函数的极值与导数精品课件优质PPT.ppt
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,分析函数在附近的函数值分别与的关系.,设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义,
(1)如果在x=x0处的函数值比它附近所有各点的函数值都大,即f(x)f(x0),则称f(x0)是函数y=f(x)的一个极大值.记作:
y极大值=f(x0),【函数极值的定义】,
(2)如果在x=x0处的函数值比它附近所有各点的函数值都小,即f(x)f(x0),则称f(x0)是函数y=f(x)的一个极小值.记作:
y极小值=f(x0),极大值与极小值统称为极值,x0叫做函数的极值点.,观察上述图象,试指出该函数的极值点与极值,并说出哪些是极大值点,哪些是极小值点.,
(1)极值是一个局部概念,反映了函数在某一点附近的大小情况;
(2)极值点是自变量的值,极值指的是函数值;
(3)函数的极大(小)值可能不止一个,而且函数的极大值未必大于极小值;
【关于极值概念的几点说明】,(4)函数的极值点一定在区间的内部,区间的端点不能成为极值点。
而函数的最值既可能在区间的内部取得,也可能在区间的端点取得。
【问题探究】,函数y=f(x)在极值点的导数值为多少?
在极值点附近的导数符号有什么规律?
一般地,当函数在点处连续时,判断是极大(小)值的方法是:
f(x0)=0,
(1)如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值,
(2)如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值,注:
导数为0的点不一定是极值点,观察与思考:
极值与导数有何关系?
对于可导函数,若x0是极值点,则f(x0)=0;
反之,若f(x0)=0,则x0不一定是极值点.,函数y=f(x)在一点的导数为0是函数在这点取极值的必要条件,而非充分条件。
函数y=f(x)在x0取极值的充分条件是:
(1)f(x0)=0,
(2)在x0附近的左侧f(x0)0(0),
(1)求导数f/(x);
(2)解方程f/(x)=0(3)通过列表检查f/(x)在方程f/(x)=0的根的左右两侧的符号,进而确定函数的极值点与极值.,【求函数极值的步骤】,例、求函数的极值,例题讲解,解:
当时,y有极大值,并且,当时,y有极小值,并且,例、求函数的极值,解:
当时,y有极小值,并且,注意:
函数极值是在某一点附近的小区间内定义的,是局部性质。
因此一个函数在其整个定义区间上可能有多个极大值或极小值,并对同一个函数来说,在某一点的极大值也可能小于另一点的极小值。
练习1.判断下面4个命题,其中是真命题序号为。
可导函数必有极值;
可导函数在极值点的导数一定等于零;
函数的极小值一定小于极大值(设极小值、极大值都存在);
函数的极小值(或极大值)不会多于一个。
2、函数y=f(x)的导数y/与函数值和极值之间的关系为()A、导数y/由负变正,则函数y由减变为增,且有极大值B、导数y/由负变正,则函数y由增变为减,且有极大值C、导数y/由正变负,则函数y由增变为减,且有极小值D、导数y/由正变负,则函数y由增变为减,且有极大值,D,练习:
函数在时有极值10,则a,b的值为()A、或B、或C、D、以上都不对,C,,,注意:
f/(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件,注意代入检验,3.,.,略解:
(1)由图像可知:
(2),注意:
数形结合以及函数与方程思想的应用,
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