学年高中数学 第一章 推理与证明综合测试 北师大版选修22Word文档格式.docx
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5.数列{an}中前四项分别为2,,,,则an与an+1之间的关系为( )
A.an+1=an+6B.=+3
C.an+1=D.an+1=
[解析] 观察前四项知它们分子相同,分母相差6,
∴{}为等差数列.
6.已知“整数对”按如下规律排成一列:
(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),…,则第60个数对是( )
A.(7,5)B.(5,7)
C.(2,10)D.(10,1)
[解析] 依题意,由和相同的整数对分为一组不难得知,第n组整数对的和为n+1,且有n个整数对.
这样前n组一共有个整数对.
注意到<
60<
.
因此第60个整数对处于第11组的第5个位置,为(5,7).故选B.
7.设a、b、c都是正数,则a+,b+,c+三个数( )
A.都大于2
B.至少有一个大于2
C.至少有一个不大于2
D.至少有一个不小于2
[解析] a++b++c+
=(a+)+(b+)+(c+)
∵a、b、c都是正数,∴a+≥2,b+≥2,c+≥2,当且仅当a=1,b=1,c=1时取等号
∴a++b++c+≥6
∴a+,b+,c+至少有一个不小于2.
8.把1,3,6,10,15,21,…,这些数叫作三角形数,如图所示,则第七个三角形数是( )
A.27 B.28
C.29 D.30
[解析] 第一个三角形数是1,
第二个三角形数是1+2=3,
第三个三角形数是1+2+3=6,
第四个三角形数是1+2+3+4=10,
因此,由归纳推理得第n个三角形数是1+2+3+4+…+n=.
由此可以得出第七个三角形数是28.
9.(2014·
长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学一模)设△ABC的三边长分别为a、b、c,△ABC的面积为S,内切圆半径为r,则r=;
类比这个结论可知:
四面体P-ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4,内切球的半径为r,四面体P-ABC的体积为V,则r=( )
A.B.
C.D.
[解析] 将△ABC的三条边长a、b、c类比到四面体P-ABC的四个面面积S1、S2、S3、S4,将三角形面积公式中系数,类比到三棱锥体积公式中系数,从而可知选C.
证明如下:
以四面体各面为底,内切球心O为顶点的各三棱锥体积的和为V,∴V=S1r+S2r+S3r+S4r,∴r=.
10.(2015·
陕西文,10)设f(x)=lnx,0<a<b,若p=f(),q=f,r=(f(a)+f(b)),则下列关系式中正确的是( )
A.q=r<pB.q=r>p
C.p=r<qD.p=r>q
[解析] p=f()=ln=ln(ab);
q=f()=ln;
r=(f(a)+f(b))=ln(ab),因为>,
由f(x)=lnx是个递增函数,f()>f(),
所以q>p=r,故答案选C.
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)
11.(2014·
厦门六中高二期中)在平面上,我们用一直线去截正方形的一个角,那么截下的一个直角三角形,按如图所标边长,由勾股定理有c2=a2+b2.设想正方形换成正方体,把截线换成如图截面,这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O-LMN,如果用S1,S2,S3表示三个侧面面积,S表示截面面积,那么类比得到的结论是________.
[答案] S2=S+S+S
[解析] 类比如下:
正方形↔正方体;
截下直角三角形↔截下三侧面两两垂直的三棱锥;
直角三角形斜边平方↔三棱锥底面面积的平方;
直角三角形两直角边平方和↔三棱锥三个侧面面积的平方和,结论S2=S+S+S.
如图,作OE⊥平面LMN,垂足为E,连接LE并延长交MN于F,
∵LO⊥OM,LO⊥ON,∴LO⊥平面MON,
∵MN⊂平面MON,∴LO⊥MN,
∵OE⊥MN,∴MN⊥平面OFL,∴S△OMN=MN·
OF,S△MNE=MN·
FE,S△MNL=MN·
LF,OF2=FE·
FL,∴S=(MN·
OF)2=(MN·
FE)·
(MN·
FL)=S△MNE·
S△MNL,同理S=S△MLE·
S△MNL,S=S△NLE·
S△MNL,∴S+S+S=(S△MNE+S△MLE+S△NLE)·
S△MNL=S,即S+S+S=S2.
12.f(n)=1+++…+(n∈N*),经计算得f
(2)=,f(4)>2,f(8)>,f(16)>3,f(32)>.推测:
当n≥2时,有____________.
[答案] f(2n)>
[解析] 由前几项的规律可得答案.
13.函数y=loga(x+3)-1(a>
0且a≠1)的图像恒过定点A,若点A在直线mx+ny+1=0上,其中mn>
0,则+的最小值为________.
[答案] 8
[解析] y=loga(x+3)-1(a>
0且a≠1)的图像恒过定点A(-2,-1).
又∵点A在直线mx+ny+1=0上,
∴2m+n=1.
又∵mn>
0,∴m>
0,n>
0.
∴2m+n=1≥2,当且仅当2m=n=,
即m=,n=时取等号,
∴mn≤.∴+==≥8.
14.若数列{an}中,a1=1,a2=3+5,a3=7+9+11,a4=13+15+17+19,…,则a10=________.
[答案] 1000
[解析] 前10项共使用了1+2+3+4+…+10=55个奇数,a10为由第46个到第55个奇数的和,即a10=(2×
46-1)+(2×
47-1)+…+(2×
55-1)==1000.
15.(2014·
陕西文,14)已知f(x)=,x≥0,若f1(x)=f(x),fn+1(x)=f(fn(x)),n∈N+,则f2014(x)的表达式为________.
[答案]
[解析] f1(x)=f(x)=,f2(x)=f(f1(x))==,f3(x)=f(f2(x))==,…,f2014(x)=.应寻求规律,找出解析式.
三、解答题(本大题共6小题,共75分,前4题每题12分,20题13分,21题14分)
16.已知a>
0,b>
0,求证:
+≥+.
[证明] 证法一:
(综合法)
∵a>
0,
∴+≥2,当且仅当a=b时取等号,同理:
+≥2,当且仅当a=b时取等号.
∴+++≥2+2,
即+≥+.
证法二:
(分析法)
要证+≥+,
只需证:
a+b≥a+b,
a+b-a-b≥0,
而a(-)-b(-)=(+)(-)2≥0,
当且仅当a=b时取等号,
所以+≥+.
证法三:
(反证法)
假设当a>
0时,+<
+.
由+<
+,得+--<
即
=
=<
当a>
0时,显然不成立,∴假设不成立.
故+≥+.
17.在△ABC中,AB⊥AC,AD⊥BC于D,求证:
=+,那么在四面体ABCD中,类比上述结论,你能得到怎样的猜想?
并说明理由.
[证明] 如图
(1)所示,由射影定理AD2=BD·
DC,AB2=BD·
BC,AC2=BC·
DC,
∴=
==.
又BC2=AB2+AC2,
∴==+.
∴=+.
猜想:
类比AB⊥AC,AD⊥BC猜想:
四面体ABCD中,AB、AC、AD两两垂直,
AE⊥平面BCD.则=++.
如图
(2),连结BE交CD于F,连结AF.
∵AB⊥AC,AB⊥AD,
∴AB⊥平面ACD.
而AF⊂面ACD,
∴AB⊥AF.
在Rt△ABF中,AE⊥BF,
在Rt△ACD中,AF⊥CD,
∴=+
∴=++,
故猜想正确.
18.已知数列{an},a1=5且Sn-1=an(n≥2,n∈N+).
(1)求a2,a3,a4,并由此猜想an的表达式;
(2)用数学归纳法证明{an}的通项公式.
[分析] 利用不完全归纳法猜想归纳出an,然后用数学归纳法证明.解题的关键是根据已知条件和假设寻找ak与ak+1和Sk与Sk+1之间的关系.
[解析]
(1)由已知,得a2=S1=a1=5,a3=S2=a1+a2=10,a4=S3=a1+a2+a3=5+5+10=20,an=.
(2)①证明当n=2时,a2=5×
22-2=5,表达式成立.
当n=1时显然成立,下面用数学归纳法证明n≥2时结论亦成立.
②假设n=k(k≥2,k∈N+)时表达式成立,即ak=5×
2k-2,
则当n=k+1时,由已知条件和假设有
ak+1=Sk=a1+a2+…+ak
=5+5+10+…+5×
2k-2
=5+
=5×
2k-1
2(k+1)-2.故当n=k+1时,表达式也成立.
由①②可知,对一切n(n≥2,n∈N+)都有an=5×
2n-2.
19.在圆x2+y2=r2(r>
0)中,AB为直径,C为圆上异于A,B的任意一点,则有kAC·
kBC=-1.你能用类比的方法得出椭圆+=1(a>
b>
0)中有什么样的结论?
并加以证明.
[解析] 类比得到的结论是:
在椭圆+=1(a>
0)中,A,B分别是椭圆长轴的左右端点,点P(x,y)是椭圆上不同于A,B的任意一点,则kAP·
kBP=-
设A(x0,y0)为椭圆上的任意一点,则A关于中心的对称点B的坐标为B(-x0,-y0),点P(x,y)为椭圆上异于A,B两点的任意一点,则kAP·
kBP=·
=.
由于A,B,P三点在椭圆上,∴
两式相减得,+=0,
∴=-,即kAP·
kBP=-.
故在椭圆+=1(a>
0)中,长轴两个端点为A,B,P为异于A,B的椭圆上的任意一点,则有kAP·
20.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>
0)的图象与x轴有两个不同的交点,若f(c)=0,且0<
x<
c时,f(x)>
(1)证明:
是f(x)=0的一个根;
(2)试比较与c的大小;
(3)证明:
-2<
b<
-1.
[解析]
(1)证明:
∵f(x)的图象与x轴有两个不同的交点,
∴f(x)=0有两个不等实根x1,x2,
∵f(c)=0,
∴x1=c是f(x)=0的一个根.
又x1x2=,∴x2=(≠c),
∴是f(x)=0的一个根.
(2)解:
假设<
c.
由>
0,当0<
知f()>
0,与f()=0矛盾,∴≥c,
又∵≠c,∴>
由f(c)=0,得ac+b+1=0,
∴b=-1-ac.
又a>
0,c>
0,∴b<
二次函数f(x)的图象的对称轴方程为x=-=<
=x2=,即-<
0,∴b>
-2,
∴-2<
21.等比数列{an}的前n项和为Sn,已知对任意的n∈N+,点(n,Sn)均在函数y=bx+r(b>
0且b≠1,b,r均为常数)的图像上.
(1)求r的值;
(2)当b=2时,记bn=2(log2an+1)(n∈N+),证明:
对任意的n∈N+,不等式·
·
…·
>
成立.
[解析]
(1)因为对任意n∈N+,点(n,Sn)均在函数y=bx+r(b>
0且b≠1,b,r均为常数)的图像上,所以Sn=bn+r.当n=1时,a1=S1=b+r,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=bn+r-(bn-1+r)=bn-bn-1=(b-1)bn-1,
又因为{an}为等比数列,所以r=-1,公比为b,an=(b-1)bn-1.
(2)证明:
当b=2时,an=(b-1)bn-1=2n-1,
bn=2(log2an+1)=2(log22n-1+1)=2n,
则=,所以·
=·
下面用数学归纳法证明不等式:
①当n=1时,左边=,右边=,因为>
,所以不等式成立.
②假设当n=k(k∈N+)时,不等式成立,
即·
.则当n=k+1时,
左边=·
=>
,
所以当n=k+1时,不等式也成立.
由①②可得,不等式对任何n∈N+都成立,
恒成立.
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