高三数学排列与组合Word下载.docx
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7.分组、分配法:
分组问题(分成几堆,无序).有等分、不等分、部分等分之别。
一般地平均分成n堆(组),必须除以n!
如果有m堆(组)元素个数相等,必须除以m!
例如:
6本不同的书分成三组,分别是1本、2本、3本,共有
=60种分法;
6本不同的书分成三组,每组2本,共有
÷
3!
=15种分法;
6本不同的书分成三组,分别是1本、1本、4本,共有
2!
分配问题(有序分组):
逐个分给.
7本不同的书,分给甲、乙、丙三个人,依次得3、2、2本,有
=210种分法。
如果不明确谁得3本,谁得2本呢?
(先分组再分配,或先确定确定得3个球,再逐个分)
8.错位法:
编号为1至n的n个小球放入编号为1到n的n个盒子里,每个盒子放一个小球
要求小球与盒子的编号都不同,这种排列称为错位排列
特别当n=2,3,4,5时的错位数各为1,2,9,44
关于5、6、7个元素的错位排列的计算,可以用剔除法转化为2个、3个、4个元素的错位排列的问题:
三、双基题目练练手
1.(2005湖北文)把一同排6张座位编号为1,2,3,4,5,6的电影票全部分给4个人,每人至少分1张,至多分2张,且这两张票具有连续的编号,那么不同的分法种数是()
A.168B.96C.72D.144
2.(2006北京)在
这五个数字组成的没有重复数字的三位数中,各位数字之和为奇数的共有()
A.36个B.24个C.18个D.6个
3.有两排座位,前排11个座位,后排12个座位,现安排2人就座,规定前排中间的3个座位不能坐,并且这2人不左右相邻,那么不同排法的种数是()
A.234B.346C.350D.363
4.(2005江苏)四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品,有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的,没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的,现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品,那么安全存放的不同方法种数为()
A.96B.48C.24D.0
5.某校准备参加2008年全国高中数学联赛,把10个名额分配给高三年级8个班,每班至少1人,不同的分配方案有_______种.
6.(2006陕西)某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人),其中甲和乙不同去,甲和丙只能同去或同不去,则不同的选派方案共有种
7.(2005春北京)从-1,0,1,2这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)=ax2+bx+c的系数,可组成不同的二次函数共有__________个,其中不同的偶函数共有__________个.(用数字作答)
8.(2005浙江)从集合{O,P,Q,R,S}与{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}中各任取2个元素排成一排(字母和数字均不能重复).每排中字母O,Q和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是_________.(用数字作答).
简答:
1-3.DBBB;
3.
(1)前排一个,后排一个,2C
·
C
=192.
(2)后排坐两个(不相邻),2(10+9+8+…+1)=110.
(3)前排坐两个,2·
(6+5+…+1)+2=44个.
∴总共有192+110+44=346个.
解法二:
考虑中间三个位置不坐,4号座位与8号座位不算相邻.
∴总共有A
+2+2=346个.答案:
B
4.先把标号为1,2,3,4号化工产品分别放入①②③④4个仓库内共有A44=24种放法;
再把标号为5,6,7,8号化工产品对应按要求安全存放:
7放入①,8放入②,5放入③,6放入④;
或者6放入①,7放入②,8放入③,5放入④两种放法.综上所述:
共有A44×
2=48种放法.故选B.
5.用隔板法:
=C
=36.6.600;
7.186;
8.8424.
四、经典例题做一做
【例1】设有编号为1,2,3,4,5的五个球和编号为1,2,3,4,5的五个盒子,现将这五个球放入5个盒子内
(1)只有一个盒子空着,共有多少种投放方法?
(2)没有一个盒子空着,但球的编号与盒子编号不全相同,有多少种投放方法?
(3)每个盒子内投放一球,并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的,有多少种投放方法?
解:
(1)
=1200(种)
(2)
-1=119(种)
(3)不满足的情形:
第一类,恰有一球相同的放法:
×
9=45
第二类,五个球的编号与盒子编号全不同的放法:
先让1号球放,1号球放到哪个盒中就让哪个球放,……
有4×
(2+3×
3)=44(种),∴满足条件的放法数为:
-45-44=31(种)
【例2】某运输公司有3个车队,每个车队有10辆汽车,现从这3个车队中选派6辆汽车执行一项运输任务,每个车队至少1辆共有多少种选派方法?
分析:
这里所谓不同的选派方法,只是每个车队派车数目的不同,是相同元素的分组问题——用“插板法”
解:
把6个派车指标排成一排,是一种排法,有5个空,插2个板,分成3组即可,共有
=10(种)
◆拓展引伸:
方程x+y+z=7有多少组正整数解?
(看成7个相同的元素分给3人)
若求方程x+y+z=7有多少组自然数解呢?
(让3人每人拿出1个元素,如上法分10个元素)
【例3】某学习小组有8名同学,从男生中选2人,女生中选1人参加数学、物理、化学三种竞赛,要求每科均有一人参加,共有180种不同的选法,那么该小组中共有男女同学多少人?
解:
设有男生n人,女生8-n人,则有
即(n-1)n(8-n)=60.
又
60的小于等于7的因数有1、2、3、4、5、6,因为n-1和n相邻,
∴n=5,8-n=3,即男生5人,女生3人,或n=6,8-n=2,即男生6人,女生2人。
◆提炼方法:
1.引进待定的未知数,列方程求解;
2.“先取元素,后排顺序”.一类重要题型和方法。
【例4】一栋7层的楼房备有电梯,现有A,B,C,D,E五人从一楼进电梯上楼,求
(1)有且仅有一人要上7楼,且甲不在2楼下电梯的所有可能情况种数.
(2)在
(1)的条件下,一层只能下1个人,共有多少种情况?
(1)分A上不上7楼两类:
A上7楼,有54种;
A不上7楼,有4×
4×
43种.
共有54+4×
43=1649种.
(2)分2楼下人和不下人两类,每类再分A上不上7楼两种情况.
2楼下人,有
种;
2楼不下人,有
种
∴共有
=504种情况.
◆提炼方法:
题
(1)是计数原理,题
(2)是排列组合,应注意区分.
【研讨.欣赏】
(1)一条长椅上有9个座位,3个人坐,若相邻2人之间至少有2个空椅子,共有几种不同的坐法?
(2)一条长椅上有7个座位,4个人坐,要求3个空位中,恰有2个空位相邻,共有多少种不同的坐法?
(1)先将3人(用×
表示)与4张空椅子(用□表示)排列如图(×
□□×
),这时共占据了7张椅子,还有2张空椅子,一是分开插入,如图中箭头所示(↓×
□↓□×
↓),从4个空当中选2个插入,有C
种插法;
二是2张同时插入,有C
种插法,再考虑3人可交换有A
种方法.
所以,共有A
(C
+C
)=60(种).
下面再看另一种构造方法:
先将3人与2张空椅子排成一排,从5个位置中选出3个位置排人,另2个位置排空椅子,有A
种排法,再将4张空椅子中的每两张插入每两人之间,只有1种插法,所以所求的坐法数为A
=60.
(2)可先让4人坐在4个位置上,有A
种排法,再让2个“元素”(一个是两个作为一个整体的空位,另一个是单独的空位)插入4个人形成的5个“空当”之间,有A
种插法,所以所求的坐法数为A
A
=480.
五.提炼总结以为师
1.对排列、组合的应用题应遵循两个原则:
一是按元素的性质进行分类;
二是按事件发生的过程进行分步.
2.对于有附加条件的排列组合应用题,应掌握以下基本方法与技巧
(1)特殊元素优先安排;
(2)合理分类与准确分步;
(3)先选后排;
(4)相邻问题捆绑处理;
(5)不相邻问题插空处理;
(6)定序问题排除法处理;
(7)分排问题直排处理;
(8)“小集团”排列问题先整体后局部;
(9)构造模型;
(10)正难则反,等价转化.
3.记住一些常题型的特殊解法;
如捆绑法,插空法,排除法,插板法,分组、分配等.
同步练习10.3排列组全的综合应用
【选择题】
1.(2006天津)将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里,使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号,则不同的放球方法有( )
A.10种B.20种C.36种D.52种
2.(2005湖南)4位同学参加某种形式的竞赛,竞赛规则规定:
每位同学必须从甲.乙两道题中任选一题作答,选甲题答对得100分,答错得-100分;
选乙题答对得90分,答错得-90分.若4位同学的总分为0,则这4位同学不同得分情况的种数是( )
A.48 B.36 C.24 D.18
【填空题】
3.某年级有6个班,派3个数学老师任教,每位教师教两个班,不同的任课方法种数有_______种.
4.(2005辽宁)用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数,要求1和2相邻,3与4相邻,5与6相邻,而7与8不相邻,这样的八位数共有个.(用数字作答)
5.(2006辽宁)5名乒乓球队员中,有2名老队员和3名新队员.现从中选出3名队员排成1、2、3号参加团体比赛,则入选的3名队员中至少有一名老队员,且1、2号中至少有1名新队员的排法有_____种.(以数作答)
6.有13名医生,其中女医生6人
现从中抽调5名医生组成医疗小组前往灾区,若医疗小组至少有2名男医生,同时至多有3名女医生,设不同的选派方法种数为P,则下列等式
①
②
;
③
④
其中能成为P的算式有_________种
◆练习简答:
1.A;
2.B;
3.90种;
4.4576;
5.48;
6.组合问题,直接法:
选派5名医生分为2男3女,3男2女,4男1女,5男这四类,故
(2)正确;
间接法:
不考虑限制条件,选派方法有
种,需剔除的有1男4女,5女两类,故(3)正确.因此结论为:
(2)(3)
【解答题】
7.某人用20元购进1元一朵的康乃馨和2元一朵的玫瑰进行推销,康乃馨售价2元,玫瑰售价5元.假设他购入的花能全部售完,为使利润超过25元,有几种不同的进货方式?
解:
设购入x朵康乃馨,调朵玫瑰,(x,y∈N),由已知得
由①②得y≥5;
由①③得y≤10.
∴y=5,6,7,8,9,10.同理25-3y≤x≤20-2y.
当y=5时,x=10;
当y=6时,x=7,8.当y=7时,x=4,5,6;
当y=8时,x=1,2,3,4;
当y=9时,x=0,1,2;
当y=10时,x=0.
综上知,共有1+2+3+4+3+1=14种.
8.袋中有3个红球,4个黄球,每次从中取出一球,直到把3个红球都取出为止,共有多少种不同的取法?
可以是3、4、5、6、7次取出。
3次取出有
种方法;
4次取出时,前3次必有1个黄球2个红球,有
同理,5、6、7次取出有
种、
种;
+
+
=4110种不同的取法。
9.在一块并排10垄的田地中,选择2垄分别种植A,B两种作物,每种作物种植一垄,为有利于作物生长,要求A,B两种作物的间隔不小于6垄,则不同的选垄方法共有多少种?
依题意,A,B两种作物的间隔至少6垄,至多8垄。
分3种情况:
(1)若A、B之间隔6垄,这样的选垄方法有3
(2)若A、B之间隔7垄,这样的选垄方法有2
(3)若A、B之间隔8垄,有
根据分类计数原理可有3
+2
+
=6
=12种不同的选垄方法.
10.某届全国歌手大奖赛上,一个歌手抽取了一道综合素质题,要求根据具体内容(有关内容略),将A,B,C,D,E和1,2,3,4,5用线连起来,如果已知每个字母只能连一个数字.
(1)共会有多少种不同的答案?
(2)若歌手给出的答案只答对两题,共有几种不同的情况?
解
(1)共有
=120种答案
(2)先确定答对了那两个,再确定答错的三个,共有
2=20种.
【探索题】某停车场有连成一排的9个停车位,现有5辆不同型号的车需要停放,按下列要求各有多少种停法?
(1)5辆车停放的位置连在一起;
(2)有且仅有两车连在一起;
(3)为方便车辆进出,要求任何3辆车不能在一起.
解
(1)先将5辆车捆成一个元素有
种,再与其余4个空位看成5个元素排列.由于4个空位互换不改变停车方式,因此应除以
有
=600种.
法2:
将5辆车捆成一个元素,与另4个空位看成5个相同元素排列,有
=600种
(此法也可理解为先选定5个连续的车位有5种,再给5辆车排序有
种)
(2)5辆车中仅有2辆车停在一起,与另2辆车互不相邻,可将5辆车分成2,1,1,1四组,财插入4个空车位的5个空档中.即
=2400种.
(3)要求任何3辆车不能连在一起,可以分成①5辆车均不相邻,②有且仅有两辆车相邻,③有2组2辆车相邻,三种情况.即
=6120种.
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