最新中考数学专题复习第7讲 一元二次方程.docx
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最新中考数学专题复习第7讲一元二次方程
第7讲 一元二次方程
目录:
考点知识梳理
中考典例精析
基础巩固训练
考点训练
考点知识梳理
考点一一元二次方程的定义
只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2,这样的整式方程叫做一元二次方程,一元二次方程的标准形式是ax2+bx+c=0(a,b,c是常数,且a≠0).
考点二一元二次方程的解法
1.直接开平方法:
如果x2=a(a≥0),则x=±
,即x1=
,x2=-
.
2.配方法:
如果x2+px+q=0且p2-4q≥0,则
2=-q+
2.
x1=-
+
,x2=-
-
.
3.公式法:
如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)且b2-4ac≥0,则x1,2=
.
4.因式分解法:
若方程ax2+bx+c=(ex+f)(mx+n)(a≠0),则ax2+bx+c=0的根为x1=-
,x2=-
.
温馨提示
解一元二次方程时,要根据方程的特点灵活选择合适的方法,一般顺序为:
直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法.公式法和配方法可以解所有判别式大于或等于0的一元二次方程.
考点三一元二次方程根的判别式
关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式为b2-4ac,一般用符号Δ表示.
(1)b2-4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根,即x1,2=
;
(2)b2-4ac=0⇔方程有两个相等的实数根,即x1=x2=-
;
(3)b2-4ac<0⇔方程没有实数根.
温馨提示
一元一次方程没有根的判别式.因此,在逆用判别式时,一定要保证二次项系数不等于零.
考点四一元二次方程根与系数的关系
1.若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根,分别为x1,x2,则x1+x2=-
,x1x2=
.
2.(简易形式)若关于x的一元二次方程x2+px+q=0有两个实数根,分别为x1,x2,则x1+x2=-p,x1x2=q.
温馨提示
1.首先把一元二次方程化成一般形式,再利用根与系数的关系.
2.在应用根与系数的关系时,一定要保证一元二次方程有实数根.
考点五列一元二次方程解应用题
列一元二次方程解应用题的步骤和列一次方程(组)解应用题的步骤相同,即审、设、找、列、解、检、答六步.
中考典例精析
考点一 一元二次方程的解
例1已知关于x的方程x2-kx-6=0的一个根为x=3,则实数k的值为( )
A.1B.-1
C.2D.-2
【点拨】利用代入法,把x=3代入x2-kx-6=0,得到32-3k-6=0,解得k=1.故选A.
【答案】A
考点二 一元二次方程的解法
例2解方程:
x2-2x-1=0.
【点拨】本题考查一元二次方程的解法,适合采用公式法.
解:
∵a=1,b=-2,c=-1,
∴b2-4ac=(-2)2-4×1×(-1)=8>0,
∴x=
=
=1±
.
即x1=1-
,x2=1+
.
方法总结
在一元二次方程的四种解法中,优先选择顺序依次为:
直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法.
考点三 一元二次方程根的判别式
例3若关于x的一元二次方程kx2+4x+3=0有实数根,则k的非负整数值是_______.
【点拨】∵一元二次方程有实根,∴b2-4ac=42-4×3×k≥0,∴k≤
.又∵k≠0,∴k≤
且k≠0.∴满足条件的非负整数值是1.
【答案】1
方法总结
若一元二次方程有实数根,那么应该包括有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根两种情况,切勿丢掉等号.
考点四 一元二次方程根与系数的关系
例4已知:
关于x的方程kx2-(3k-1)x+2(k-1)=0.
(1)求证:
无论k为何实数,方程总有实数根;
(2)若此方程有两个实数根x1,x2,且|x1-x2|=2,求k的值.
【点拨】本题考查一元二次方程根的判别式、根与系数的关系.
解:
(1)证明:
①当k=0时,方程是一元一次方程,有实数根;②当k≠0时,方程是一元二次方程,∵Δ=[-(3k-1)]2-4k·2(k-1)=k2-2k+1=(k+1)2≥0,∴无论k为何实数,方程总有实数根.
(2)由根与系数关系,得x1+x2=
,x1x2=
,∵|x1-x2|=2,∴(x1-x2)2=4,即(x1+x2)2-4x1x2=4,故(
)2-
=4.整理,得3k2-2k-1=0.解得k1=1,k2=-
.经检验,k1=1,k2=-
都是原分式方程的解,∴k1=1,k2=-
.
方法总结
要求关于x1和x2的某个代数式的值,先把这个代数式变形为x1+x2和x1x2表达的式子,再把x1+x2和x1x2的值整体代入;若给出了关于x1和x2的某个代数式的值或范围,要求系数中的未知字母的值或范围,先把这个代数式变形为用x1+x2和x1x2表达的式子,然后根据所给的值或取值范围,构造方程或不等式解决,若二次项系数中有字母,要注意二次项系数不为0.
考点五 一元二次方程的应用
例5雅安地震牵动着全国人民的心,某单位开展了“一方有难,八方支援”的赈灾捐款活动.第一天收到捐款10000元,第三天收到捐款12100元.
(1)如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同,求捐款的增长率;
(2)按照
(1)中收到捐款的增长速度,第四天该单位能收到捐款多少元?
【点拨】本题考查列一元二次方程解决增长率类应用题.
解:
(1)设捐款增长率为x,则10000(1+x)2=12100,
解这个方程,得x1=0.1=10%,x2=-2.1(不合题意,舍去).
答:
捐款的增长率为10%.
(2)按照
(1)中收到捐款的增长速度,第四天该单位能收到捐款12100×(1+10%)=13310(元).
答:
按照
(1)中收到捐款的增长速度,第四天该单位能收到捐款13310元.
方法总结
列一元二次方程解决实际问题时,一定要检验最后的结果,对不符合实际问题的未知数的值应舍去.
基础巩固训练
1.已知1是关于x的一元二次方程(m-1)x2+x+1=0的一个根,则m的值是( B )
A.1B.-1
C.0D.无法确定
解析:
把x=1代入(m-1)x2+x+1=0,得(m-1)+1+1=0,解得m=-1,此时m-1=-2≠0,∴m=-1.故选B.
2.用配方法解一元二次方程x2-4x=5时,此方程可变形为( D )
A.(x+2)2=1B.(x-2)2=1
C.(x+2)2=9D.(x-2)2=9
解析:
∵x2-4x=5,∴x2-4x+4=5+4,∴(x-2)2=9.故选D.
3.方程(k-1)x2-
x+
=0有两个实数根,则k的取值范围是( D )
A.k≥1B.k≤1
C.k>1D.k<1
解析:
∵方程(k-1)x2-
x+
=0有两个实数根,∴k-1≠0,1-k≥0,Δ=(-
)2-4(k-1)·
≥0,联立得
解得
∴k<1.故选D.
4.当方程x(x+1)=5(x+1)的解是x1=-1,x2=5.
解析:
当x+1=0时,x=-1;当x+1≠0时,x=5.
5.设a,b是x2+x-2013=0的两个不相等的实数根,则a2+2a+b=2012.
解析:
∵a,b是x2+x-2013=0的两个不相等的实数根,∴a2+a=2013,a+b=-1.∴a2+2a+b=(a2+a)+(a+b)=2013-1=2012.
6.已知一元二次方程x2-6x-5=0的两根分别为a,b,则
+
的值是-
.
解析:
由根与系数的关系,得a+b=6,ab=-5.所以
+
=
=
=-
.
7.某公司4月份的利润为160万元,要使6月份的利润达到250万元,则平均每月增长的百分率是25%.
解析:
设平均每月增长的百分率为x,
则由题意可列方程160(1+x)2=250,
解得x=0.25.
故平均每月增长的百分率为25%.
8.若关于x的一元二次方程x2+4x+2k=0有两个实数根,求k的取值范围及k的非负整数值.
解:
∵一元二次方程x2+4x+2k=0有两个实数根,
∴Δ=42-4·2k=16-8k≥0,
∴k≤2.
∴k的非负整数值为0,1,2.
考点训练
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.用配方法解方程x2-2x-1=0时,配方后所得的方程为( D )
A.(x+1)2=0B.(x-1)2=0
C.(x+1)2=2D.(x-1)2=2
2.已知x1,x2是一元二次方程x2-2x=0的两根,则x1+x2的值是( B )
A.0B.2
C.-2D.4
3.下列一元二次方程有两个相等实数根的是( C )
A.x2+3=0B.x2+2x=0
C.(x+1)2=0D.(x+3)(x-1)=0
4.已知一元二次方程x2-6x+c=0有一个根为2,则另一根为( C )
A.2B.3
C.4D.8
解析:
设另一根为x1,由根与系数的关系,得
2+x1=6,x1=4.故选C.
5.已知x1,x2是一元二次方程x2+2ax+b=0的两根,且x1+x2=3,x1x2=1,则a,b的值分别是( D )
A.a=-3,b=1B.a=3,b=1
C.a=-
,b=-1D.a=-
,b=1
解析:
由根与系数的关系,得x1+x2=-2a,x1x2=b,∴a=-
,b=1.故选D.
6.对于任意实数k,关于x的方程x2-2(k+1)x-k2+2k-1=0的根的情况为( C )
A.有两个相等的实数根
B.没有实数根
C.有两个不相等的实数根
D.无法确定
解析:
∵b2-4ac=4(k+1)2-4×1×(-k2+2k-1)=8k2+8>0,∴这个方程有两个不相等的实数根.故选C.
7.关于x的一元二次方程(a-1)x2+x+|a|-1=0的一个根是0,则实数a的值为( A )
A.-1B.0
C.1D.-1或1
解析:
由题意,得
解得a=-1.故选A.
8.如果关于x的一元二次方程kx2-
x+1=0有两个不相等的实数根,那么k的取值范围是( D )
A.k<
B.k<
且k≠0
C.-
≤k<
D.-
≤k<
且k≠0
解析:
由题意,得
解得-
≤k<
且k≠0.故选D.
9.已知一元二次方程x2-x-3=0的较小根为x1,则下面对x1的估计正确的是( A )
A.-2<x1<-1B.-3<x1<-2
C.2<x1<3D.-1<x1<0
解析:
在x2-x-3=0中,b2-4ac=(-1)2-4×1×(-3)=13>0,∴x=
=
,∴较小根x1=
.∵3<
<4,∴-
<
<-1.故选A.
10.由于受H7N9禽流感的影响,今年4月份鸡的价格两次大幅下降,由原来每斤12元,连续两次降价a%后售价下调到每斤5元,下列所列的方程中正确的是( B )
A.12(1+a%)2=5B.12(1-a%)2=5
C.12(1-2a%)=5D.12(1-a2%)=5
二、填空题(每小题4分,共24分)
11.若x=1是关于x的一元二次方程x2+3mx+n=0的解,则6m+2n=-2 .
解析:
把x=1代入方程,得1+3m+n=0,即3m+n=-1.∴6m+2n=2(3m+n)=2×(-1)=-2.
12.设m,n是一元二次方程x2+3x-7=0的两个根,则m2+4m+n=4.
解析:
∵m,n是一元二次方程x2+3x-7=0的两个根,∴m+n=-3,m2+3m-7=0,∴m2+4m+n=7+m+n=7-3=4.
13.一元二次方程2x2-3x+1=0的解为x1=1,x2=
.
14.若一元二次方程x2+2x+m=0无实数根,则m的取值范围是m>1.
15.若|b-1|+
=0,且一元二次方程kx2+ax+b=0有实数根,则k的取值范围是k≤4且k≠0.
解析:
∵|b-1|≥0,
≥0,|b-1|+
=0,∴b-1=0,a-4=0,即b=1,a=4.∴原方程为kx2+4x+1=0.∵kx2+4x+1=0有实数根,且为一元二次方程,∴42-4k≥0且k≠0,即k≤4且k≠0.
16.设x1,x2是方程x2-x-2013=0的两实数根,则x
+2014x2-2013=2014.
解析:
∵x1,x2是方程x2-x-2013=0的两实数根,∴x
-x1-2013=0,∴x
-x1=2013,x
-x
=2013x1,x
=x
+2013x1.又由根与系数的关系,可得x1+x2=1,∴x
+2014x2-2013=x
+2013x1+2014x2-2013=x
+2014(x1+x2)-x1-2013=x
-x1+1=2013+1=2014.
三、解答题(共46分)
17.(每小题5分,共15分)
(1)解方程:
x2-3x-1=0.
解:
∵a=1,b=-3,c=-1,
∴b2-4ac=(-3)2-4×1×(-1)=13,
∴x=
=
,
即x1=
,x2=
.
(2)解方程:
2(x-3)=3x(x-3).
解:
原方程可化为(x-3)(2-3x)=0,∴x1=3,
x2=
.
(3)解方程:
(2x-1)2=x(3x+2)-7.
解:
原方程可化为x2-6x+8=0,∴(x-3)2=1,
∴x-3=±1,∴x1=2,x2=4.
18.(6分)已知一元二次方程x2-(2k+1)x+k2+k=0.
(1)求证:
方程有两个不相等的实数根;
(2)若△ABC的两边AB,AC的长是这个方程的两个实数根,第三边BC的长为5.当△ABC是等腰三角形时,求k的值.
解:
(1)证明:
∵一元二次方程为x2-(2k+1)x+k2+k=0,Δ=[-(2k+1)]2-4(k2+k)=1>0,
∴此方程有两个不相等的实数根.
(2)∵△ABC的两边AB,AC的长是这个方程的两个实数根,由
(1)知,AB≠AC,△ABC第三边BC的长为5,且△ABC是等腰三角形,∴必然有AB=5或AC=5,即x=5是原方程的一个根.将x=5代入方程x2-(2k+1)x+k2+k=0,得25-5(2k+1)+k2+k=0,解得k=4或k=5.
当k=4时,原方程为x2-9x+20=0,x1=5,x2=4,以5,5,4为边长能构成等腰三角形;
当k=5时,原方程为x2-11x+30=0,x1=5,x2=6,以5,5,6为边长能构成等腰三角形.(必须检验方程的另一个根大于0小于10且不等于5)
∴k的值为4或5.
19.(7分)如图,在长和宽分别是a,b的矩形纸片的四个角上都剪去一个边长为x的正方形.
(1)用含a,b,x的代数式表示纸片剩余部分的面积;
(2)当a=6,b=4,且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时,求正方形的边长.
解:
(1)剩余部分的面积=S矩形-4S正方形=ab-4x2.
(2)根据题意,可得ab-4x2=4x2(或4x2=
ab=12),整理,得8x2=24,解得x=±
.
∵x>0,∴正方形的边长为
.
20.(9分)“4·20”雅安地震后,某商家为支援灾区人民,计划捐赠帐篷16800顶,该商家备有2辆大货车、8辆小货车运送,计划大货车比小货车每辆每次多运帐篷200顶,大、小货车每天均运送一次,两天恰好运完.
(1)求大、小货车原计划每辆每次各运送帐篷多少顶?
(2)因地震导致路基受损,实际运送过程中,每辆大货车每次比原计划少运200m顶,每辆小货车每次比原计划少运300顶.为了尽快将帐篷运送到灾区,大货车每天比原计划多跑
m次,小货车每天比原计划多跑m次,一天刚好运送了帐篷14400顶,求m的值.
解:
(1)设小货车原计划每辆每次运送帐篷x顶,则大货车原计划每辆每次运送帐篷(x+200)顶,根据题意,得2[8x+2(x+200)]=16800,
解得x=800,x+200=1000.
答:
大、小货车原计划每辆每次分别运送帐篷1000顶、800顶.
(2)由题意,得2(1000-200m)(1+
m)+8(800-300)(1+m)=14400,
解得m1=2,m2=21(
m=10.5为小数,舍去).
故m的值为2.
21.(9分)某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车,在一定范围内,每部汽车的进价与销售量有如下关系:
若当月仅售出1部汽车,则该部汽车的进价为27万元;每多售出1部,所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部.月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司,销售量在10部以内(含10部),每部返利0.5万元;销售量在10部以上,每部返利1万元.
(1)若该公司当月售出3部汽车,则每部汽车的进价为26.8万元;
(2)如果汽车的售价为28万元/部,该公司计划当月盈利12万元,那么需要售出多少部汽车?
(盈利=销售利润+返利)
解:
设需要售出x部汽车.由题意可知,每部汽车的销售利润为28-[27-0.1(x-1)]=(0.1x+0.9)万元.
当0≤x≤10时,根据题意,得
x·(0.1x+0.9)+0.5x=12.
整理,得x2+14x-120=0.
解得x1=-20(不合题意,舍去),x2=6.
当x>10时,根据题意,得x·(0.1x+0.9)+x=12.
整理,得x2+19x-120=0.
解得x3=-24(不合题意,舍去),x4=5.
因为5<10,所以x=5舍去.
答:
需要售出6部汽车.
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