再由a1=0,a2=1及③式可知,当n∈N+时,an都是整数.
3.数列求和法.
数列求和法主要有倒写相加、裂项求和法、错项相消法等.
例6已知an=(n=1,2,…),求S99=a1+a2+…+a99.
【解】因为an+a100-n=+=
,
所以S99=
例7求和:
+…+
【解】一般地,
,
所以Sn=
例8已知数列{an}满足a1=a2=1,an+2=an+1+an,Sn为数列的前n项和,求证:
Sn<2.
【证明】由递推公式可知,数列{an}前几项为1,1,2,3,5,8,13.
因为
,①
所以
.②
由①-②得
,
所以.
又因为Sn-20,
所以Sn,所以,
所以Sn<2,得证.
4.特征方程法.
例9已知数列{an}满足a1=3,a2=6,an+2=4n+1-4an,求an.
【解】由特征方程x2=4x-4得x1=x2=2.
故设an=(α+βn)·2n-1,其中,
所以α=3,β=0,
所以an=3·2n-1.
例10已知数列{an}满足a1=3,a2=6,an+2=2an+1+3an,求通项an.
【解】由特征方程x2=2x+3得x1=3,x2=-1,
所以an=α·3n+β·(-1)n,其中,
解得α=,β,
所以·3].
5.构造等差或等比数列.
例11正数列a0,a1,…,an,…满足=2an-1(n≥2)且a0=a1=1,求通项.
【解】由
得=1,
即
令bn=+1,则{bn}是首项为+1=2,公比为2的等比数列,
所以bn=+1=2n,所以=(2n-1)2,
所以an=·…··a0=
注:
C1·C2·…·Cn.
例12已知数列{xn}满足x1=2,xn+1=,n∈N+,求通项.
【解】考虑函数f(x)=的不动点,由=x得x=
因为x1=2,xn+1=,可知{xn}的每项均为正数.
又+2≥,所以xn+1≥(n≥1).又
Xn+1-==,①
Xn+1+==,②
由①÷②得.③
又>0,
由③可知对任意n∈N+,>0且
所以是首项为,公比为2的等比数列.
所以·,所以,
解得·
.
注:
本例解法是借助于不动点,具有普遍意义.
三、基础训练题
1.数列{xn}满足x1=2,xn+1=Sn+(n+1),其中Sn为{xn}前n项和,当n≥2时,xn=_________.
2.数列{xn}满足x1=,xn+1=,则{xn}的通项xn=_________.
3.数列{xn}满足x1=1,xn=+2n-1(n≥2),则{xn}的通项xn=_________.
4.等差数列{an}满足3a8=5a13,且a1>0,Sn为前n项之和,则当Sn最大时,n=_________.
5.等比数列{an}前n项之和记为Sn,若S10=10,S30=70,则S40=_________.
6.数列{xn}满足xn+1=xn-xn-1(n≥2),x1=a,x2=b,Sn=x1+x2+…+xn,则S100=_________.
7.数列{an}中,Sn=a1+a2+…+an=n2-4n+1则|a1|+|a2|+…+|a10|=_________.
8.若
,并且x1+x2+…+xn=8,则x1=_________.
9.等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn和Tn,若,则=_________.
10.若n!
=n(n-1)…2·1,则=_________.
11.若{an}是无穷等比数列,an为正整数,且满足a5+a6=48,log2a2·log2a3+log2a2·log2a5+log2a2·log2a6+log2a5·log2a6=36,求的通项.
12.已知数列{an}是公差不为零的等差数列,数列{}是公比为q的等比数列,且b1=1,b2=5,b3=17,求:
(1)q的值;
(2)数列{bn}的前n项和Sn.
四、高考水平训练题
1.已知函数f(x)=
,若数列{an}满足a1=,an+1=f(an)(n∈N+),则axx=_____________.
2.已知数列{an}满足a1=1,an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1(n≥2),则{an}的通项an=.
3.若an=n2+,且{an}是递增数列,则实数的取值范围是__________.
4.设正项等比数列{an}的首项a1=,前n项和为Sn,且210S30-(210+1)S20+S10=0,则an=_____________.
5.已知,则a的取值范围是______________.
6.数列{an}满足an+1=3an+n(n∈N+),存在_________个a1值,使{an}成等差数列;存在________个a1值,使{an}成等比数列.
7.已知(n∈N+),则在数列{an}的前50项中,最大项与最小项分别是____________.
8.有4个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和中16,第二个数与第三个数的和是12,则这四个数分别为____________.
9.设{an}是由正数组成的数列,对于所有自然数n,an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项,则an=____________.
10.在公比大于1的等比数列中,最多连续有__________项是在100与1000之间的整数.
11.已知数列{an}中,an0,求证:
数列{an}成等差数列的充要条件是
(n≥2)①恒成立.
12.已知数列{an}和{bn}中有an=an-1bn,bn=(n≥2),当a1=p,b1=q(p>0,q>0)且p+q=1时,
(1)求证:
an>0,bn>0且an+bn=1(n∈N);
(2)求证:
an+1=;(3)求数列
13.是否存在常数a,b,c,使题设等式
1·22+2·32+…+n·(n+1)2=(an2+bn+c)
对于一切自然数n都成立?
证明你的结论.
五、联赛一试水平训练题
1.设等差数列的首项及公差均为非负整数,项数不少于3,且各项和为972,这样的数列共有_________个.
2.设数列{xn}满足x1=1,xn=,则通项xn=__________.
3.设数列{an}满足a1=3,an>0,且,则通项an=__________.
4.已知数列a0,a1,a2,…,an,…满足关系式(3-an+1)·(6+an)=18,且a0=3,则=__________.
5.等比数列a+log23,a+log43,a+log83的公比为=__________.
6.各项均为实数的等差数列的公差为4,其首项的平方与其余各项之和不超过100,这样的数列至多有__________项.
7.数列{an}满足a1=2,a2=6,且=2,则
________.
8.数列{an}称为等差比数列,当且仅当此数列满足a0=0,{an+1-qan}构成公比为q的等比数列,q称为此等差比数列的差比.那么,由100以内的自然数构成等差比数列而差比大于1时,项数最多有__________项.
9.设h∈N+,数列{an}定义为:
a0=1,an+1=
.问:
对于怎样的h,存在大于0的整数n,使得an=1?
10.设{ak}k≥1为一非负整数列,且对任意k≥1,满足ak≥a2k+a2k+1,
(1)求证:
对任意正整数n,数列中存在n个连续项为0;
(2)求出一个满足以上条件,且其存在无限个非零项的数列.
11.求证:
存在唯一的正整数数列a1,a2,…,使得
a1=1,a2>1,an+1(an+1-1)=
六、联赛二试水平训练题
1.设an为下述自然数N的个数:
N的各位数字之和为n且每位数字只能取1,3或4,求证:
a2n是完全平方数,这里n=1,2,….
2.设a1,a2,…,an表示整数1,2,…,n的任一排列,f(n)是这些排列中满足如下性质的排列数目:
①a1=1;②|ai-ai+1|≤2,i=1,2,…,n-1.
试问f(xx)能否被3整除?
3.设数列{an}和{bn}满足a0=1,b0=0,且
求证:
an(n=0,1,2,…)是完全平方数.
4.无穷正实数数列{xn}具有以下性质:
x0=1,xi+1(1)求证:
对具有上述性质的任一数列,总能找到一个n≥1,使≥3.999均成立;
(2)寻求这样的一个数列使不等式<4对任一n均成立.
5.设x1,x2,…,xn是各项都不大于M的正整数序列且满足xk=|xk-1-xk-2|(k=3,4,…,n)①.试问这样的序列最多有多少项?
6.设a1=a2=,且当n=3,4,5,…时,an=,
(ⅰ)求数列{an}的通项公式;(ⅱ)求证:
是整数的平方.
7.整数列u0,u1,u2,u3,…满足u0=1,且对每个正整数n,un+1un-1=kuu,这里k是某个固定的正整数.如果uxx=xx,求k的所有可能的值.
8.求证:
存在无穷有界数列{xn},使得对任何不同的m,k,有|xm-xk|≥
9.已知n个正整数a0,a1,…,an和实数q,其中0n个实数b0,b1,…,bn和满足:
(1)ak(2)q<<(k=1,2,…,n);
(3)b1+b2+…+bn<(a0+a1+…+an).
2019-2020年高中数学竞赛标准教材讲义集合与简易逻辑教案
一、基础知识
定义1一般地,一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合,简称集,用大写字母来表示;集合中的各个对象称为元素,用小写字母来表示,元素在集合A中,称属于A,记为,否则称不属于A,记作.例如,通常用N,Z,Q,B,Q+分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集,不含任何元素的集合称为空集,用来表示.集合分有限集和无限集两种.
集合的表示方法有列举法:
将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集合的方法,如{1,2,3};描述法:
将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法.例如{有理数},分别表示有理数集和正实数集.
定义2子集:
对于两个集合A与B,如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素,则A叫做B的子集,记为,例如.规定空集是任何集合的子集,如果A是B的子集,B也是A的子集,则称A与B相等.如果A是B的子集,而且B中存在元素不属于A,则A叫B的真子集.
定义3交集,
定义4并集,
定义5补集,若
称为A在I中的补集.
定义6差集,
.
定义7集合
记作开区间,集合
记作闭区间,R记作
定理1集合的性质:
对任意集合A,B,C,有:
(1)
(2)
;
(3)
(4)
【证明】这里仅证
(1)、(3),其余由读者自己完成.
(1)若,则,且或,所以或,即;反之,,则或,即且或,即且,即
(3)若,则或,所以或,所以,又,所以,即
,反之也有
定理2加法原理:
做一件事有类办法,第一类办法中有种不同的方法,第二类办法中有种不同的方法,…,第类办法中有种不同的方法,那么完成这件事一共有种不同的方法.
定理3乘法原理:
做一件事分个步骤,第一步有种不同的方法,第二步有种不同的方法,…,第步有种不同的方法,那么完成这件事一共有种不同的方法.
二、方法与例题
1.利用集合中元素的属性,检验元素是否属于集合.
例1设
,求证:
(1);
(2);
(3)若,则
[证明]
(1)因为,且,所以
(2)假设,则存在,使,由于和有相同的奇偶性,所以是奇数或4的倍数,不可能等于,假设不成立,所以
(3)设
,则
(因为).
2.利用子集的定义证明集合相等,先证,再证,则A=B.
例2设A,B是两个集合,又设集合M满足
,求集合M(用A,B表示).
【解】先证,若,因为,所以,所以;
再证,若,则1)若,则;2)若,则.所以
综上,
3.分类讨论思想的应用.
例3
,若,求
【解】依题设,,再由解得或,
因为,所以,所以,所以或2,所以或3.
因为,所以,若,则,即,若,则或,解得
综上所述,或;或.
4.计数原理的应用.
例4集合A,B,C是I={1,2,3,4,5,6,7,8,9,0}的子集,
(1)若,求有序集合对(A,B)的个数;
(2)求I的非空真子集的个数.
【解】
(1)集合I可划分为三个不相交的子集;A\B,B\A,中的每个元素恰属于其中一个子集,10个元素共有310种可能,每一种可能确定一个满足条件的集合对,所以集合对有310个.
(2)I的子集分三类:
空集,非空真子集,集合I本身,确定一个子集分十步,第一步,1或者属于该子集或者不属于,有两种;第二步,2也有两种,…,第10步,0也有两种,由乘法原理,子集共有个,非空真子集有1022个.
5.配对方法.
例5给定集合的个子集:
,满足任何两个子集的交集非空,并且再添加I的任何一个其他子集后将不再具有该性质,求的值.
【解】将I的子集作如下配对:
每个子集和它的补集为一对,共得对,每一对不能同在这个子集中,因此,;其次,每一对中必有一个在这个子集中出现,否则,若有一对子集未出现,设为C1A与A,并设,则,从而可以在个子集中再添加,与已知矛盾,所以.综上,.
6.竞赛常用方法与例问题.
定理4容斥原理;用表示集合A的元素个数,则
,需要xy此结论可以推广到个集合的情况,即
定义8集合的划分:
若,且
,则这些子集的全集叫I的一个-划分.
定理5最小数原理:
自然数集的任何非空子集必有最小数.
定理6抽屉原理:
将个元素放入个抽屉,必有一个抽屉放有不少于个元素,也必有一个抽屉放有不多于个元素;将无穷多个元素放入个抽屉必有一个抽屉放有无穷多个元素.
例6求1,2,3,…,100中不能被2,3,5整除的数的个数.
【解】记
,
,由容斥原理,
,所以不能被2,3,5整除的数有个.
例7S是集合{1,2,…,xx}的子集,S中的任意两个数的差不等于4或7,问S中最多含有多少个元素?
【解】将任意连续的11个整数排成一圈如右图所示.由题目条件可知每相邻两个数至多有一个属于S,将这11个数按连续两个为一组,分成6组,其中一组只有一个数,若S含有这11个数中至少6个,则必有两个数在同一组,与已知矛盾,所以S至多含有其中5个数.又因为xx=182×11+2,所以S一共至多含有182×5+2=912个元素,另一方面,当
时,恰有,且S满足题目条件,所以最少含有912个元素.
例8求所有自然数,使得存在实数满足:
【解】当时,;当时,;当时,
.下证当时,不存在满足条件.
令,则
所以必存在某两个下标,使得,所以或,即,所以
或,.
(ⅰ)若
,考虑,有或,即,设,则,导致矛盾,故只有
考虑,有或,即,设,则,推出矛盾,设,则,又推出矛盾,所以故当时,不存在满足条件的实数.
(ⅱ)若,考虑,有或,即,这时,推出矛盾,故.考虑,有或,即=3,于是,矛盾.因此,所以,这又矛盾,所以只有,所以.故当时,不存在满足条件的实数.
例9设A={1,2,3,4,5,6},B={7,8,9,……,n},在A中取三个数,B中取两个数组成五个元素的集合,
求的最小值.
【解】
设B中每个数在所有中最多重复出现次,则必有.若不然,数出现次(),则在出现的所有中,至少有一个A中的数出现3次,不妨设它是1,就有集合{1,}
,其中,为满足题意的集合.必各不相同,但只能是2,3,4,5,6这5个数,这不可能,所以
20个中,B中的数有40个,因此至少是10个不同的,所以.当时,如下20个集合满足要求:
{1,2,3,7,8},{1,2,4,12,14},{1,2,5,15,16},{1,2,6,9,10},
{1,3,4,10,11},{1,3,5,13,14},{1,3,6,12,15},{1,4,5,7,9},
{1,4,6,13,16},{1,5,6,8,11},{2,3,4,13,15},{2,3,5,9,11},
{2,3,6,14,16},{2,4,5,8,10},{2,4,6,7,11},{2,5,6,12,13},
{3,4,5,12,16},{3,4,6,8,9},{3,5,6,7,10},{4,5,6,14,15}.
例10集合{1,2,…,3n}可以划分成个互不相交的三元集合,其中,求满足条件的最小正整数
【解】设其中第个三元集为则1+2+…+
所以.当为偶数时,有,所以,当为奇数时,有,所以,当时,集合{1,11,4},{2,13,5},{3,15,6},{9,12,7},{10,14,8}满足条件,所以的最小值为5.
三、基础训练题
1.给定三元集合,则实数的取值范围是___________.
2.若集合
中只有一个元素,则=___________.
3.集合的非空真子集有___________个.
4.已知集合
,若,则由满足条件的实数组成的集合P=___________.
5.已知
,且,则常数的取值范围是___________.
6.若非空集合S满足,且若,则,那么符合要求的集合S有___________个.
7.集合
之间的关系是___________.
8.若集合,其中,且,若,则A中元素之和是___________.
9.集合
,且,则满足条件的值构成的集合为___________.
10.集合
,则
___________.
11.已知S是由实数构成的集合,且满足1))若,则.如果,S中至少含有多少个元素?
说明理由.
12.已知
,又C为单元素集合,求实数的取值范围.
四、高考水平训练题
1.已知集合
,且A=B,则___________,___________.
2.
,则___________.
3.已知集合
,当时,实数的取值范围是___________.