人教版八年级数学上册课时练第十二章 《全等三角形》 能力篇.docx
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人教版八年级数学上册课时练第十二章《全等三角形》能力篇
课时练:
第十二章《全等三角形》(能力篇)
一.选择题
1.下列说法正确的是( )
A.形状相同的两个三角形全等
B.能完全重合的两个三角形全等
C.两个等腰直角三角形全等
D.面积相等的两个三角形全等
2.如图所示,OA=OB,OC=OD,∠O=50°,∠D=35°,则∠OBC的度数是( )
A.130°B.85°C.105°D.95°
3.如图,∠ADC=∠AEB=90°,补充下列一个条件,仍无法判定△ABE≌△ACD的是( )
A.AD=AEB.∠B=∠CC.BE=CDD.AB=AC
4.如图,△ABC≌A′CB′,若∠BCB′=40°,AC⊥A′B′,则∠A′的度数是( )
A.50°B.60°C.70°D.80°
5.用尺规作图,不能唯一确定一个直角三角形的是( )
A.已知两直角边B.已知一个直角边和斜边
C.已知两个锐角D.已知一斜边和一锐角
6.如图,AB,BC,AC表示的是三条河流,现决定在这三条河流中间修建一个木材厂,使该厂到三条河流的距离相等,以便利用走水路向外运木柴,则这个木柴长应建在( )
A.AC,BC两边高线的交点处
B.AC,BC两边中线的交点处
C.AC,BC两边垂直平分线的交点处
D.∠A,∠B两角的平分线的交点处
7.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AE为∠BAC的平分线,DE⊥AB,AB=7cm,AC=3cm,则BD等于( )
A.1cmB.2cmC.3cmD.4cm
8.小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块(即图中标有1、2、4的四块),你认为将其中的哪一块带去玻璃店,就能配一块与原来一样大小的三角形玻璃.应该带( )
A.第4块B.第3块C.第2块D.第1块
9.如图所示,△ABC中,AB=AC,BE=CF,AD⊥BC,则图中共有全等三角形( )
A.4对B.3对C.2对D.1对
10.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,AC=4,将△ABC沿直线BC方向平移2.5个单位得到△DEF,AC与DE相交于G点,连接AD,AE,则下列结论:
①△AGD≌△CGE;②△ADE为等腰三角形;③AC平分∠EAD;④四边形AEFD的面积为9.
其中正确的个数是( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
二.填空题
11.如图,△ABC中,AD⊥BC于D,要使△ABD≌△ACD,若根据“HL”判定,还需要加条件 .
12.在平面直角坐标系中,点A(2,0),B(0,4),作△BOC,使△BOC与△ABO全等,则点C坐标为 .(点C不与点A重合)
13.如图,BD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E,△ABC的面积为70,AB=16,BC=12,则DE的长为 .
14.如图,在△ABC中,∠C=90°,DE⊥AB于D,BC=BD,若AC=4cm,则AE+DE= .
15.如图,△ABC≌△ADE,且∠EAB=120°,∠B=30°,∠CAD=10°,∠CFD= °.
三.解答题
16.已知如图,在△ABC中,BE、CF分别是AC、AB边上的高,在BE的延长线上截取BM=AC,在CF的延长线上截取CN=AB,请说明:
(1)AM=AN.
(2)AM⊥AN.
17.如图,△ABC中,BD⊥AC于点D,CE⊥AB于点E,且BD、CE交于点F,点G是线段CD上一点,连接AF、GF,若AF=GF,BD=CD.
(1)求∠CAF的度数;
(2)判断线段FG与BC的位置关系,并说明理由.
18.
(1)如图①,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=45°,AD平分∠BAC,交BC于点D.如果作辅助线DE⊥AB于点E,则可以得到AC、CD、AB三条线段之间的数量关系为 ;
(2)如图,△ABC中,∠C=2∠B,AD平分∠BAC,交BC于点D.
(1)中的结论是否仍然成立?
若不成立,试说明理由;若成立,请证明.
19.如图,在△ABC中,D是BC的中点,过点D的直线GF交AC于点F,交AC的平行线BG于点G,DE⊥GF,交AB于点E,连接EG,EF.
(1)求证:
EG=EF.
(2)请你判断BE+CF与EF的大小关系,并说明理由.
20.已知,点D是△ABC内一点,满足AD=AC
(1)已知∠CAD=2∠BAD,∠ABD=30°,如图1,若∠BAC=60°,∠ACB=80°,请判断BD和CD的数量关系(直接写出答案)
(2)如图2,若∠ACB=2∠ABC,BD=CD,试证明∠CAD=2∠BAD.
参考答案
一.选择题
1.解:
A、如教师用的三角板和学生用的三角板形状相同,但不全等,故本选项错误;
B、能够完全重合的两个三角形全等,故本选项正确;
C、如图:
图中的两个等腰直角三角形不全等,故本选项错误;
D、当一个三角形的底是2,对应的高是1,而另一个三角形的底是1,对应的高是2,两三角形的面积相等,但是两三角形不全等,故本选项错误;
故选:
B.
2.解:
∵在△OAD和△OBC中,
,
∴△OAD≌△OBC,(SAS)
∴∠OBC=∠OAD=180°﹣∠O﹣∠D=95°,
故选:
D.
3.解:
A、在△ABE和△ACD中,
,
∴△ABE≌△ACD(ASA),故本选项错误;
B、根据∠A=∠A,∠AEB=∠ADC,∠B=∠C不能推出△ABE≌△ACD(ASA),故本选项正确;
C、在△ABE和△ACD中,
,
∴△ABE≌△ACD(AAS),故本选项错误;
D、在△ABE和△ACD中,
,
∴△ABE≌△ACD(AAS),故本选项错误;
故选:
B.
4.解:
∵△ABC≌A′CB′,
∴∠ACB=∠B′CA′,
∴∠BCB′=∠ACA′=40°,
∵AC⊥A′B′,
∴∠A′=90°﹣∠ACA′=50°,
故选:
A.
5.解:
A、符合全等三角形的判定定理SAS,所以能作出唯直角一三角形.故本选项不符合题意;
B、符合全等三角形的判定定理HL,所以能作出唯一直角三角形.故本选项不符合题意;
C、因为已知两个锐角,而边长不确定,故这样的三角形可作很多,而不是唯一的.故本选项符合题意;
D、故选符合全等三角形的判定定理AAS,所以能作出唯直角一三角形.故本选项不符合题意;
故选:
C.
6.解:
根据角平分线的性质,木材厂应建在∠A、∠B两内角平分线的交点处.
故选:
D.
7.解:
∵AC⊥BC,AE为∠BAC的平分线,DE⊥AB,
∴CE=DE,
在Rt△ACE和Rt△ADE中,
,
∴Rt△ACE≌Rt△ADE(HL),
∴AC=AD,
∵AB=7cm,AC=3cm,
∴BD=AB﹣AD=AB﹣AC=7﹣3=4cm.
故选:
D.
8.解:
1、3、4块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素,所以不能带它们去,
只有第2块有完整的两角及夹边,符合ASA,满足题目要求的条件,是符合题意的.
故选:
C.
9.解:
∵AD⊥BC,AB=AC,
∴∠ADB=∠ADC=90°,BD=DC,
∵BE=CF,
∴DE=DF,
∵AD⊥BC,
∴AE=AF,
在△ADB和△ADC中,
,
∴△ADB≌△ADC(SAS),
同理△ADF≌△ADE,
在△AEB和△AFC中,
,
∴△AEB≌△AFC(SSS),
∵BE=CF,
∴BE+EF=CF+EF,
∴BF=CE,
在△AEC和△AFB中,
,
∴△AEC≌△AFB(SSS),
即共4对全等三角形.
故选:
A.
10.解:
由平移的性质得:
AD∥BE,AD=BE=2.5,
∵∠BAC=90°,AB=3,AC=4,
∴BC=
=
=5,
∴CE=2.5,
∴AD=CE,
∵AD∥BE,
∴∠DAG=∠ECG,
在△AGD和△CGE中,
,
∴△AGD≌△CGE(AAS),
∴①正确;
∵∠BAC=90°,BE=CE,
∴AE=
BC=CE=2.5,
∴AE=AD,
∴△ADE为等腰三角形,
∴②正确;
∵AE=CE,
∴∠EAC=∠ECG,
∵∠DAG=∠ECG,
∴∠EAC=∠DAG
,
∴AC平分∠EAD,
∴③正确;
作AH⊥BC于H,如图所示:
∵△ABC的面积=
BC•AH=
AB•AC,
∴AH=
=
,
∴四边形AEFD的面积=
(AD+EF)×AH=
(2.5+5)×
=9,
∴④正确;
正确的个数有4个,
故选:
D.
二.填空题(共5小题)
11.解:
还需添加条件AB=AC,
∵AD⊥BC于D,
∴∠ADB=∠ADC=90°,
在Rt△ABD和Rt△ACD中,
,
∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL),
故答案为:
AB=AC.
12.解:
如图所示:
有三个点符合,
∵点A(2,0),B(0,4),
∴OB=4,OA=2,
∵△BOC与△AOB全等,
∴OB=OB=4,OA=OC=2,
∴C1(﹣2,0),C2(﹣2,4),C3(2,4).
故答案为:
(2,4)或(﹣2,0)或(﹣2,4).
13.解:
作DF⊥BC于F,
∵BD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,DF⊥BC,
∴DF=DE,
∴
×AB×DE+
×BC×DF=70,
∴DF=DE=5.
故答案为:
5.
14.解:
∵DE⊥AB,
∴∠C=∠BDE,
在Rt△CBE和Rt△DBE中
∴Rt△CBE≌Rt△DBE(HL),
∴CE=DE,
∴AE+DE=AE+CE=AC=4cm,
故答案为:
4cm.
15.解:
∵△ABC≌△ADE,
∴∠EAD=∠CAB,
∵∠EAB=120°,∠CAD=10°,
∴∠EAD=∠CAB=55°,
∴∠CFD=∠FAB+∠B=10°+55°+30°=95°,
故答案为:
95.
三.解答题(共5小题)
16.证明:
(1)∵CF⊥AB,BE⊥AC,
∴∠AEB=∠AFC=90°,
∴∠ABE=∠ACF=90°﹣∠BAC,
在△AMB和△ANC中,
,
∴△AMB≌△NAC(SAS),
∴AM=AN;
(2)∵△AMB≌△NAC,
∴∠BAM=∠N,
∵∠N+∠NAF=90°,
∴∠BAM+∠NAF=90°,
∴∠MAN=90°,
∴AM⊥AN.
17.解:
(1)∵BD⊥AC,CE⊥AB,
∴∠BEF=∠CDF=90°,
∵∠EFB=∠DFC,
∴∠EBF=∠FCD,
∵BD=CD,∠ADB=∠CDF,
∴△ABD≌△FCD,
∴AD=DF,
∴△ADF是等腰直角三角形,
∴∠CAF=45°;
(2)FG∥BC,理由是:
∵AF=FG,
∴∠FGA=∠CAF=45°,
∵BD⊥AC,BD=CD,
∴△BDC是等腰直角三角形,
∴∠DCB=45°,
∴∠FGA=∠DCB,
∴FG∥BC.
18.解:
(1)如图1,∵AD平分∠BAC,
∴∠CAD=∠EAD,
在△CAD和△EAD中
,
∴△CAD≌△EAD(AAS),
∴CD=DE,AC=AE,
∵∠B=45°,∠DEB=90°,
∴DE=EB,
∴DC=BE,
∴AE+BE=AC+DC=AB;
故答案为:
AB=AC+CD.
(2)成立.
证明:
如图2,在AB上截取AE=AC,连接DE.
∵在△ACD和△AED中
,
∴△ACD≌△AED(SAS),
∴CD=ED,∠C=∠AED,
又∵∠C=2∠B,
∴∠AED=2∠B,
又∵∠AED=∠B+∠EDB,
∴2∠B=∠B+∠EDB,
∴∠B=∠EDB,
∴ED=EB
∵AB=AE+EB,ED=EB=CD,AE=AC,
∴AB=AC+CD.
19.解:
(1)∵BG∥AC,
∴∠DBG=∠C,
在△DBG和△DCF中,
,
∴△DBG≌△DCF,
∴DG=DF,
∵DE⊥GF,
∴EG=EF.
(2)结论:
BE+CF>EF.
理由:
∵△DBG≌△DCF,
∴CF=BG,
在△EBG中,∵BE+BG>EG,
∵BG=CF,EG=EF,
∴BE+CF>EF.
20.解:
(1)BD和CD的数量关系是BD=CD;
理由:
∵在△ABC中,∠BAC=60°,∠ACB=80°,
∴∠ABC=40°,
∵∠CAD=2∠BAD,
∴∠CAD=40°,∠BAD=20°,
又∵AD=AC,
∴∠ADC=∠ACD=70°,
∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=40°﹣30°=10°,∠DCB=∠ACB﹣∠ACD=80°﹣70°=10°,
∴∠DBC=∠DCB,
∴DB=DC;
(2)作∠EBC=∠ACB,使EB=AC,连接ED、EA,则四边形AEBC是等腰梯形,
∴AE∥BC,
∴∠EAB=∠ABC,
∵BD=CD,
∴∠DBC=∠DCB,
∴∠EBD=∠ACD,
在△EBD和△ACD中
∴△EBD≌△ACD(SAS),
∴ED=AD,
∵∠ACB=2∠ABC,∠EBC=∠ACB,
∴∠EBC=2∠ABC,
∴∠ABE=∠ABC,
∴∠EAB=∠ABE,
∴BE=AE,
∵AD=AC=EB,
∴EA=ED=AD,
∴△AED是等边三角形,
∴∠EAD=60°,
∴∠BAD=60°﹣∠EAB=60°﹣∠ABC,
∴2∠BAD=120°﹣2∠ABC=120°﹣∠ACB,
∵AE∥BC,
∴∠ACB+∠EAC=180°,
∴∠ACB=180°﹣∠EAC,
∵∠EAC=60°+∠DAC,
∴2∠BAD=120°﹣(180°﹣60°﹣∠DAC)=∠DAC,
∴∠DAC=2∠BAD.
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