高数不定积分-讲解和例题-PPT-(1).ppt
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第四章不定积分,1.不定积分的概念与性质,已知物体运动的位置函数s=s(t),求时刻t的瞬时速度v=v(t)。
微分学解决的问题,已知物体运动的速度函数v=v(t)求运动的位置函数s=s(t)。
积分学解决的问题,一般,已知函数f(x),要找另一个函数F(x),使F(x)=f(x)。
积分学的任务,一、原函数与不定积分的概念,定义1:
已知f(x)是一个定义在区间I上的函数,,则称F(x)为f(x)在I上的原函数。
如:
x2是2x的原函数;,dsinx=cosxdx,sinx是cosx的原函数;,s(t)是v(t)的原函数。
如果存在函数F(x),使在I内的任一点都有,有关原函数的几个问题,1.,在什么条件下,f(x)一定存在原函数?
原函数存在定理:
若f(x)在区间I上连续,,则在I上必存在原函数。
2.,如果f(x)有原函数,那么共有几个?
设F(x)为f(x)的原函数,则,f(x)如有原函数,就有无穷多个。
F(x)+C包含了f(x)的所有原函数。
3.,如果f(x)有一个原函数F(x),那么F(x)+C是否包含了f(x)的,所有原函数?
定义2:
函数f(x)的全体原函数就称为,f(x)的不定积分。
记作,其中,积分号,f(x),被积函数,f(x)dx,被积表达式,x,积分变量,例:
若F(x)为f(x)的一个原函数,则,不定积分的几何意义:
f(x)的一个原函数F(x)的图形称为f(x)的一条积分曲线,,方程为y=F(x).,就表示了一族积分曲线y=F(x)+C.,它们相互平行,即在横坐标相同的点处有相同的切线斜率。
x,先积分后微分的作用相互抵消。
由不定积分的定义,,则有,又,或,先微分后积分的作用抵消后加任意常数C。
例:
求通过点(1,2),且其上任一点处的切线斜率等于该点横坐标6倍的一条曲线。
解:
设所求曲线方程为y=f(x).,由题意,曲线上点(x,y)的切线斜率,为一簇积分曲线。
二、基本积分表,注意:
依基本导数公式与不定积分的定义,,即可得基本积分公式:
请同学们参见教材第186页15个公式。
例题讨论,求下列不定积分:
例1.,例2.,三、不定积分的性质,性质2.,被积函数中不为零的常数因子可提到积分号外。
利用基本积分表和不定积分性质,可计算一些简单函数的不定积分。
注意3点:
1、在分项积分后,对每个不定积分的任意常数不必一一写出。
可在积分号全部不出现后简写为一个常数。
2、检验积分结果是否正确,只要将其结果求导,看它的导数是否等于被积函数即可。
3、由于微分形式不变性,积分表中的每个公式中的x可用其它变量u替代,公式仍正确。
技巧:
先将被积函数变形,化为表中所列的类型,然后再积分。
例3.,例4.,掌握被积函数的恒等变形。
例5.,同理,,例6.,例7.,例8.,例9.,(假分式,=多项式+真分式),从理论上来讲,只需把积分结果求导,就可检验积分是否正确。
但由于函数变形及原函数间可相差一个常数等因素,一般不检验。
所以注重积分过程的正确性是至关重要的。
即每一步运算都要看能否还原到上一步。
课外作业,习41(A),1(双),习41(B),1(5,6,7,11),2,一、第一类换元法,(凑微分法),1.,凑常数,例1:
2,(2x=u),2.换元积分法,例2:
例3:
(+1),(x+1=u),例4:
(/a),a,(-1),同理:
例5:
同理:
例6:
2.,凑函数(变量),定理1.,设F(u)是f(u)的一个原函数,且,原函数,且有换元公式:
u=(x)可导,证明:
换元公式:
(x)=u,前例:
(u=sinx),例1:
例2:
题目做得熟练后,中间变量u可以不写出来。
例3:
同理:
例4:
(secx+tanx),(secx+tanx),同理:
例5:
或,例6:
2,例7:
例8:
例9:
一般:
例10:
例11:
一般:
例12:
例13:
课外作业,习42(A),3(4,5,6,13,16,17),习42(B),2(4,7,8),二、第二类换元法,(变量代换法),定理2.,设x=(t)是单调的可导函数,,换元公式:
令x=(t),,1.三角代换,例1:
分析:
目的:
消去根式。
利用三角恒等式:
若令x=asint,被积函数,例1:
解:
令x=asint,dx=acostdt,t,x,a,例2:
分析:
若令x=atant,解:
令x=atant,dx=asec2tdt.,t,x,a,也可令x=asht(t0),解:
令x=asht,,dx=achtdt,例3:
分析:
若令x=asect,解:
令x=asect,dx=asecttantdt,t,x,a,或令x=acht(t0),如:
小结:
当被积函数含有因子:
目的:
去根号。
例题讨论,例1:
解:
t,x,例2:
解:
令x=tant,dx=sec2tdt.,x,1,t,2.根式代换,例1:
分析:
目的:
化分数幂为整数幂。
(去根号),解:
-1+1,回代,例2:
解:
例3:
令x=sect,dx=asecttantdt,解二:
解一:
3.倒代换,对形如:
前例3:
例4:
解二:
解一:
熟记!
教材第203页积分公式:
(16)(24),另外补充一个积分公式:
杂例,例1:
例2:
例3:
例4:
例5:
例6:
例7:
例8:
例9:
例10:
例10:
另解:
例11:
例12:
课外作业,习42(A),3(21,23),习42(B),2(12,18,19,21,27,30,31,34,35,36),3,
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