新教材人教A版高中数学必修第一册文档格式.doc
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sin=,cos1<
cos=,tan1>
tan=1,
∴tan1>
cos1.
4.lg2-lg-eln2-()-+的值为( A )
A.-1 B.
C.3 D.-5
[解析] 原式=lg2+lg5-2-2+2=lg10-2=1-2=-1.故选A.
5.设角α=-,则的值为( D )
A. B.
C. D.
[解析] 因为α=-,
所以
===
===.故选D.
6.若关于x的方程f(x)-2=0在(-∞,0)内有解,则y=f(x)的图象可以是( D )
[解析] 因为关于x的方程f(x)-2=0在(-∞,0)内有解,所以函数y=f(x)与y=2的图象在(-∞,0)内有交点,观察题中图象可知只有D中图象满足要求.
7.定义在R上的偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,且f()=0,则满足f(x)>
0的x的取值范围是( B )
A.(0,+∞) B.(0,)∪(2,+∞)
C.(0,)∪(,2) D.(0,)
[解析] 由题意知f(x)=f(-x)=f(|x|),所以f(|x|)>
f().因为f(x)在[0,+∞)上单调递增,所以|x|>
,又x>
0,解得0<
x<
或x>
2.
8.具有性质f()=-f(x)的函数,我们称为满足“倒负”变换.给出下列函数:
①y=ln;
②y=;
③y=
其中满足“倒负”变换的是( C )
A.①② B.①③
C.②③ D.①
[解析] ①f()=ln=ln,-f(x)=-ln=ln,f()≠-f(x),不满足“倒负”变换.
②f()===-=-f(x),满足“倒负”变换.
③当0<
1时,>
1,f(x)=x,f()=-x=-f(x);
当x>
1时,0<
<
1,f(x)=-,f()==-f(x);
当x=1时,=1,f(x)=0,f()=f
(1)=0==-f(x),满足“倒负”变换.
综上,②③是符合要求的函数,故选C.
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分)
9.将函数y=sin(x-)的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变),再向左平移个单位长度得g(x)的图象,则下列说法正确的是( ACD )
A.g(x)是奇函数
B.x=是g(x)图象的一条对称轴
C.g(x)的图象关于点(3π,0)对称
D.2g(0)=1
[解析] 将函数y=sin(x-)的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)得y=sin(-)的图象,再向左平移个单位长度得g(x)=sin=sin的图象,所以A正确;
因为g()≠±
1,所以B错;
因为g(3π)=sinπ=0,所以C正确;
又g(0)=0,所以2g(0)=1,所以D正确.综上,ACD正确.
10.已知0<
a<
b<
1<
c,则下列不等式不成立的是( BD )
A.ac<
bc B.cb<
ca
C.logac>
logbc D.sina>
sinb
[解析] 取a=,b=,c=2,则()2<
()2,A成立;
2>
2,B不成立;
2=-,2=-1,∴2>
2,C成立;
∵0<
,∴sina<
sinb,D不成立.故选BD.
11.将函数y=sin(2x+φ)的图象沿x轴向左平移个单位后,得到一个偶函数的图象,则φ的一个可能取值为( AB )
A.-π B.
C.0 D.-
[解析] 将函数y=sin(2x+φ)的图象沿x轴向左平移个单位,得到函数y=sin[2(x+)+φ]=sin(2x++φ),因为此时函数为偶函数,所以+φ=+kπ,k∈Z,即φ=+kπ,k∈Z,k=0时,φ=,k=-1时,φ=-.
12.下列命题正确的是( CD )
A.∀x∈(2,+∞),都有x2>
2x
B.“a=”是函数“y=cos22ax-sin22ax的最小正周期为π”的充要条件
C.命题p:
∃x0∈R,f(x0)=ax+x0+a=0是假命题,则a∈(-∞,-)∪(,+∞)
D.已知α,β∈R,则“α=β”是“tanα=tanβ”的既不充分也不必要条件
[解析] A错,当x=4时,42=24,故不等式不成立;
B错,y=cos22ax-sin22ax=cos4ax,当a=时,y=cos2x,其最小正周期为=π;
当a=-时,y=cos(-2x)=cos2x,其最小正周期为π,故说法不正确;
C正确,因为p为假命题,所以¬
p为真命题,即不存在x0∈R,使f(x0)=0,故Δ=1-4a2<
0,且a≠0,解得a>
或a<
-;
D正确,如果两个角为直角,那么它们的正切值不存在,反过来,如果两个角的正切值相等,那么它们可能相差kπ(k∈Z),故反之不成立.综上,CD正确.
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.=____.
[解析] 原式===.
14.李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销:
一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x元,每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%.
(1)当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付__130__元;
(2)在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的7折,则x的最大值为__15__.
[解析]
(1)x=10,顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付60+80-10=130元.
(2)设顾客一次购买水果的促销前总价为y元,y<
120元时,李明得到的金额为y×
80%,符合要求.
y≥120元时,有(y-x)×
80%≥y×
70%恒成立,
即8(y-x)≥7y,x≤,即x≤()min=15元,
所以x的最大值为15.
15.已知函数g(x)=f(x)+x2是奇函数,当x>
0时,函数f(x)的图象与函数y=log2x的图象关于直线y=x对称,则g(-1)+g(-2)=__-11__.
[解析] ∵当x>
0时,f(x)的图象与函数y=log2x的图象关于直线y=x对称,
∴当x>
0时,f(x)=2x,
0时,g(x)=2x+x2,
又g(x)是奇函数,∴g(-1)+g(-2)=-[g
(1)+g
(2)]=-(2+1+4+4)=-11.
16.给出以下四个命题:
①若集合A={x,y},B={0,x2},A=B,则x=1,y=0;
②若函数f(x)的定义域为(-1,1),则函数f(2x+1)的定义域为(-1,0);
③函数f(x)=的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞);
④若f(x+y)=f(x)f(y),且f
(1)=1,则++…++=2016.
其中正确的命题有__①②__.(写出所有正确命题的序号)
[解析] ①由A={x,y},B={0,x2},A=B可得或(舍)
故x=1,y=0正确;
②由函数f(x)的定义域为(-1,1),则函数f(2x+1)中x应满足-1<
2x+1<
1,解得-1<
0,即函数f(2x+1)的定义域为(-1,0),正确;
③函数f(x)=的单调递减区间是(-∞,0),(0,+∞),不能用并集符号,错误;
④由题意f(x+y)=f(x)·
f(y),且f
(1)=1,则++…++=++…++=f
(1)+f
(1)+…+f
(1)=1+1+…+1=1008,错误.
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)
如图,以Ox为始边作角α与β(0<
β<
α<
π),它们的终边分别与单位圆相交于P,Q两点,已知点P的坐标为(-,).
(1)求的值;
(2)若cosαcosβ+sinαsinβ=0,求sin(α+β)的值.
[解析]
(1)由三角函数定义得cosα=-,sinα=,
∴原式===2cos2α=2×
(-)2=.
(2)∵cosαcosβ+sinαsinβ=cos(α-β)=0,且0<
π,
∴α-β=,∴β=α-,
∴sinβ=sin(α-)=-cosα=,
cosβ=cos(α-)=sinα=.
∴sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=×
+(-)×
=.
18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=且点(4,2)在函数f(x)的图象上.
(1)求函数f(x)的解析式,并在如图所示的平面直角坐标系中画出函数f(x)的图象;
(2)求不等式f(x)<
1的解集;
(3)若方程f(x)-2m=0有两个不相等的实数根,求实数m的取值范围.
[解析]
(1)∵点(4,2)在函数的图象上,∴f(4)=loga4=2,解得a=2.
∴f(x)=
函数的图象如图所示.
(2)不等式f(x)<
1等价于或
解得0<
2或x<
-1,
∴原不等式的解集为{x|0<
-1}.
(3)∵方程f(x)-2m=0有两个不相等的实数根,
∴函数y=2m的图象与函数y=f(x)的图象有两个不同的交点.
结合图象可得2m≤2,解得m≤1.
∴实数m的取值范围为(-∞,1].
19.(本小题满分12分)已知函数f(x)=sin(2018π-x)·
sin(+x)-cos2x+1.
(1)求函数f(x)的对称中心;
(2)若对于任意的x∈[-,],都有|f(x)-m|≤1恒成立,求实数m的取值范围.
[解析]
(1)f(x)=sin2x+sinxcosx
=-cos2x+sin2x
=sin(2x-)+,
令2x-=kπ,k∈Z.
解得x=+,k∈Z,
所以函数f(x)的对称中心为,k∈Z.
(2)∵x∈,
∴2x-∈,
∴sin∈,
∴sin+∈,
即f(x)∈,
∵|f(x)-m|≤1恒成立,即-1≤f(x)-m≤1,
-1+f(x)≤m≤1+f(x),[-1+f(x)]max≤m≤[1+f(x)]min,
∴≤m≤,
∴实数m的取值范围为.
20.(本小题满分12分)某工厂现有职工320人,平均每人每年可创利20万元.该工厂打算购进一批智能机器人(每购进一台机器人,将有一名职工下岗).据测算,如果购进智能机器人不超过100台,每购进一台机器人,所有留岗职工(机器人视为机器,不作为职工看待)在机器人的帮助下,每人每年多创利2千元,每台机器人购置费及日常维护费用折合后平均每年2万元,工厂为体现对职工的关心,给予下岗职工每人每年4万元补贴;
如果购进智能机器人数量超过100台,则工厂的年利润y=8202+lgx万元(x为机器人台数且x<
320).
(1)写出工厂的年利润y与购进智能机器人台数x的函数关系;
(2)为获得最大经济效益,工厂应购进多少台智能机器人?
此时工厂的最大年利润是多少?
(参考数据:
lg2≈0.3010)
[解析]
(1)当购进智能机器人台数x≤100时,
工厂的年利润y=(320-x)(20+0.2x)-4x-2x
=-0.2x2+38x+6400,
∴y=
(2)由
(1)知,当0≤x≤100时,y=-0.2(x-95)2+8205,
当x=95时,ymax=8205;
100时,y=8202+lgx为增函数,
8202+lgx<
8202+lg320=8202+1+5lg2≈8204.505<
8205.
综上可得,工厂购进95台智能机器人时获得最大经济效益,此时的最大年利润为8205万元.
21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>
0,ω>
0)的一系列对应值如下表:
x
-
y
-1
1
3
(1)根据表格提供的数据求函数f(x)的一个解析式;
(2)根据
(1)的结果,若函数y=f(kx)(k>
0)的周期为,当x∈[0,]时,方程f(kx)=m恰有两个不同的解,求实数m的取值范围.
[解析]
(1)设f(x)的最小正周期为T,则T=-(-)=2π,
由T=,得ω=1,又,
解得,令ω·
+φ=,即+φ=,
解得φ=-,∴f(x)=2sin(x-)+1.
(2)∵函数y=f(kx)=2sin(kx-)+1的周期为,又k>
0,∴k=3,令t=3x-,
∵x∈[0,],∴t∈[-,],
如图,sint=s在[-,]上有两个不同的解,则s∈[,1),
∴方程f(kx)=m在x∈[0,]时恰好有两个不同的解,则m∈[+1,3),即实数m的取值范围是[+1,3).
22.(本小题满分12分)已知函数g(x)=ax2-2ax+1+b(a≠0,b<
1)在区间[2,3]上有最大值4,最小值1,设f(x)=.
(1)求a,b的值;
(2)若不等式f(2x)-k·
2x≥0在x∈[-1,1]时恒成立,求实数k的取值范围.
[解析]
(1)g(x)=a(x-1)2+1+b-a,
当a>
0时,g(x)在[2,3]上为增函数,故
即解得
当a<
0时,g(x)在[2,3]上为减函数,故
∵b<
1,∴a=1,b=0.
(2)由
(1)知,g(x)=x2-2x+1,f(x)=x+-2.
不等式f(2x)-k·
2x≥0可化为2x+-2≥k·
2x,
即1+()2-≥k.令=m,则k≤m2-2m+1.
∵x∈[-1,1],∴m∈[,2].
记h(m)=m2-2m+1,
则h(m)min=0.∴k≤0.
∴k的取值范围是(-∞,0].
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