完整版概率论与数理统计试题及答案.docx
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完整版概率论与数理统计试题及答案
武丘科技大号
2008—2009学年第1学期
概率论与数理统计(46学时)A
一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)。
1、AB为两个随机事件,若P(AB)0,则
(A)AB一定是互不相容的;(B)AB一定是不可能事件;
(C)AB不一定是不可能事件;(D)P(A)0或P(B)0.
2、二维离散型随机变量(X,Y)的分布律为
F(x,y)为(X,Y)的联合分布函数,则F(1.5,1.5警于
(A)1/6;(B)1/2;
(Q1/3;(D)1/4.
3、X、Y是两个随机变量,下列结果正确的是
(A)若E(XY)EXEY,则X、Y独立;
(B)若X、Y不独立,则X、Y一定相关;
(C)若X、Y相关,则X、Y一定不独立;
(D)若D(XY)DXDY,则X、Y独立.
4、总体X~N(,2),,2均未知,Xi,X2,L,Xn为来自X的一个简单样本,X为样本均值,S2为样本方差。
若的置信度为0.98的置信区间为(XcS/F,XcS/亦),则常数c为
(A)b.0i(n1);(B)b.0i(n);
(C)to.02(n1);(D)to.o2(n).
—1n
5、随机变量Xi,X2,L,Xn独立且者B服从N(2,4)分布,则X—Xi服从nii
(A)N(0,1);(B)N(2,4n);
/、,、4
(C)N(2n,4n);(D)N(2,-).
n
二、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)。
6、已知A、B为两个随机事件,若P(A)0.6,P(AB)0.1,则P(A|AB)=1.
7、已知随机变量X服从区间(0,2)上的均匀分布,则E(2X)=().
2x0x1
8、已知连续型随机变量X的概率密度函数为f(x),,则概率P(|X|12)=
-0,其它
().
12
9、随机变量X:
b(3,-),Y:
b(3,一),且X,Y独立,则D(XY)=.
33
10、已知随机变量Xi,i1,2,3相互独立,且都服从N(0⑼分布,若随机变量Ya(X12X2X32):
2(3),则常数a=().
三、解答题(本大题共6小题,每小题10分,共60分)。
11、已知一批产品中有95%是合格品,检验产品质量时,一个合格品被判为次品的概率为0.04,一个次品被判为合格品的概率为0.02,从这批产品中任取一个产品,求其被判为合格品的概率。
12、已知离散型随机变量X的分布律为
X
-1
0
1
P
2a
1
4
1
a一4
(1)求常数a;
(2)求X的分布函数F(x).
13、设连续型随机变量X的分布函数为:
F(x)
(1)求常数A,B;
(2)求X的概率密度函数f(x).
14、
维连续型随机变量(X,Y)的概率密度函数为f(x,y)a0其1,lylX,
(1)求常数a;
(2)求概率P(X2Y).
(0.8)0,7881,
0,其它
X1,X2,L,Xn是来自X的一个简单样本,求的最大似然估计量
四解答题(本大题共1个小题,5分)。
x
ex0
17已知连续型随机变量X的概率密度函数为f(x)e,x0,若随机变量
0,其它
1,X1
Y0,1X2,求EY.
1,X2
五证明题(本大题共1个小题,5分)。
01
18、随机变量X,Y都服从(0-1)分布,即X的分布律为,Y的分布律为
1p1p1
,其中0R,p21.证明:
X、Y不相关是X、Y独立的充要条件
1p2p2
2009—2010学年第1学期
概率论与数理统计A卷
一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)。
1、抛两颗均匀骰子,若已知两骰子出现的点数和为5,则其中有一颗骰子出现的点数
是3的概率为
(A)1/9;(B)1/2;(C)1/18;(D)1/4.
2、事件A、B独立,且P(B)0,则下列命题不正确的是
(A)A、B独立;(B)A、B独立;(C)P(A|B)P(A);(D)P(A|B)P(B).
(D)F(a)F(a_).
3、设随机变量X的分布函数为F(x),则P(Xa)等于
(A)F(a);(B)F(a_);(C)0;
5、设总体X:
N(0,1),Xi,X2,X3,X4是来自X的一个简单样本,若a(XL_X2?
:
t
(2),X32X:
则常数a是
(A)1;(B)凤(C)1/2;(D)1/V2.
二、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)。
.X1012
6、已知离散型随机变量X的分布律为,则概率P(2X1)=
P0.20.30.10.4
()
7、若二维随机变量(X,Y)服从区域{(x,y):
0x1,0y2}上的均匀分布,则(X,Y)的
联合密度函数f(x,y)=()
8、X、Y为两个随机变量,且3XY1,则XY()
9、一系统由100个独立工作的部件构成,各个部件损坏的概率都为0.1,已知必须有
87个以上的部件完好,才能使整个系统正常工作。
由中心极限定理,整个系统不能
10、已知某木材横纹抗压力X:
N(,2)(单位:
公斤/平方厘米),现随机抽取X的
一个容量为9的样本,测得样本均值x457.5,样本标准差s30.3,则的置信
度为0.95的置信区间为()(已知t0025(8)2.31,t0025(9)2.26,
..
t0.05(8)1.86).
三、解答题(本大题共6小题,每小题10分,共60分)。
11、某工厂有三种机床:
钻床、磨床和刨床,它们的台数之比为5:
3:
2,它们在一定
的期限内需要修理的概率分别为0.1,0.2,0.3.期限到后,随机抽检一台机床,发现其需要修理,求这台机床为钻床的概率。
2
ax,0x1
12、已知连续型随机变量X的概率密度函数为f(x)2x,1x2,
0,其它
(1)求常数a;
(2)求概率P(1/2X3/2).
0,x0
AVx,0x1/9,
B,x1/9
(1)求常数A,B;
(2)求概率P(0X1/16);(3)求X的概率密度函数f(x).
14、已知二维连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为
(1)求概率P(XY);
(2)求出边缘密度函数fx(x),fY(y),并判断X,Y是否相互独立
15、已知二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为
-1
0
1
2
-1
0.1
0.05
0.05
0.1
0
0.1
0.15
0
0.051
1
0.05
0.05
0.15
0.15
(1)分别求出(X,Y)关于X、Y的边缘分布律;
(2)求Cov(X,Y).
e(x5)x5
16、已知总体X的概率密度函数f(x),,其中0是未知参数,
0,x5
n(Xi5)(5′)
i1
0(8′)
XhX2,L,Xn是来自总体X的一个简单样本,求的最大似然估计量.
对数似然函数ln[L()]nln
人dln[L()]nn令一0—(Xi5)
dii
A的最大似然估计量—(10')
(Xi5)i1
四、解答题(本大题共1个小题,5分).
17、过点(0,b)随机作一条直线,Y表示坐标原点到所作直线的距离,求EY.
五、证明题(本大题共1个小题,5分)。
18、X为连续型随机变量,随机变量YeX,0,若EY存在,证明:
对任何实数a,都有P(Xa)eaE(eX).
2011—2012学年第1学期
概率论与数理统计A卷
-、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分).
1.设A,B为两个随机事件,其中0P(B)1,若P(A|B尸P(A|B),则必有
(A)事件AB;
(B)事件A,B互不相容;
(D)事彳4^A,B相互独立
3.设X服从区间(0,5)上的均匀分布,则关于t的一元二次方程4t24XtX20有
实根的概率为
(A)0.6;(B)0.4;(C)0;(D)1.
4.随机变量X和Y独立同分布,方差存在且不为0.记UXY,VXY,则
(A)U和V一定不独立;(B)U和V一定独立;
(C)U和V一定不相关;(D)以上选项都不对.
5
.总体X的分布为N(0,1),Xi,L,X5为取自X的简单样本,则下列选项不正确的是
2X,
(A)―12T(4);
X2lX;
二、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分).
6
.设A,B为随机事件,P(A)0.5,P(AB)0.2,则P(AB)=()
x1
1x1,则常数k=
x1
().
8.已知X,Y相互独立,DX4,DY1,则D(2XY)=()
9.随机从一批香烟中抽取16包测其尼古丁含量的毫克数,从抽取的样本算得样本均
值X25.5,样本标准差s2.4.设香烟中尼古丁含量的分布是正态的,则总体均值
的置信度为95%勺置信区间为().
(已知to.025(16)2.1199,to.025(15)2.1315,to.05(15)1.7531)
10.某保险公司接受了某辖区内600辆电动自行车的保险,每辆每年的保费为50元.若车丢失,则得赔偿车主1000元.假设车的丢失率为1/25.由中心极限定理,保险公司
这年亏损的概率为().(已知(1.25)0.8944,(2.5)0.9938)
三、计算题(本大题共6小题,每小题10分,共60分).
11.某商店购进甲厂生产的产品20箱,乙厂生产的同种产品15箱,其中甲厂每箱装有一等品74个,二等品6个;乙厂每箱装有一等品95个,二等品5个.从这35箱中任取一箱,从中任取一个,
(1)求取到二等品的概率;
(2)若取到二等品,问这个二等品来自甲厂的概率.
axb
12.设随机变量X的概率密度函数为f(x),
0,
常数a,b;
(2)设Ye2X,求Y的概率密度函数
0x
其它
fY(y).
1一一,、
,且P(X1/2)1/8,求:
(1)
13.二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为:
f(x,y)
2
4x2,0x1,0
0,其它
求:
(1)P(YX2);
(2)(X,Y)关于X的边缘密度函数fX(x);
(3)条件概率P(Y1/8|X1/4).
14
.设随机变量Y在区间(0,3)上服从均匀分布,随机变量
求:
(1)(Xi,X2)的联合分布律;
(2)(Xi,X2)的相关系数X1X2
15.据以往经验,某种能力测试的得分服从正态分布N(62,25),随机抽取9个学生参
—19
与这一测试,他们的得分记为XJ设X-X-
(1)求P(|X62|2);
(2)
9i1
若得分超过70分就能得奖,求至少一个人得奖的概率.(结果用标准正态分布的分布函
数()表示)
16.设总体X的概率密度函数为
f(x)=
0,其它
其中(0)是未知参数.设X~L,Xn为该总体的一个容量为n的简单样本.
(1)求
的最大似然估计量$;
(2)判断$是否为的无偏估计量.
四、解答题(本大题共1个小题,5分).
17.设随机变量X在区间[-,]上服从均匀分布,求E[min(|X|,1)].
五、应用题(本大题共1个小题,5分).
18.假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2,机器发生故障时全天停止工作.若一周5个工作日里无故障,可获利润10万元;发生一次故障仍可获利润5万元;发生二次故障所获利润0万元;发生三次或三次以上故障就要亏损2万元.求这部机器在一周内产生的期望利润(结果保留到小数点后面两位).
2008—2009学年第1学期
概率论与数理统计(46学时)A卷评分标准
一、单项选择题
1(C)2(B)3(C)4(A)5(D)
二、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)。
6、1.7、2.8、1/4.9、4.10、1/9.
三、解答题(本大题共6小题,每小题10分,共60分)。
11、解:
A:
取到合格品;A2:
取到次品;B:
被判为合格品。
P(B)P(B|A)P(A)P(B|A2)P(A2)(5')
(10.04)95%0.025%(9')
0.913(10')
11
12、解:
(1)由分布律的性质可得2a1(a一)1(4')
44
1
a6⑸
(2)由
(1)知X的分布律为
X
-1
0
1
1
1
5
P
3
4
12
(6′)
由分布函数的定义可得
0,x1
1x0
__3
F(x)P(Xx)3(10')
—,0x1
121,
13、解:
(1)由分布函数性质:
F(0)F(0)BA12(2')
F()1B1(4')
因此可得A1/2,B1(5')
(2)代入A,B的值,可得
14、解:
(1)由题意
(5′)
—,1
可以得到a2xdx
0
(2)把a1代入密度函数
c88X8108
P0.2881
即
22
一(0)0.2881—0.7881(4')
2.5(5')
(2)所求概率
P(X6)P一(8')
2
1—0.2119(10')
18、证明:
必要性:
若X、Y独立,显然X、Y不相关;(1′)
充分性:
若X、Y不相关,则有E(XY)EXEX,
又E(XY)P(XY1)P(X1,Y1),
EXEYP(X1)P(Y1)
从而P(X1,Y1)P(X1)P(Y1)p1P2(3')
由此可得(X,Y)的联合分布律为
0
1
0
(1P1)(1P2)
(1P1)P2
1
(1P2)Pi
PlP2
(4′)
因此,由离散型随机变量独立的定义可得X、Y独立。
(5′)
2009—2010学年第1学期
概率论与数理统计A卷评分标准
、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)
1(B)2(D)3(D)4(C)5(A)
、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)
10、(434.169,480.831)
三、解答题(本大题共6小题,每小题10分,共60分)。
11、解:
设B:
此机床需要修理;Ai:
取到钻床;A2:
取到磨床;A3:
取到刨床,所求概率
517(10')
12、解:
(1)由密度函数的性质
f(x)dx1(2')
122a1
即axdx(2x)dx1一一1(4')
0132
故a3,.2(5')
(2)由题意
3
P(12X3.2);f(x)dx(7')
2
133
i-x2dx2(2x)dx(9')
221',
1316(10')
13、.解:
(1)由分布函数的性质
F(19)F(19)A3B(1‘)
F()1B1(2
因此可得A3,B1(3')
(2)由分布函数的性质
P(0X116)F(116)F(0)34(6‘)
(3)由密度函数的定义
—312_1
dF(x)-x,0x-
f(x)29
dx0,其它
14、解:
(1)由题意
因f(x,y)fX(x)fy(y),故X,Y不独立(10')
15、解:
(1)由题意
X101
(X,Y)关于X的边缘密度函数为(2')
P0.30.30.4
一、一,,Y1012
(X,Y)关于Y的边缘密度函数为(5')
P0.250.250.20.3
(2)由
(1)可得EX0.1,EY0.55(7')
21012一
又XY的分布律为,故E(XY)0.25..…⑼
0.10.10.40.250.15
因此Cov(X,Y)E(XY)EXEY0.195(10')
n
16、解:
似然函数为L()e(xi5)(3′)
i1
(5′)
(8′)
(10')
(2′)
n对数似然函数ln[L()]nln(xi5)
11
令d1nmi0nn(xi5)0
di1
A的最大似然估计量一—
(Xi5)i1
四、解答题(本大题共1个小题,5分).
17、解:
设随机直线和X轴正向的夹角为,则:
U(0,)
坐标原点到直线的距离Y|bcos|(3')
故EYE(|bcos|)回01cos|d2^-b1(5')
五、证明题(本大题共1个小题,5分)。
18、证明:
设X的概率密度函数为f(x),则
P(Xa)f(x)dx(1')
{Xa}x
*f(x)dxeaexf(x)dx(4')
{xa}eaX
eE(e)(5′)
2010-2011学年第2学期
概率论与数理统计A卷评分标准
一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)。
1(C)2(A)3(D)4(B)5(C)
二、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)。
6、0.58.
7、1/9.
9、-1.
10、(1.57711,2.83289).
三、计算题(本大题共6小题,每小题10分,共60分)。
11、解:
设B:
某保险人在一年中没出事故;A:
保险人为第i类人,i1,2,3,则所求概
率为
12、解:
(1)由密度函数的性质
22
P(1X2)1f(x)dx1edx(4')
13、解:
(1)由分布函数的性质
__+__一
F(0)F(0)1A0A1
(2)由分布函数的性质
P(1X3)F(3)F
(1)2e4e3
14、解:
(1)由题意
21y
P(XY)f(x,y)dxdy06(1y)dyy2dx(2')
{(x,y)|xy2}
111、8(1y),12y1
(10')
⑶外叫)世4)/。
(2)0,其它15、解:
(1)由题意
一、一,,101
(X,Y)关于X的边缘密度函数为,..(3')
512512212
一、一,,11
(X,Y)关于Y的边缘密度函数为7/2417/24(5′)
(2)由
(1)可得EX1/4,EY5/12(6′)
101一
又XY的分布律为,故E(XY)1/6(8')
38512524
因此Cov(X,Y)E(XY)EXEY116(10')
(3′)
n
对数似然函数ln[L()]nln
(1)lnxi
i1
令dln[L()]0n
Vd
n
lnxi
i1
(4′)
n
n
lnXi
1
(2)因为P(X2)
x
(1)dx2
(8′)
n
-n
Inx
由最大似然估计的传递性,P(X2)的最大似然估计量为2i1….(10')
四、解答题(本大题共1个小题,5分)。
17、解:
设L的寿命为X,则有
P(X180)P(min{Xi,i1,2,3,4}180)(1')
P(X1180,X2180,X3180,X4180)(3')
[P(X1180)]4[1P(X1180)]4(4')
[1
(1)]4(5')
五、应用题(本大题共1个小题,5分)。
18、解:
设商场应购进k公斤月饼,由题意所获得利润为
期望利润为
-n-1
E[Q(X)]Q(x)dx
mnm
1k1n..
[axb(kx)]dxakdx
nmmnmk
1ab2ab2
(k(bman)km)(4')nm22
(5′)
故购进k如一bm公斤月饼时,期望利润最大
ab
2011-2012学年第1学期
概率论与数理统计A卷评分标准
一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分).
1(D)2(C)3(A)4(C)5B)
二、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分).
6.0.7.7.1.8.17.9.(24.2211,26.7789).10.0.1056.
三、计算题(本大题共6小题,每小题10分,共60分).
11解:
(1)设B:
取到二等品;A:
取到甲厂生产的箱子,A2:
取到乙厂生产的箱子,
则取到二等品的概率为
P(B)P(B|A)P(A)P(B|A2)P(A2)(3')
(4′)
(5′)
620515
8035100359140
(2)二等品来自甲厂的概率为
(1’0
(3′)
P(AB)P(B|A)P(A)
P(B)P(B)
6208035
9140
12.解:
(1)由密度函数的性质
i卜
1f(x)dxoaxdx1
12.
18P(X12)°axbdx
(2)由题意
(10')
—ln2y,1ye2
fY(y)8y
0,其它
13.解:
(1)由题意
1x2
212x
P(YX)f(x,y)dxdy04xdx0dy(3')
2
{(x,y):
yx}
;4x4dx45(4')
(2)由边缘密度函数的定义
fX(x)
x
0
0,
.2.
4xdy,0x
其它
14x3,0x1
0,其它
(3)由条件概率的定义
P(Y18|X
18
14)fY|X
(y|14)dy
(7′)
(9′)
18f(14,y)
fX(14)
dy
18
04dy
12
(10')
0,X21)P(Y1,Y2)0;
1,X21)P(Y1,Y2)1
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