新疆喀什第二中学学年高二下学期开学考试数学试题.docx
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新疆喀什第二中学学年高二下学期开学考试数学试题
新疆喀什第二中学2021-2022学年高二下学期开学考试数学试题
学校:
___________姓名:
___________班级:
___________考号:
___________
评卷人
得分
一、单选题
1.函数
在
上的零点个数为( )
A.
B.
C.
D.
2.直线
,
为直线
上动点,则
的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
3.已知椭圆
的右焦点为
,则
( )
A.
B.
C.
D.
4.
(2).(坐标系与参数方程选做题)若以直角坐标系的原点为极点,
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,则线段
的极坐标为
A.
B.
C.
D.
5.已知直线
:
与圆
:
交于
、
两点,则
( )
A.
B.
C.
D.
6.下列命题中,假命题是( )
A.
B.
C.
是
的充要条件D.
是
的充分不必要条件
7.已知命题p:
若
,则
;命题q:
对任意
,都有
.则下列命题是假命题的是( )
A.
B.
C.qD.
8.已知函数
,则曲线
在点
处的切线方程为( )
A.
B.
C.
D.
9.已知点
与抛物线
,过抛物线焦点的直线与抛物线交于A,B两点,与y轴交于点
,若
,且直线QA的斜率为1,则
( )
A.2B.4C.
D.
10.已知函数
的导函数
的图象如图所示,则下列结论正确的是( )
A.
B.
C.
D.
11.已知定义在
上的函数
满足,①
,②
为奇函数,③当
时,
恒成立.则
、
、
的大小关系正确的是( )
A.
B.
C.
D.
12.过双曲线
的右焦点F作一条渐近线的垂线,垂足为M,且FM的中点A在双曲线上,则双曲线离心率e等于( )
A.
B.
C.
D.
评卷人
得分
二、填空题
13.直线
和直线
垂直,则实数
的值为_______.
14.已知命题p:
,若命题p的逆否命题为真命题,则实数m的取值范围为_____.
15.函数
的单调递增区间为___________.
16.下列给出的命题中:
①若
的定义域为R,则
一定是偶函数;
②若
是定义域为R的奇函数,对于任意的
都有
,则函数
的图象关于直线
对称;
③某一个函数可以既是奇函数,又是偶函数;
④若
在区间
上是增函数,则
;
其中正确的命题序号是__________.
评卷人
得分
三、解答题
17.己知非空集合
.
(1)若
,求
;
(2)若“
”是“
”的充分不必要条件,求
的取值范围.
18.已知
:
方程
表示焦点在
轴上的椭圆,
:
方程
表示焦点在
轴上的双曲线,其中
.
(1)若“
”为真命题,求
的取值范围:
(2)若“
”为假命题,“
”为真命题,求
的取值范围.
19.若变量
满足约束条件
,求:
(1)
的最大值;
(2)
的取值范围;
(3)
的取值范围.
20.已知椭圆
的离心率为
,且点
在椭圆C上.
(1)求C的方程;
(2)记椭圆C的下顶点为P,过点
的直线l(不经过P点)与C相交于A,B两点.试问直线
与直线
的斜率之和是否为定值,若是,求出该定值;若不是,请说明理由.
21.已知函数
(其中
,
是自然对数的底数).
(1)若
在点
处的切线方程为
,求
;
(2)若
,函数
恰好有两个零点,求实数
的取值范围.
22.曲线
的参数方程为
(
为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(1)把
的参数方程化为极坐标方程;
(2)求曲线
与
交点的极坐标
.
参考答案:
1.C
【解析】
【分析】
在
时,解方程
,即可得解.
【详解】
当
时,由
.
若
,可得
、
、
;
若
,可得
、
、
、
.
综上所述,函数
在
上的零点个数为
.
故选:
C.
2.C
【解析】
【分析】
根据题意,所求最值即为
到直线
距离的平方,即可求解.
【详解】
解:
由题意得:
表示
到
的距离的平方,而
为直线
上动点,所以
的最小值,即为
到直线
距离的平方,即
,
故选:
C
3.C
【解析】
根据基本量之间的关系可求
的值.
【详解】
因为右焦点为
,故焦点在
轴上且
,故
,
故选:
C.
4.A
【解析】
【详解】
试题分析:
根据
,
得:
解得
,选A.
考点:
极坐标
5.B
【解析】
由圆的方程可得圆心坐标和半径,根据点到直线的距离求得圆心到直线的距离,根据勾股定理可求得答案.
【详解】
∵圆
的圆心
,半径为
,
圆心
到直线
:
的距离为
,
∴
,
故选:
B.
6.C
【解析】
由
恒成立可判断A;取特殊值可判断BC;由集合包含关系可判断D.
【详解】
对于A,
恒成立,故A是真命题,不符合题意;
对于B,当
时,满足
,故B是真命题,不符合题意;
对于C,若
,则
,故充分性成立;当
时,满足
,但
,故必要性不成立,故C是假命题,符合题意;
对于D,由
得
,
Ü
,
是
的充分不必要条件,故D是真命题,不符合题意.
故选:
C.
7.B
【解析】
利用正弦函数的性质推导出命题p是假命题,利用基本不等式推出命题q是真命题,再根据复合命题的真假逐一判断四个选项的正误即可得正确选项.
【详解】
若
,
,
,
,此时
,但
,
所以命题p是假命题,
由基本不等式可得对任意
,都有
,所以命题q是真命题,
对于选项A:
一真则真,所以
是真命题,故选项A不正确;
对于选项B:
一假则假,所以
是假命题,故选项B正确;
对于选项C:
q是真命题,故选项C不正确;
对于选项D:
命题p是假命题,所以
是真命题,故选项D不正确,
故选:
B.
8.B
【解析】
【分析】
求得
的导数,由导数的几何意义,代入
可得切线的斜率,求得
由直线的点斜式方程可得切线的方程.
【详解】
解:
的导数为
可得
在点
处的切线的斜率为
,
且
所以曲线
在点
处的切线方程为
,即
.
故选:
.
9.C
【解析】
【分析】
判断A、B的位置,结合向量关系,推出A、B横坐标与纵坐标的关系,通过直线的斜率关系,转化求解即可.
【详解】
解:
由题意可知A在第一象限,B在第四象限,设
,
由
,所以
,得
,又
,所以
,
又A、F、B三点共线,可得
,即
,
可得
,∴
,
,
,
由QA斜率为1可得:
,即
,
则
.
故选:
C.
【点睛】
在直线和抛物线的位置关系中,结合向量共线考查求抛物线中的参数
;基础题.
10.B
【解析】
根据图象得出
的单调性即可.
【详解】
由图可知
在
,
上递减,在
,
上递增,
故
故选:
B
11.C
【解析】
【分析】
根据单调性的定义可得
在
上单调递增,根据已知条件可得
是周期为
的奇函数,根据周期性和单调性即可求解.
【详解】
由
可得
的周期为
,
因为
为奇函数,所以
为奇函数,
因为
时,
,所以
在
上单调递增,
因为
为奇函数,所以
在
上单调递增,
所以
在
上单调递增,
因为
,
,
,
所以
,即
.
故选:
C.
12.A
【解析】
【分析】
根据题意可表示出渐近线方程,进而可知
的斜率,表示出直线
方程,求出
的坐标进而求得A点坐标,代入双曲线方程整理求得
和
的关系式,进而求得离心率.
【详解】
:
由题意设
相应的渐近线:
,
则根据直线
的斜率为
,则
的方程为
,
联立双曲线渐近线方程
求出
,
则
,
,则
的中点
,
把中点坐标代入双曲线方程
中,即
,
整理得
,即
,求得
,即离心率为
,
故答案为:
.
13.
或0
【解析】
直接利用直线垂直的充要条件列方程求解即可.
【详解】
因为直线
和直线
垂直,
所以
,
即
,
解得
或
.
故答案为:
或0
14.
【解析】
【分析】
根据原命题和逆否命题是等价的,得到命题p是真命题,不等式恒成立得到判别式小于零,求得结果.
【详解】
因为命题p的逆否命题是真命题,所以命题p是真命题,
得
,即
,所以实数m的取值范围是
,
故答案是:
.
【点睛】
该题考查的是根据命题为真命题求参数的取值范围,涉及到的知识点有原命题和逆否命题等价,二次函数图象的特征与判别式的关系,属于简单题目.
15.
【解析】
【分析】
先求解出
,然后根据
对应的
的取值范围确定出单调递增区间.
【详解】
因为
,令
,解得
,即
,
所以单调递增区间为
,
故答案为:
.
16.①③④
【解析】
①根据奇偶函数的定义判断;②利用抽象函数的对称性判断;③通过特殊函数判断;④通过分离常数,转化为熟悉的函数判断.
【详解】
①函数
的定义域为
,所以函数
的定义域也是
,
,即
,所以函数
是偶函数,故①正确;
②对应任意的
,都有
,即函数
关于
对称,并不关于
对称,故②不正确;
③函数
既是偶函数又是奇函数,故③正确;
④
,若函数在
上单调递增,则
,解得:
,故④正确.
故答案为:
①③④
【点睛】
方法点睛:
函数的对称性包含中心对称和轴对称,一般判断的方法包含:
1.若对函数
的定义域内的任一自变量
的值都有
,则
的图象关于
成轴对称;
2.若对函数
的定义域内的任一自变量
的值都有
,则
的图象关于
成中心对称;
17.
(1)
或
或
(2)
【解析】
【分析】
(1)解不等式,直接求解集合间的运算;
(2)根据充分必要性列不等式,求解参数取值范围.
(1)
当
时,
,
或
,
或
,
所以
或
或
;
(2)
由
(1)得
或
,
又“
”是“
”的充分不必要条件,且
,
所以
或
,
解得
或
,
综上所述:
.
18.
(1)
或
(2)
【解析】
【分析】
(1)先假设
命题为真命题,求出
的取值范围,
为真命题,取补集即可
(2)假设
命题为真命题,求出
的取值范围,根据题意,则命题假设
和命题
一真一假,分类讨论求
的取值范围
(1)
解:
若
为真命题,则
,
解得
,
若“
”为真命题,则
为假命题,
或
;
(2)
若
为真命题,则
解得
,
若“
”为假命题,则“
”为真命题,
则
与
一真一假,
①若
真
假,则
解得
,
②若
真
假,则
解得
,
综上所述,
,即
的取值范围为
.
19.
(1)5;
(2)
;(3)
.
【解析】
【分析】
作出可行域,求得
三点的坐标,
(1)中,根据直线的几何意义,即可求解目标函数的最大值;
(2)中,转化为点
与
取的斜率的范围,即可求解;(3)中,转化为
与
距离的平方,即可求解.
【详解】
作出可行域,如图阴影部分所示.
由
即
由
即
由
即
(1)如图可知
,在点
处取得最优解,
;
(2)
,可看作
与
取的斜率的范围,
在点
,
处取得最优解,
,
所以
(3)
可看作
与
距离的平方,如图可知
所以
在点
处取得最大值,
所以
【点睛】
本题主要考查简单线性规划.解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域,将目标函数赋予几何意义;求目标函数的最值的一般步骤为:
一画二移三求.其关键是准确作出可行域,理解目标函数的意义.常见的目标函数有:
(1)截距型:
形如
.求这类目标函数的最值常将函数
转化为直线的斜截式:
,通过求直线的截距
的最值间接求出
的最值;
(2)距离型:
形如
;(3)斜率型:
形如
.
20.
(1)
;
(2)和为定值,且定值为
.
【解析】
【分析】
(1)由椭圆的离心率及点在椭圆上,列方程即可得解;
(2)设直线方程,联立方程组,结合韦达定理、斜率公式,细心运算即可得解.
【详解】
解:
(1)设椭圆的焦距为
,由题意得:
故椭圆C的方程为
;
(2)由题意知
,直线l的斜率存在,不妨设直线l的方程为
,
设A,B两点的坐标为
,
联立
由
是上方程的两根得:
又
,
故直线
与直线
的斜率之和为定值,且定值为
.
【点睛】
关键点点睛:
解决本题的关键是联立方程组,将所需条件转化为两根之和、两根之积表示,再结合韦达定理细心运算即可得解.
21.
(1)
;
(2)
.
【解析】
【分析】
(1)求出导函数
,可得切线斜率,从而得出切线方程;
(2)问题转化为
的图象和直线
恰好有2个交点,求
,确定
的单调性,得
的取值范围,从而可得
的范围.
【详解】
(1)
,
由题意可知
,解得
(2)
,
问题等价于
的图象和直线
恰好有2个交点,求
的取值范围.
令
,则
.令
,
则
,所以
在
上单调递减.又
,
当
时,
,
,所以
在
上单调递增.
当
时,
,
,所以
在
上单调递减,
所以
的极大值即最大值为
当
时,
;当
时,
当
时,
的图象和直线
恰好有2个交点,
所以当
时,函数
恰好有两个零点
【点睛】
关键点点睛:
本题考查导数的几何意义,考查用导数研究函数的零点.解决函数零点问题的关键是把问题转化为函数
的图象与直线
的交点个数问题,从而只要用导数研究函数
的单调性与取值范围,即可得参数范围.属于中档题.
22.
(1)
;
(2)
.
【解析】
【分析】
(1)应用同角三角形函数的平方关系消参,得到直角坐标方程,再由公式法写出极坐标方程即可.
(2)写出
的直角坐标方程,联立
求交点坐标,再转化为极坐标形式即可.
(1)
曲线
的参数方程为
(
为参数),则
,
所以直角坐标方程为
,
由公式法,可得极坐标方程为
.
(2)
曲线
的极坐标方程为
,可得其直角坐标方程为
所以
,解得
或
,
所以交点极坐标为
.
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