湖南省邵阳市新邵一中高三上513班周考理综英语数学线上阅卷数学理.docx

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湖南省邵阳市新邵一中高三上513班周考理综英语数学线上阅卷数学理

2018-2019年湖南省邵阳市新邵一中高三上513班周考理综、英语、数学线上阅卷（数学（理））

一、选择题

1.已知集合，，则下图中阴影部分所表示的集合为

A.

B.

C.

D.

2.已知函数，则满足的实数的值为（    ）

A.

B.

C.

D.

3.已知向量，，若与共线，则实数的值是（    ）

A.

B.

C.

D.

4.将函数的图像上各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，则所得函数图像的解析式为

A.

B.

C.

D.

5.《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：

“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗.问：

五人各得几何？

”其意思为：

“有个人分个橘子，他们分得的橘子个数成公差为的等差数列，问人各得多少橘子.”根据这个问题，有下列个说法：

①得到橘子最多的人所得的橘子个数是；②得到橘子最少的人所得的橘子个数是；③得到橘子第三多的人所得的橘子个数是.其中说法正确的个数是（    ）

A.

B.

C.

D.

6.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（    ）

A.

B.

C.

D.

7.如图所示的程序框图，若输出的结果为，则输入的实数的取值范围是     

A.

B.

C.

D.

8.已知为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于，两点（点在第一象限），若，则以为直径的圆的标准方程为（）

A.

B.

C.

D.

9.

已知定义在上的函数是奇函数，且满足，，数列满足且，则 （    ）

A.

B.

C.

D.

10.某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为千元/件、千元/件．甲、乙两种产品都需要在，两种设备上加工，生产一件甲产品需用设备小时，设备小时；生产一件乙产品需用设备小时，设备小时．，两种设备每月可使用时间数分别为小时、小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为     

A.千元

B.千元

C.千元

D.千元

11.中国古代十进制的算筹计数法，在世界数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同样长短的小木棍，如图，算筹表示数的方法的一种．

例如：

可表示为“

”可表示为“

”问现有根算筹可以表示三位数的个数（算筹不能剩余）为（）

A.

B.

C.

D.

12.偶函数定义域为，其导函数是，当时，有，则关于的不等式的解集为（）

A.

B.

C.

D.

三、解答题

1.已知的内角满足.

求角；

若的外接圆半径为，求的面积的最大值.

2.

某商场为了了解顾客的购物信息，随机在商场收集了位顾客购物的相关数据如下表：

一次购物款（单位：

元）

顾客人数

统计结果显示位顾客中购物款不低于元的顾客占．该商场每日大约有名顾客，为了增加商场销售额度，对一次购物不低于元的顾客发放纪念品.

试确定，的值，并估计每日应准备纪念品的数量；

现有人前去该商场购物，求获得纪念品的人数的分布列与数学期望．

3.已知梯形如图所示，其中，，四边形是边长为的正方形，现沿进行折叠，使得平面平面，得到如图所示的几何体.

求证：

平面平面；

已知点在线段上，且平面，求与平面所成角的正弦值.

4.已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆的上顶点，为等边三角形，且其面积为，为椭圆的右顶点．

求椭圆的方程.

若直线与椭圆相交于，两点（，不是左、右顶点），且满足，试问：

直线是否过定点？

若过定点，求出该定点的坐标，否则说明理由．

5.

已知函数，的图象在处的切线方程为.

求函数的单调区间与极值；

若存在实数，使得成立，求整数的最小值.

6.在直角坐标系中，曲线的参数方程是（为参数），以该直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．

写出曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；

设点，直线与曲线相交于，两点，且，求实数的值．

7.已知，且．

若是恒成立，求的取值范围；

证明：

.

参考答案与试题解析

2018-2019年湖南省邵阳市新邵一中高三上513班周考理综、英语、数学线上阅卷（数学（理））

一、选择题

1.

【答案】

D

【考点】

Venn图表达集合的关系及运算

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：

阴影部分为,

∴.

故选.

2.

【答案】

B

【考点】

对数与对数运算

求函数的值

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：

，

即，，.

故选.

3.

【答案】

B

【考点】

向量的共线定理

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：

由，，则与.

因为与共线，所以，解得.

故选.

4.

【答案】

B

【考点】

函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

【解析】

函数的图象上各点纵坐标不变，说明最大值仍然是，故振幅不变；横坐标伸长到原来的倍，说明周期变成原来的倍，由三角函数的周期公式得后来函数的的系数变成,再向右平移个单位长度即可.

【解答】

解：

由题意知，将函数的图像上各点的横坐标伸展到原来的2倍，纵坐标不变，

得到函数的图像，

再向右平移个单位长度，

得到函数的图像.

故选.

5.

【答案】

C

【考点】

等差数列的性质

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解:

由题可设这五人的橘子个数分别为:

，

其和为，故，

由此可知②得到橘子最少的人所得的橘子个数是；

③得橘子第三多的人所得的橘子个数是是正确的，

故选.

6.

【答案】

D

【考点】

由三视图求面积、体积

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：

由三视图可得该立方体是由一个四棱锥和半个圆柱组合而成的，

所以体积为.

故选.

7.

【答案】

A

【考点】

程序框图

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：

该程序框图的运行过程如下：

第一次运行后：

变为，；

第二次运行后：

变为，;

第三次运行后：

变为，，

输出结果，根据条件可得

解之得.

故选.

8.

【答案】

A

【考点】

抛物线的性质

直线与圆锥曲线的综合问题

【解析】

作出抛物线的准线，设、在上的射影分别是、，连接、，过作于．由抛物线的定义结合题中的数据，可算出中，，得，即直线的倾斜角为，从而得到直线的斜率值．线的方程：

，代入抛物线方程得即可求得圆心和半径．

【解答】

|

解：

作出抛物线的准线，设，在上的射影分别是，，

如图所示，

连接，，过作于．

∵，

∴设，，

由点，分别在抛物线上，结合抛物线的定义，

得，．

因此，在中，，

得，

直线的倾斜角，

得直线的斜率，

∴直线的方程为，

代入抛物线方程得.

设,

∴，．

，

则以为直径的圆的标准方程为．

故选.

9.

【答案】

A

【考点】

数列与函数的综合

函数的周期性

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解:

∵函数是奇函数，

∴.

又∵,

∴.

∴，即.

∴是以为周期的周期函数.

∵，,

∴，利用累乘法可得.

∴，.

又∵，,

∴

.

故选.

10.

【答案】

B

【考点】

简单线性规划

【解析】

设甲、乙两种产品月产量分别为、件，写出约束条件、目标函数，

画出可行域找出最优解，求出目标函数的最大值即可．

【解答】

解：

设甲、乙两种产品的月产量分别为件，件，

约束条件是

目标函数是；

由约束条件画出可行域为如图所示的阴影部分.

由，结合图象可知，在处取得最大值，

由

可得，

此时（千元）．

故选.

11.

【答案】

C

【考点】

进行简单的合情推理

【解析】

考虑根算筹的组成，先讨论到，五个数，再讨论到，四个数，再由排列组合的知识，可得所求个数．

【解答】

解：

根算筹由，，构成，可得组成个三位数；

由，，构成，可得组成个三位数；

由，，构成，可得组成个三位数；

由，，构成，可得组成个三位数；

由，，构成，可得组成个三位数；

由于根算筹看做，根算筹看做，根算筹看做，根算筹看做，

由，，构成，可得组成个三位数；

由，，构成，可得组成个三位数；

由，，构成，可得组成个三位数；

由，，构成，可得组成个三位数；

由，，构成，可得组成个三位数；

由，，构成，可得组成个三位数；

由，，构成，可得组成个三位数；

由，，构成，可得组成个三位数；

由，，构成，可得组成个三位数；

由，，构成，可得组成个三位数；

由，，构成，可得组成个三位数；

由，，构成，可得组成个三位数；

由，，构成，可得组成个三位数；

由，，构成，可得组成个三位数；

由，，构成，可得组成个三位数．

则共有.

故选.

12.

【答案】

C

【考点】

函数奇偶性的性质与判断

利用导数研究函数的单调性

【解析】

根据题意，设，结合题意求导分析可得函数在上为减函数，结合函数的奇偶性分析可得函数为偶函数，进而将不等式转化为，结合函数的定义域、单调性和奇偶性可得，解可得的取值范围，即可得答案．

【解答】

解：

根据题意，设，其导数为，

又由时，有，则有，

则函数在上为减函数，

又由为定义域为的偶函数，

则，则函数为偶函数，

，

又由为偶函数且在上为减函数，且其定义域为，

则有，

解之为，

即不等式的解集为．

故选.

三、解答题

1.

【答案】

解：

设内角所对的边分别为.

由正弦定理及，

得，整理得，

所以，

又，所以.

根据正弦定理，并结合题意可得，

所以，

所以，

当且仅当时等号成立，

所以（当且仅当时取等号）.

故的面积的最大值为.

【考点】

余弦定理

正弦定理

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：

设内角所对的边分别为.

由正弦定理及，

得，整理得，

所以，

又，所以.

根据正弦定理，并结合题意可得，

所以，

所以，

当且仅当时等号成立，

所以（当且仅当时取等号）.

故的面积的最大值为.

2.

【答案】

解：

由题意知，

解得：

；

.

该商场每日应该准备纪念品的数量大约为.

由可知人购物获得纪念品的频率即为概率，

故人购物获得纪念品的数量服从二项分布~，

，

，

，

，

，

∴的分布列为

.

【考点】

互斥事件的概率加法公式

离散型随机变量的期望与方差

用样本的频率分布估计总体分布

【解析】

（1）由位顾客中购物款不低于元的顾客人数等于列式求得的值，再由组中的人数和等于求得的值；

（2）由

（1）可知人购物获得纪念品的频率即为概率，故人购物获得纪念品的人数服从二项分布，求出相应的概率，即可求获得纪念品的人数的分布列与数学期望．

【解答】

解：

由题意知，

解得：

；

.

该商场每日应该准备纪念品的数量大约为.

由可知人购物获得纪念品的频率即为概率，

故人购物获得纪念品的数量服从二项分布~，

，

，

，

，

，

∴的分布列为

.

3.

【答案】

证明：

由平面平面，，

平面平面，平面，

得平面，又平面，

∴，

由为正方形得，

又，平面，

∴平面，

又∵平面，

∴平面平面.

解：

由平面得，，

又故以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴

建立图示空间直角坐标系，则，，，，

设，则，

设平面的一个法向量为，

由，，

，得 ，

取，得，

∵平面，，

∴，，

∴

，

设与平面所成的角为，则

，

∴与平面所成的角的正弦值为.

【考点】

平面与平面垂直

【解析】

此题暂无解析

【解答】

证明：

由平面平面，，

平面平面，平面，

得平面，又平面，

∴，

由为正方形得，

又，平面，

∴平面，

又∵平面，

∴平面平面.

解：

由平面得，，

又故以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴

建立图示空间直角坐标系，则，，，，

设，则，

设平面的一个法向量为，

由，，

，得 ，

取，得，

∵平面，，

∴，，

∴

，

设与平面所成的角为，则

，

∴与平面所成的角的正弦值为.

4.

【答案】

解：

由已知

解得，

∴，

∴椭圆的标准方程为．

直线过定点，定点坐标为.

设，，

联立

得，

∴，

即，

且

又

，

∵椭圆的右顶点为，

∴，即，

∴，

∴，

∴，

解得：

，，且均满足，

当时，的方程为，直线过定点，与已知矛盾；

当时，的方程为，直线过定点．

∴直线过定点，定点坐标为.

【考点】

椭圆的性质

直线与圆锥曲线的综合问题

椭圆的标准方程

【解析】

Ⅰ根据三角形的面积公式，以及等边三角形的性质即可求出，，再根据，即可得到．

设，，联立方程组根据根与系数的关系，利用，得到，即可得出．

【解答】

解：

由已知

解得，

∴，

∴椭圆的标准方程为．

直线过定点，定点坐标为.

设，，

联立

得，

∴，

即，

且

又

，

∵椭圆的右顶点为，

∴，即，

∴，

∴，

∴，

解得：

，，且均满足，

当时，的方程为，直线过定点，与已知矛盾；

当时，的方程为，直线过定点．

∴直线过定点，定点坐标为

5.

【答案】

解:

，

因为，

所以，易得切点，

所以.

易知函数在上单调递增，且.

则当时，；

当时，.

所以函数的单调递减区间为；单调递增区间为.

所以函数在处取得极小值.

因为,

所以,

即①

令，

若存在实数，使得不等式①成立，则，

，易知在上单调递增，

又，，，

，

或由当时取等号，得

所以存在唯一的，使得，

且当时，；

当时，.

所以在上单调递减，在上单调递增，

，

又，即，

所以.

所以

，

因为，所以，

则，又.

所以的最小值为.

【考点】

利用导数证明不等式

利用导数研究函数的极值

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解:

，

因为，

所以，易得切点，

所以.

易知函数在上单调递增，且.

则当时，；

当时，.

所以函数的单调递减区间为；单调递增区间为.

所以函数在处取得极小值.

因为，

所以，

即①，

令，

若存在实数，使得不等式①成立，则，

，易知在上单调递增，

又，，，

，

或由当时取等号，得

所以存在唯一的，使得，

且当时，；

当时，.

所以在上单调递减，在上单调递增，

，

又，即，

所以.

所以

，

因为，所以，

则，又.

所以的最小值为.

6.

【答案】

曲线的参数方程是（为参数），

转换为直角坐标方程为．

故曲线的普通方程为．             

直线的极坐标方程为，

转换直线的直角坐标方程为．

直线的参数方程可以写为（为参数）．     

设,两点对应的参数分别为，，

将直线的参数方程代入曲线的普通方程，

可以得到，

整理得：

，

由于，

所以 ，             

解得：

或或． 

【考点】

直线的参数方程

参数方程化成普通方程

简单曲线的极坐标方程

【解析】

Ⅰ直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．

Ⅱ利用直线和曲线的位置关系建立方程组，进一步利用一元二次方程根和系数的关系求出结果．

【解答】

曲线的参数方程是（为参数），

转换为直角坐标方程为．

故曲线的普通方程为．             

直线的极坐标方程为，

转换直线的直角坐标方程为．

直线的参数方程可以写为（为参数）．     

设,两点对应的参数分别为，，

将直线的参数方程代入曲线的普通方程，

可以得到，

整理得：

，

由于，

所以 ，             

解得：

或或． 

7.

【答案】

解：

∵，，且，

∴

，

则，

当时，不等式化为，解得，

当，不等式化为，解得，

当时，不等式化为，解得，

综上所述的取值范围为；

证明：

，

当且仅当时，取得等号．

另由柯西不等式可得

，

当且仅当时，取得等号．

【考点】

不等式恒成立的问题

柯西不等式

不等式的证明

基本不等式

【解析】

Ⅰ运用乘法和基本不等式可得的最小值，再由绝对值不等式的解法，即可得到所求范围；

Ⅱ变形、运用基本不等式或柯西不等式，即可得证．

【解答】

解：

∵，，且，

∴

，

则，

当时，不等式化为，解得，

当，不等式化为，解得，

当时，不等式化为，解得，

综上所述的取值范围为；

证明：

，

当且仅当时，取得等号．

另由柯西不等式可得

，

当且仅当时，取得等号．