通用版高考数学复习专题六统计与概率62概率统计解答题练习文Word格式.docx
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不大于2
000元
大于2
仅使用A
27人
3人
仅使用B
24人
1人
(1)估计该校学生中上个月A,B两种支付方式都使用的人数;
⑵从样本仅使用B的学生中随机抽取1人,求该学生上个月支付金额大于2000元的概率;
(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人,发
现他本月的支付金额大于2000元.结合
(2)的结果,能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额
大于2000元的人数有变化?
说明理由.
解2
(1)由题知,样本中仅使用A的学生有27+3=30人,仅使用B的学生有24+仁25人,A,B两种支付方式都不使用的学生有5人.
故样本中A,B两种支付方式都使用的学生有100-30-25-5=40人.
估计该校学生中上个月A,B两种支付方式都使用的人数为—X1000=400.
⑵记事件C为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人,该学生上个月的支付金额大于2000
元”,则P(C)—=0.04.
(3)记事件E为“从样本仅使用B的学生中随机抽查1人,该学生本月的支付金额大于2000
—?
?
兀•
假设样本仅使用B的学生中,本月支付金额大于2000元的人数没有变化,则由
(2)
知,P(E)=0.04.
答案示例1:
可以认为有变化•理由如下:
R曰比较小,概率比较小的事件一般不容易发生,一旦发生,就有理由认为本月支付金额大于
2000元的人数发生了变化.所以可以认为有变化.
答案示例2:
无法确定有没有变化•理由如下:
事件E是随机事件,P(曰比较小,一般不容易发生,但还是有可能发生的•所以无法确定有没有
变化•
2.(2017全国川•18)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶
6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完•根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:
°
C)有关•如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;
如果最高气温位于区间
[20,25),需求量为300瓶;
如果最高气温低于20,需求量为200瓶•为了确定六月份的订购计划,统
计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:
最
高
气
温
[10,15)
:
15,20)
[20,25)
[25,30)
[30,35)
[35,40)
天
16
36
25
7
数
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率
(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率;
⑵设六月份一天销售这种酸奶的利润为单位:
元),当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时,
写出Y的所有可能值,并估计Y大于零的概率.
解
(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶,当且仅当最高气温低于25,由表格数据知,最高气温
低于25的频率为=0.6,所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.
(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时,
若最高气温不低于25,
则y=6X450-4X450=900;
若最高气温位于区间[20,25),
则Y=6X300+2(450-300)-4X450=300;
若最高气温低于20,
则Y=6X200+2(450-200)-4X450=-100.
所以,Y的所有可能值为900,300,-100.
Y大于零当且仅当最高气温不低于20,由表格数据知,最高气温不低于20的频率为
=0.8,因此Y大于零的概率的估计值为0.8.
典题演练提能•刷高分
1.某产品按行业质量标准分成五个等级AB,C,DE现从一批产品中随机抽取20件,对其等级进行
统计分析,得到频率分布表如下
等
级
A
E
C
D
频
a
b
0.45
c
0.1
(1)若所抽取的20件产品中,等级为A的恰有2件,等级为B的恰有4件,求c的值;
⑵在⑴的条件下,将等级为A的2件产品记为A,A,等级为B的4件产品记为B,B,B3,刍,现从
A,A,B,B,B3,B这6件产品中任取两件(假定每件产品被取出的可能性相同),写出所有可能的结果
并求这两件产品的等级不相同的概率•
解
(1)由题意可得:
ad=0.1,bd=0.2,c=1-(0.1+0.2+0.45+0.1)=0.15.
(2)由题意可得,所有可能的结果
为:
(A,A2),(A,B),(A,R),(A,B3),(A,B4),(A,B),(A,B),(A2,Bs),(A2,3,(B,B),(B,Bs),(B,B
),(B2,B3),(B2,B),(B3,B),共15种情况,任取两件产品中等级不同的共有8种情况,所以任取两件
产品等级不同的概率为P-.
2.(2019山东淄博一模)某商店销售某海鲜,统计了春节前后50天该海鲜的需求量x(x€[10,20],
单位:
千克),其频率分布直方图如图所示,该海鲜每天进货1次,商店每销售1千克可获利50元;
若供大于求,剩余的削价处理,每处理1千克亏损10元;
若供不应求,可从其他商店调拨,销售1千克可获利30元.假设商店每天该海鲜的进货量为14千克,商店的日利润为y元.
(1)求商店日利润y关于需求量x的函数表达式
(2)假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替
1求这50天商店销售该海鲜日利润的平均数
2估计日利润在区间[580,760]内的概率.
解
(1)商店的日利润
y关于需求量x的函数表达式为
y=
化简得y=
(2)①由频率分布直方图得
海鲜需求量在区间
[10,12)的频率是2X0.08=0.16;
[12,14)的频率是2X0.12=0.24;
[14,16)的频率是2X0.15=0.30;
[16,18)的频率是2X0.10=0.20;
[18,20]的频率是20X0.05=0.10;
这50天商店销售该海鲜日利润y的平均数为:
(11X60-14X10)X0.16+(13X60
14X10)X0.24+(15X30+20X14)X0.30+(17X30+20X14)X0.20+(19X30+20X14)X0.10=83.2+153.6+219+158+85=698.8(元).
②由于x=14时,30X14+280=60X14-140=700.
显然y=
在区间[10,20]上单调递增,
y=580=60x-140,得x=12;
y=760=30x+280,得x=16;
日利润y在区间[580,760]内的概率即求海鲜需求量x在区间[12,16]的频率:
0.24+0.30=0.54.
3.某学校高一、高二、高三三个年级共有300名教师,为调查他们的备课时间情况,通过分层抽样
获得了20名教师一周的备课时间,数据如下表(单位:
小时).
年
7.5
8
8.5
9
101
12
13
6
6.5
11
13.5
18.5
(1)试估计该校高三年级的教师人数
(2)从高一年级和高二年级抽出的教师中,各随机选取一人,高一年级选出的人记为甲,高二年级选
出的人记为乙,求该周甲的备课时间不比乙的备课时间长的概率
(3)再从高一、高二、高三三个年级中各随机抽取一名教师,他们该周的备课时间分别是8,9,10(单
位:
小时),这三个数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为-,表格中的数据平均数记为-,试
判断-与-的大小,并说明理由.
解
(1)抽出的20位教师中,来自高三年级的有8名,根据分层抽样方法,高三年级的教师共有300X—=120(人).
高三
=11,三组总平均值
=9.9,新加入的三个数8,9,10的
平均数为9,比-小,故拉低了平均值
4.
某游乐园为吸引游客推出了一项有奖转盘活动.如图所示,假设转盘质地均匀,四个区域划分均匀,
每个游客凭门票只可以参与一次活动,一次活动需转动转盘两次,每次转动后,待转盘停止转动时,
工作人员便会记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x,y,奖励规则如下:
①若xy奖励玩具一个;
②若xy>
奖励水杯一个;
③其余情况则奖励饮料一瓶.
(1)求在一次活动中获得玩具的概率;
(2)请比较一次活动中获得水杯与获得饮料的概率的大小,并说明理由.
解|
(1)用数对(x,y)表示儿童参加活动先后记录的数,则基本事件空间Q与点集S={(x,y)|x€N,y
€Nxy}一一对应.因为S中元素个数是4X4=16,所以基本事件总数为n=16.
记“xy”为事件A.则事件A包含的基本事件共有5个,即(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1),
故RA)=—,即小亮获得玩具的概率为一.
⑵记“xy>
”为事件B“3<
xy<
8”为事件C.
则事件B包含的基本事件共有6个,即(2,4),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4),RB)J-.
贝U事件C包含的基本事件共有5个,即(1,4),(2,2),(2,3),(3,2),(4,1),所以P(C因为
--,所以获得水杯的概率大于获得饮料的概率.
5.某公司为了准确把握市场,做好产品计划,特对某产品做了市场调查:
先销售该产品50天,统计发现每天的销售量x分布在[50,100]内,且销售量x的分布频率
―为偶数
为:
f(x)=
—为奇数
(1)求a的值.
(2)若销售量大于等于80,则称该日畅销,其余为滞销,根据是否畅销从这50天中用分层抽样的方法
随机抽取5天,再从这5天中随机抽取2天,求这2天中恰有1天是畅销日的概率(将频率视为概率).
解
(1)由题意知解得nn可取5,6,7,8,9,代入f(x)=
—为偶数
—为奇数
得一-—-—-—-—-=1,解得a=0.15.
(2)滞销日与畅销日的频率之比为(0.1+0.1+0.2):
(0.3+0.3)=2:
3,则抽取的5天中,滞销日
有2天,记为a,b,畅销日有3天,记为C,D,E再从这5天中抽出2天,基本事件有
ab,aCaDaEbCbDbECDCEDE共10个,2天中恰有1天为畅销日的事件有aCaDaEbCbDbE,
共6个,则所求概率为一-.
6.
是中国最具
全国大学生机器人大赛是由共青团中央,全国学联,深圳市人民政府联合主办的赛事
影响力的机器人项目,是全球独创的机器人竞技平台•全国大学生机器人大赛比拼的是参赛选手们
的能力、坚持和态度,展现的是个人实力以及整个团队的力量.2015赛季共吸引全国240余支机器
人战队踊跃报名,这些参赛战队来自全国六大赛区,150余所高等院校,其中不乏北京大学,清华大学,
上海交大,中国科大,西安交大等众多国内顶尖高校,经过严格筛选,最终由111支机器人战队参与
到2015年全国大学生机器人大赛的激烈角逐之中•某大学共有“机器人”兴趣团队1000个,大一、
大二、大三、大四分别有100,200,300,400个,为挑选优秀团队,现用分层抽样的方法,从以上团队
中抽取20个团队.
(1)应从大三抽取多少个团队?
⑵将20个团队分为甲、乙两组,每组10个团队,进行理论和实践操作考试(共150分),甲、乙两
组的分数如下:
甲:
125,141,140,137,122,114,119,139,121,142
乙:
127,116,144,127,144,116,140,140,116,140
从甲、乙两组中选一组强化训练,备战机器人大赛•
1从统计学数据看,若选择甲组,理由是什么?
若选择乙组,理由是什么?
2从乙组中不低于140分的团队中任取两个团队,求至少有一个团队为144分的概率.
懈_
(1)由题意知,大三团队个数占总团队数的——一,则用分层抽样的方法,应从大三中抽取
20X—=6个团队.
(2)①甲组数据的平均数甲=130,乙组数据的平均数乙=131,甲组数据的方差甲=104.2,乙组数据
的方差乙=128.8,选甲组理由:
甲、乙两组平均数相差不大,且甲乙,甲组成绩波动小.
选乙组理由:
甲乙,且乙组中不低于140分的团队多,在竞技比赛中,高分团队获胜的概率大.
②不低于140分的团队共5个,其中140分的团队有3个,分别为a,b,C,144分的团队有2个,分别为E,F,则任取两个的情况有
(a,b),(a,c),(a,E),(a,F),(b,c),(b,E),(b,F),(c,E),(c,F),(EF),共10个,其中两个团队都是
140分的情况有(a,b),(a,c),(b,c),共3个•故所求概率为1-—-.
命题角度2统计图表与样本数字特征的综合应用
1.(2019天津•15)2019年,我国施行个人所得税专项附加扣除办法,涉及子女教育、继续教育、大
病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别
有72,108,120人,现采用分层抽样的方法,从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况.
(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人?
(2)抽取的25人中,享受至少两项专项附加扣除的员工有6人,分别记为AB,C,D,EF.享受情况如
下表,其中“O”表示享受,“x”表示不享受•现从这6人中随机抽取2人接受采访.
员工
项目
B
F
子女教
育
□
x
继续教
大病医
疗
住房贷
款利息
住房租
金
X
赡养老
人
1试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;
2设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”,求事件M发生的概率.
解
(1)由已知,老、中、青员工人数之比为6:
9:
10,由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员
工,因此应从老、中、青员工中分别抽取6人,9人,10人.
(2)①从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为
{AB},{Aq,{AD},{A,E},{AF},{B,Q,{BD,{B,E},{BF},{C,D},{C,E},{CF},{D,E},{DF],{
EF},共15种.
②由表格知,符合题意的所有可能结果为
{AB},{A,D,{AE},{A,F},{BD,{B,E},{BF},{C,E},{CF},{DF},{E,F},共11种.
所以,事件M发生的概率P(M—•
2.(2018全国I•19)某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位:
m3)和使用了节水
龙头50天的日用水量数据,得到频数分布表如下
未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用水
[0,0.1)
[0.1,0.2)
[0.2,0.3)
[0.3,0.4)
量
日用水量
[0.4,0.5)
[0.5,0.6)
[0.6,0.7)
26
5
使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表
[0.2,0.3)
[0.3,0.4)
[0.4,0.5)
[0.5,0.6)
10
(1)在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图
(2)估计该家庭使用节水龙头后,日用水量小于0.35m3的概率;
(3)估计该家庭使用节水龙头后,一年能节省多少水?
(一年按365天计算,同一组中的数据以这组数
据所在区间中点的值作代表.)
解
(1)
(2)根据以上数据,该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35m3的频率为
0.2X0.1+1X0.1+2.6X0.1+2X0.05=0.48,
因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.35m的概率的估计值为0.48.
(3)该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为
-(0.05X1+0.15X3+0.25X2+0.35X4+0.45X9+0.55X26+0.65X5)=0.48.
该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为
-(0.05X1+0.15X5+0.25X13+0.35X10+0.45X16+0.55X5)=0.35.
估计使用节水龙头后,一年可节省水(0.48-0.35)X365=47.45(m3).
3.(2018全国II•18)下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位:
亿元)的折线图.
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了y与时间变量t的两个线性回归模型.根据
2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为…建立模型①;
=-30.4+13.5t;
根据
2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为…建立模型②:
=99+17.5t.
(1)分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值;
(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?
并说明理由.
解
(1)利用模型①,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为=-30.4+13.5X19=226.1(亿
元)•
利用模型②,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为=99+17.5X9=256.5(亿元).
(2)利用模型②得到的预测值更可靠.
理由如下:
(i)从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=-
30.4+13.5t上下,这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加,2010年至2016年
的数据对应的点位于一条直线的附近,这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线
性增长趋势,利用2010年至2016年的数据建立的线性模型=99+17.5t可以较好地描述2010年以
后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型②得到的预测值更可靠.
(ii)从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型①得到的预测值
226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理,说明利用模型②得到的预
测值更可靠.
4.(2016全国I•19)某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,
在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购
买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种
,y表示1台机器在购买易损零件上所需的
机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:
记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数
费用(单位:
元),n表示购机的同时购买的易损零件数
(1)若n=19,求y与x的函数解析式;
(2)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5,求n的最小值;
(3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件,或每台都购买20个易损零件,分别
计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买1台机器的同时
应购买19个还是20个易损零件?
解2
(1)当x时,y=3800;
当x>
19时,y=3800+500(x-19)=500x-5700.所以y与x的函数解析式为
y=(x€N).
(2)由柱状图知,需更换的零件数不大于18的频率为0.46,不大于19的频率为0.7,故n的最
小值为19.
(3)若每台机器在购机同时都购买19个易损零件,则这100台机器中有70台在购买易损零件
上的费用为3800,20台的费用为4300,10台的费用为4800,因此这100台机器在购买易损零件上所
需费用的平均
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