中“拼成的图形是轴对称图形”的结果有2种,故P(拼成的图形是轴对称图形)=
[1-25-1-2]概率}
[1-25-2]用列举法求概率}
概率的意义}
一步事件的概率}
两步事件不放回}
{题目}24.(2019年常州)(8分)甲、乙两人每小时共做30个零件,甲做180个零件所用的时间与乙做120个零件所用的时间相等.甲、乙两人每小时各做多少个零件?
{解析}本题考查了分式方程的应用,解题时按列分式方程解应用的步骤进行操作即可,本题的等量关系是:
甲做180个零件所用的时间与乙做120个零件所用的时间相等.
设甲每小时做x个零件,则乙每小时做(30-x)个零件,根据题意,得
,解得x=18.
经检验,x=18是原方程的解,则30-x=12.
答:
甲、乙两人每小时分别做18个和12个零件.
[1-15-3]分式方程}
分式方程的应用(工程问题)}
{题目}25.(2019年常州)(8分)如图,在□ABCD中,OA=2
,∠AOC=45°
,点C在y轴上,点D是BC的中点,反比例函数y=
(x>0)的图像经过点A、D.
(1)求k的值;
(2)求点D的坐标.
{解析}本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的性质、反比例函数等知识点.
(1)如答图,延长BA交x轴于点F,取OA的中点E,连接DE.由OA=2
,利用等腰直角三角形的边角关系易求OF=AF=2,从而A(2,2),并代入双曲线的解析式即可得k=4.
(2)由中点公式,易求点E的坐标,从而D点的横坐标与E点相同,在y=
,将点E的横坐标代入可求y的值,从而求出点D的坐标.
(1)如答图,延长BA交x轴于点F,取OA的中点E,连接DE,则AF⊥x轴于点F.
在Rt△AOF中,OA=2
,可得OF=AF=2,从而A(2,2).
∵反比例函数y=
(x>0)的图像经过点A、D,
∴k=2×
2=4.
(2)∵O(0,0),A(2,2),
∴线段OA的中点E的坐标为(1,1).
∵在y=
中,当x=1,y=4,
∴点D的坐标为(1,4).
[1-26-1]反比例函数的图像和性质}
反比例函数的解析式}
反比例函数的图象}
等腰直角三角形}
平行四边形边的性质}
{题目}26.(2019年常州)(10分)
【阅读】
数学中,常对同一个量(图形的面积、点的个数、三角形内角和等)用两种不同的方法计算,从而建立相等关系,我们把这一思想称为“算两次”.“算两次”也称为富比尼原理,是一种重要的数学思想.
【理解】
(1)如图1,两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成一个梯形.用两种不同的方法计算梯形的面积,并写出你发现的结论;
(2)如图2,n行n列的棋子排成一个正方形,用两种不同的方法计算棋子的个数,可得到等式:
n2=___________________________.
图26—1
图26—2
【运用】
(3)n边形有n个顶点,在它的内部再画m个点,以(m+n)点为顶点,把n边形剪成若干个三角形,设最多可以剪得y个这样的三角形.当n=3,m=3时,如图3,最多可以剪得7个这样的三角形,所以y=7.
①当n=4,m=2时,如图4,y=______;
当n=5,m=_______时,y=9;
②对于一般的情形,在n边形内画m个点,通过归纳思想,可得y=__________(用含m、n的代数式表示).请对同一个量用算两次的方法说明你的猜想成立.
{解析}本题考查了勾股定理的验证、数列的求和公式推导、规律探究等知识点.
(1)利用梯形面积的两种不同的计算方式,得到关于直角三角形三边a、b、c的数量关系:
a2+b2=c2,从而得到结论:
直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方.
(2)根据图2中n行n列个点的计算方式,得到n2=1+3+5+…+2n-1(n为正整数).(3)先观察图3和图4,不难解决第①问;
②利用多边形的内角和公式,得到在n边形内有不共线的m个点,最多能剪出y个三角形,这些y个三角形的内角和的总和为(180y)°
,也等于n边形的内角和与m个周角的和,即可得到y与m、n的数量关系式.
(1)∵S梯形=
(a+b)(a+b)=
(a2+2ab+b2),
又∵S梯形=2×
ab+
c2,
∴
(a2+2ab+b2)=2×
c2.
∴a2+2ab+b2=2ab+c2.
∴a2+b2=c2.
结论:
直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方.
(2)1+3+5+…+2n-1(n为正整数).
(3)①6,3;
②n+2m-2,理由如下:
如答图,在n边形内有不共线的m个点,最多能剪出y个三角形,这些y个三角形的内角和的总和为(180y)°
,也等于n边形的内角和与m个周角的和,即180°
•(n-2)+m•360°
,故180y=180(n-2)+360m,故y=n+2m-2.
{分值}10
[1-11-3]多边形及其内角和}
数学文化}
多边形的内角和}
勾股定理的证明}
{题目}27.(2019年常州)(10分)如图,二次函数y=-x2+bx+3的图像与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,点A坐标为(-1,0),点D为OC的中点,点P在抛物线上.
(1)b=_____;
(2)若点P在第一象限,过点P作PH⊥x轴,垂足为H,PH与BC、BD分别交于点M、N.是否存在这样的点P,使得PM=MN=NH,若存在,求出点P的坐标;
若不存在,请说明理由;
(3)若点P的横坐标小于3,过点P作PQ⊥BD,垂足为Q,直线PQ与x轴交于点R,且S△PQB=2S△QRB,求点P的坐标.
{解析}本题考查了二次函数的综合应用,涉及到的知识点有:
用待定系数法求函数解析式、一元二次方程的解法、相似三角形的性质与判定等.
(1)直接将点A坐标代入抛物线解析式,得到关于b的一元一次方程,解之即可;
(2)先求直线BC、BD的解析式,然后令P(m,-m2+2m+3),则M(m,-m+3)、N(m,-
m+
),再利用PM=MN=NH,得到m的一元二次方程解之即可锁定符合条件的点P坐标;
(3)如答图2,过点P作PK⊥AB于点K,过点Q作QJ⊥AB于点J,则PK∥QJ.通过面积关系及相似三角形知识,将问题转化为点P的纵坐标为点Q纵坐标3倍关系,最后利用坐标法仿照
(2)得到符合条件的点P的坐标.
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