版高考数学理科一轮设计第13章教师用书人教A版.docx
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版高考数学理科一轮设计第13章教师用书人教A版
2018版高考数学理科一轮设计:
第1~3章教师用书(人教A版)
本资料为woRD文档,请点击下载地址下载全文下载地址 第1讲 集 合
最新考纲 1.了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系;能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题;2.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集;在具体情境中了解全集与空集的含义;3.理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集;理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集;能使用韦恩图表达集合间的基本关系及集合的基本运算.
知识梳理
.元素与集合
集合中元素的三个特性:
确定性、互异性、无序性.
元素与集合的关系是属于或不属于,表示符号分别为∈和∉.
集合的三种表示方法:
列举法、描述法、图示法.
2.集合间的基本关系
子集:
若对任意x∈A,都有x∈B,则A⊆B或B⊇A.
真子集:
若A⊆B,且集合B中至少有一个元素不属于集合A,则AB或BA.
相等:
若A⊆B,且B⊆A,则A=B.
空集的性质:
∅是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.
3.集合的基本运算
集合的并集
集合的交集
集合的补集
符号表示
A∪B
A∩B
若全集为U,则集合A的补集为∁UA
图形表示
集合表示
{x|x∈A,或x∈B}
{x|x∈A,且x∈B}
{x|x∈U,且x∉A}
4.集合关系与运算的常用结论
若有限集A中有n个元素,则A的子集有2n个,真子集有2n-1个.
子集的传递性:
A⊆B,B⊆c⇒A⊆c.
A⊆B⇔A∩B=A⇔A∪B=B.
∁U=∪,∁U=∩.
诊断自测
.判断正误 精彩PPT展示
任何集合都有两个子集.
已知集合A={x|y=x2},B={y|y=x2},c={|y=x2},则A=B=c.
若{x2,1}={0,1},则x=0,1.
若A∩B=A∩c,则B=c.
解析 错误.空集只有一个子集,就是它本身,故该说法是错误的.
错误.集合A是函数y=x2的定义域,即A=;集合B是函数y=x2的值域,即B=[0,+∞);集合c是抛物线y=x2上的点集.因此A,B,c不相等.
错误.当x=1,不满足互异性.
错误.当A=∅时,B,c可为任意集合.
答案 × × × ×
2.若集合A={x∈N|x≤10},a=22,则下列结论正确的是
A.{a}⊆A
B.a⊆A
c.{a}∈A
D.a∉A
解析 由题意知A={0,1,2,3},由a=22,知a∉A.
答案 D
3.设集合A={x|x2-4x+3<0},B={x|2x-3>0},则A∩B=________.
A.-3,-32
B.-3,32
c.1,32
D.32,3
解析 易知A=,B=32,+∞,所以A∩B=32,3.
答案 D
4.设全集U={x|x∈N*,x<6},集合A={1,3},B={3,5},则∁U等于
A.{1,4}
B.{1,5}
c.{2,5}
D.{2,4}
解析 由题意得A∪B={1,3}∪{3,5}={1,3,5}.又U={1,2,3,4,5},∴∁U={2,4}.
答案 D
5.已知集合A={|x,y∈R,且x2+y2=1},B={|x,y∈R,且y=x},则A∩B的元素个数为________.
解析 集合A表示圆心在原点的单位圆,集合B表示直线y=x,易知直线y=x和圆x2+y2=1相交,且有2个交点,故A∩B中有2个元素.
答案 2
考点一 集合的基本概念
【例1】已知集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是
A.1
B.3
c.5
D.9
若集合A={x∈R|ax2-3x+2=0}中只有一个元素,则a=
A.92
B.98
c.0
D.0或98
解析 当x=0,y=0,1,2时,x-y=0,-1,-2;
当x=1,y=0,1,2时,x-y=1,0,-1;
当x=2,y=0,1,2时,x-y=2,1,0.
根据集合中元素的互异性可知,B的元素为-2,-1,0,1,2,共5个.
若集合A中只有一个元素,则方程ax2-3x+2=0只有一个实根或有两个相等实根.
当a=0时,x=23,符合题意;
当a≠0时,由Δ=2-8a=0,得a=98,
所以a的取值为0或98.
答案 c D
规律方法 第题易忽视集合中元素的互异性误选D.第题集合A中只有一个元素,要分a=0与a≠0两种情况进行讨论,此题易忽视a=0的情形.
用描述法表示集合,先要弄清集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明确集合类型,是数集、点集还是其他的集合.
【训练1】设a,b∈R,集合{1,a+b,a}=0,ba,b,则b-a=________.
已知集合A={x∈R|ax2+3x-2=0},若A=∅,则实数a的取值范围为________.
解析 因为{1,a+b,a}=0,ba,b,a≠0,
所以a+b=0,且b=1,
所以a=-1,b=1,所以b-a=2.
由A=∅知方程ax2+3x-2=0无实根,
当a=0时,x=23不合题意,舍去;
当a≠0时,Δ=9+8a<0,∴a<-98.
答案 2 -∞,-98
考点二 集合间的基本关系
【例2】已知集合A={x|y=1-x2,x∈R},B={x|x=m2,m∈A},则
A.AB
B.BA
c.A⊆B
D.B=A
已知集合A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m-1},若B⊆A,则实数m的取值范围是________.
解析 易知A={x|-1≤x≤1},
所以B={x|x=m2,m∈A}={x|0≤x≤1}.
因此BA.
当B=∅时,有m+1≥2m-1,则m≤2.
当B≠∅时,若B⊆A,如图.
则m+1≥-2,2m-1≤7,m+1<2m-1,
解得2<m≤4.
综上,m的取值范围为B 若B⊆A,应分B=∅和B≠∅两种情况讨论.
已知两个集合间的关系求参数时,关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数满足的关系.解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图,化抽象为直观进行求解.
【训练2】若集合A={x|x>0},且B⊆A,则集合B可能是
A.{1,2}
B.{x|x≤1}
c.{-1,0,1}
D.R
已知集合A={x|x=x2-2,x∈R},B={1,m},若A⊆B,则m的值为
A.2
B.-1
c.-1或2
D.2或2
解析 因为A={x|x>0},且B⊆A,再根据选项A,B,c,D可知选项A正确.
由x=x2-2,得x=2,则A={2}.
因为B={1,m}且A⊆B,
所以m=2.
答案 A A
考点三 集合的基本运算
【例3】已知集合A={x|x=3n+2,n∈N},B={6,8,10,12,14},则集合A∩B中元素的个数为
A.5
B.4
c.3
D.2
设集合P={x∈R|1≤x≤3},Q={x∈R|x2≥4},则P∪=
A.[2,3]
B.
D.∪[1,+∞)
解析 集合A中元素满足x=3n+2,n∈N,即被3除余2,而集合B中满足这一要求的元素只有8和14.共2个元素.
易知Q={x|x≥2或x≤-2}.
∴∁RQ={x|-2<x<2},
又P={x|1≤x≤3},故P∪={x|-2<x≤3}.
答案 D B
规律方法 在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化.
一般地,集合元素离散时用Venn图表示;集合元素连续时用数轴表示,用数轴表示时要注意端点值的取舍.
【训练3】设集合m={-1,1},N={x|x2-x<6},则下列结论正确的是
A.N⊆m
B.N∩m=∅
c.m⊆N
D.m∩N=R
设集合U={1,2,3,4,5,6},A={1,3,5},B={3,4,5},则∁U=
A.{2,6}
B.{3,6}
c.{1,3,4,5}
D.{1,2,4,6}
解析 易知N=,且m={-1,1},∴m⊆N.
∵A={1,3,5},B={3,4,5},∴A∪B={1,3,4,5},
又全集U={1,2,3,4,5,6},因此∁U={2,6}.
答案 c A
[思想方法]
.集合中的元素的三个特征,特别是无序性和互异性在解题时经常用到.解题后要进行检验,要重视符号语言与文字语言之间的相互转化.
2.对连续数集间的运算,借助数轴的直观性,进行合理转化;对已知连续数集间的关系,求其中参数的取值范围时,要注意单独考察等号能否取到.
3.对离散的数集间的运算,或抽象集合间的运算,可借助Venn图.这是数形结合思想的又一体现.
[易错防范]
.集合问题解题中要认清集合中元素的属性,要对集合进行化简.
2.空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,时刻关注对空集的讨论,防止漏解.
3.解题时注意区分两大关系:
一是元素与集合的从属关系;二是集合与集合的包含关系.
4.Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法,其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心.
基础巩固题组
一、选择题
.已知集合A={1,2,3},B={2,3},则
A.A=B
B.A∩B=∅
c.AB
D.BA
解析 ∵A={1,2,3},B={2,3},∴2,3∈A且2,3∈B,1∈A但1∉B,∴BA.
答案 D
2.已知集合A={1,2,3},B={x|•<0,x∈Z},则A∪B=
A.{1}
B.{1,2}
c.{0,1,2,3}
D.{-1,0,1,2,3}
解析 由<0,得-1<x<2,又x∈Z,所以B={0,1},因此A∪B={0,1,2,3}.
答案 c
3.已知集合A={x|lgx>0},B={x|x≤1},则
A.A∩B≠∅
B.A∪B=R
c.B⊆A
D.A⊆B
解析 由B={x|x≤1},且A={x|lgx>0}=,∴A∪B=R.
答案 B
4.已知集合P={x|x2≤1},m={a}.若P∪m=P,则a的取值范围是
A.
c.[-1,1]
D.
解析 因为P∪m=P,所以m⊆P,即a∈P,
得a2≤1,解得-1≤a≤1,所以a的取值范围是[-1,1].
答案 c
5.设集合A={y|y=2x,x∈R},B={x|x2-1<0},则A∪B=
A.
B.
c.
D.
解析 由y=2x,x∈R,知y>0,则A=.
又B={x|x2-1<0}=.
因此A∪B=.
答案 c
6.已知全集U={1,2,3,4,5,6},集合P={1,3,5},Q={1,2,4},则∪Q=
A.{1}
B.{3,5}
c.{1,2,4,6}
D.{1,2,3,4,5}
解析 ∵U={1,2,3,4,5,6},P={1,3,5},∴∁UP={2,4,6},∵Q={1,2,4},∴∪Q={1,2,4,6}.
答案 c
7.若x∈A,则1x∈A,就称A是伙伴关系集合,集合m=-1,0,12,2,3的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是
A.1
B.3
c.7
D.31
解析 具有伙伴关系的元素组是-1,12,2,所以具有伙伴关系的集合有3个:
{-1},12,2,-1,12,2.
答案 B
8.已知全集U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},则集合∁U=
A.{x|x≥0}
B.{x|x≤1}
c.{x|0≤x≤1}
D.{x|0<x<1}
解析 ∵A={x|x≤0},B={x|x≥1},
∴A∪B={x|x≤0或x≥1},在数轴上表示如图.
∴∁U={x|0<x<1}.
答案 D
二、填空题
9.已知集合A={x|x2-2x+a>0},且1∉A,则实数a的取值范围是________.
解析 ∵1∉{x|x2-2x+a>0},
∴1∈{x|x2-2x+a≤0},
即1-2+a≤0,∴a≤1.
答案 已知集合A={1,2,3},B={y|y=2x-1,x∈A},则A∩B=________.
解析 由A={1,2,3},B={y|y=2x-1,x∈A},∴B={1,3,5},因此A∩B={1,3}.
答案 {1,3}
1.集合A={x|x<0},B={x|y=lg[x]},若A-B={x|x∈A,且x∉B},则A-B=________.
解析 由x>0,得x<-1或x>0,
∴B=∪,
∴A-B=[-1,0).
答案 [-1,0)
2.已知集合A={x|x2-XXx-XX≤0},B={x|x<m+1},若A⊆B,则实数m的取值范围是________.
解析 由x2-XXx-XX≤0,得A=[-1,XX],
又B={x|x<m+1},且A⊆B,
所以m+1>XX,则m>XX.
答案
能力提升题组
3.设集合S={x|≥0},T={x|x>0},则∩T=
A.[2,3]
B.∪[3,+∞)
c.
D.
解析 易知S=,∴∁RS=,
因此∩T=.
答案 c
4.集合U=R,A={x|x2-x-2<0},B={x|y=ln},则图中阴影部分所表示的集合是
A.{x|x≥1}
B.{x|1≤x<2}
c.{x|0<x≤1}
D.{x|x≤1}
解析 易知A=,B=,∴∁UB=[1,+∞),A∩=[1,2).因此阴影部分表示的集合为A∩={x|1≤x<2}.
答案 B
5.设集合A=x∈N|14≤2x≤16,B={x|y=ln},则A∩B中元素的个数是________.
解析 由14≤2x≤16,x∈N,
∴x=0,1,2,3,4,即A={0,1,2,3,4}.
又x2-3x>0,知B={x|x>3或x<0},
∴A∩B={4},即A∩B中只有一个元素.
答案 1
6.已知集合A={x∈R||x+2|<3},集合B={x∈R|<0},且A∩B=,则m+n=________.
解析 A={x∈R||x+2|<3}={x∈R|-5<x<1},
由A∩B=可知m<1,
则B={x|m<x<2},画出数轴,可得m=-1,n=1.
所以m+n=0.
答案 0
第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件
最新考纲 1.理解命题的概念,了解“若p,则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系;2.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.
知识梳理
.命题
用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题,其中判断为真的语句叫做真命题,判断为假的语句叫做假命题.
2.四种命题及其相互关系
四种命题间的相互关系
四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题,它们具有相同的真假性.
②两个命题为互逆命题或互否命题时,它们的真假性没有关系.
3.充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p⇒q且qp
p是q的必要不充分条件
p且q⇒p
p是q的充要条件
p⇔q
p是q的既不充分也不必要条件
pq且q
p
诊断自测
.判断正误 精彩PPT展示
“x2+2x-3<0”是命题.
命题“若p,则q”的否命题是“若p,则綈q”.
当q是p的必要条件时,p是q的充分条件.
“若p不成立,则q不成立”等价于“若q成立,则p成立”.
解析 错误.该语句不能判断真假,故该说法是错误的.
错误.否命题既否定条件,又否定结论.
答案 × × √ √
2.命题“若α=π4,则tanα=1”的逆否命题是
A.若α≠π4,则tanα≠1
B.若α=π4,则tanα≠1
c.若tanα≠1,则α≠π4
D.若tanα≠1,则α=π4
解析 命题“若p,则q”的逆否命题是“若綈q,则綈p”,显然綈q:
tanα≠1,綈p:
α≠π4,所以该命题的逆否命题是“若tanα≠1,则α≠π4”.
答案 c
3.设x>0,y∈R,则“x>y”是“x>|y|”的
A.充要条件
B.充分不必要条件
c.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
解析 x>yx>|y|.
但x>|y|时,能有x>y.
∴“x>y”是“x>|y|”的必要不充分条件.
答案 c
4.命题“若a>-3,则a>-6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为
A.1
B.2
c.3
D.4
解析 原命题正确,从而其逆否命题也正确;其逆命题为“若a>-6,则a>-3”是假命题,从而其否命题也是假命题.因此四个命题中有2个假命题.
答案 B
5.已知函数f的定义域为R,则命题p:
“函数f为偶函数”是命题q:
“∃x0∈R,f=f”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
c.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 若f为偶函数,则有f=f,所以p⇒q;若f=x,当x=0时,f=f,而f=x为奇函数,所以qp.
∴“命题p”是“命题q”的充分不必要条件.
答案 A
考点一 四种命题的关系及其真假判断
【例1】命题“若x2-3x-4=0,则x=4”的逆否命题及其真假性为
A.“若x=4,则x2-3x-4=0”为真命题
B.“若x≠4,则x2-3x-4≠0”为真命题
c.“若x≠4,则x2-3x-4≠0”为假命题
D.“若x=4,则x2-3x-4=0”为假命题
原命题为“若z1,z2互为共轭复数,则|z1|=|z2|”,关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是
A.真、假、真
B.假、假、真
c.真、真、假
D.假、假、假
解析 根据逆否命题的定义可以排除A,D;由x2-3x-4=0,得x=4或-1,所以原命题为假命题,所以其逆否命题也是假命题.
由共轭复数的性质,|z1|=|z2|,∴原命题为真,因此其逆否命题为真;取z1=1,z2=i,满足|z1|=|z2|,但是z1,z2不互为共轭复数,∴其逆命题为假,故其否命题也为假.
答案 c B
规律方法 由原命题写出其他三种命题,关键要分清原命题的条件和结论,如果命题不是“若p,则q”的形式,应先改写成“若p,则q”的形式;如果命题有大前提,写其他三种命题时需保留大前提不变.
判断一个命题为真命题,要给出推理证明;判断一个命题为假命题,只需举出反例.
根据“原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假”这一性质,当一个命题直接判断不易进行时,可转化为判断其等价命题的真假.
【训练1】已知:
命题“若函数f=ex-mx在上是增函数,则m≤1”,则下列结论正确的是
A.否命题是“若函数f=ex-mx在上是减函数,则m>1”,是真命题
B.逆命题是“若m≤1,则函数f=ex-mx在上是增函数”,是假命题
c.逆否命题是“若m>1,则函数f=ex-mx在上是减函数”,是真命题
D.逆否命题是“若m>1,则函数f=ex-mx在上不是增函数”,是真命题
解析 由f=ex-mx在上是增函数,则f′=ex-m≥0恒成立,
∴m≤1.
因此原命题是真命题,所以其逆否命题“若m>1,则函数f=ex-mx在上不是增函数”是真命题.
答案 D
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