二元二次方程组专项解析练习优质文档.docx
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二元二次方程组专项解析练习优质文档
二元二次方程组专项解析训练
【例题精选】
例1解方程组
解:
由,得——————,xy,,3
22把,代入,,得,()()yyy,,,,,34321
2整理得yy,,,120
(?
,,yy34,12
把代入,,得y,,3x,,6;1
x,1把y,4代入,,得(2
x,,6,x,1,,,?
原方程组的解为,,y,,3;y,4.,,
小结:
由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组,一般可用代入消元法解,当求出一个未知数的值后,一定要代入到二元一次方程中去求另一个未知数的值(
例2解方程组
——————,解法一由,得yx,,26
22将,代入,,得xxxx,,,,,5266260()()
218,1538720xx,,,即,x,2,4x,,,15?
原方程组的解为,,y,2,6181,,y,.xx,,4,解得112,5,5
解法二由,得
()()xyxy,,,230x,4y,2,把代入,得11xyxy,,,,2030或
186xy,.把,代入,得2255原方程组可化为两个二元一次方程
组:
26xy,,,26xy,,,,,,,xy,,20,xy,,30.,,
18,x,,2,4x,,,15?
原方程组的解为,,y,2,61,,y,.1,5,
例3解方程组
113,x解法一由,得,y,2
24113(),113,113,xxxx,,2把,代入,,得x,,4,,x2?
,20.,,,,222
2421270xx,,,.整理得
9?
,xx3,.124
把x,3代入,,得y,1,11
917把x代入,,得y,.,2284
9,x,,2,3,x,,,14?
原方程组的解为,,y,1;171,,y,.2,8,
解法二方程,可化为
2()(),xyxy,,,,,2220
即()(),xyxy,,,,,22210
?
,,,,,xyxy220210,.
于是原方程组可化为
xy,,,220,xy,,,210,,,和,,32110xy,,,;32110xy,,,.,,
9,x,,2,x,3,,,14分别解得,,y,1;171,,y,.2,8,
例4解方程组
解析:
此题可用代入法解,对于这个方程组,也可以根据一元二次方程的根与系数的关系,把xy,xy,看作一个一元二次方程的两个根,通过解这个一元二次方程来求(
2zz,,,7120xy,解:
设原方程组的是一元二次方程的两个根,解这个方程,得
zz,,34,.或
x,3,x,4,,,12所以原方程组的解是,,y,4;y,3.12,,2小结:
(1)设原方程组的的两个根,所设的一xyzz、是一元二次方程,,,7120元二次方程的未知数(这里是这样才能避免字母的混乱;zmnxy,也可以是…应异于,,),,
x,3,,1
(2)当解出一元二次方程的解得出原方程组的解zz,,34,后,12,y,4,1,
x,4,,2这是两个对称解,解这类题时,注意别丢掉一组解(,y,3.2,
例5解方程组
解析:
先将分式方程组化为整式方程组
解:
由,得,,65100xxyy,,,,
由,得,,2360xy,,,
解由,、,组成的二元二次方程组
36y,由,得x,,2
236yyy,36,6?
,,,,5100y将,代入,22
14解得yy,,,4,.123
将y,4代入,,x,311
14y,,x,,10将代入,,223
x,,10,,2x,3,,,1经检验原方程组的解为;.14,,y,4.y,,1,2,3,
例6解方程组
解析:
首先要将第,个方程化为有理方程(
解:
由,得xy,,,20,
2xxyxy,,,,,250由,得,
xy,,,20,于是原方程组变为,2xxyxy,,,,,250,
x,3,解这个方程组,得,y,5.,
x,3,经检验,原方程组的解为,y,5.,
小结:
方程组中含有分式方程或无理方程,要注意验根(
例7甲、乙两辆汽车在A、B两地间相向而行,甲车比乙车每小时快10千米,若甲车比乙车晚出发40分钟,两车在两地中点处相遇;若两车同时出发,经过3小时两车相遇后又相距25.2千米,求乙车速度及两地距离(
解析:
甲车速度=乙车速度+10;甲走AB距离的一半所用时间比乙走AB距离一半
2所用的时间少40分钟,即甲走AB一半所用的时间乙走AB一半所用的时间,利,,3
用这一关系可列一个方程(
另外根据题目中:
甲、乙两车同时相向出发3小时,则两车相遇后又相距25.2千米,可得:
3×(甲速+乙速)=AB距离+25.2(
解:
设乙车速度为x千米/小时,两地距离为y千米,依题意得:
由,得,yx,,648.
2由,得,220150xxy,,,
2xx,,,35360把,代入,得
解这个方程得xx,,,361,.12
把x,36代入,得y,2208.11
把x,,1代入,得y,,12.22
?
经检验方程组的解为
36,1,x,x,,,,12,,y,2208.;y,,12..12,,
x,,1,,2但不合题意,舍去(,y,,12..2,
答:
乙的速度为36千米/小时,AB两地间的距离为220.8千米(
22,xyxy,,,,01(),例8解方程组,22,xyxy,,,,2312(),
解析:
在这个方程组里,因为方程
(1)的右边是零,而左边又可以分解为()(),xyxy,,,1所以方程
(1)可以化为两个一次方程,从而原方程组可以转化成两个第一种类型的二元二次方程组(
解:
由
(1)得()()xyxy,,,,10
所以xyxy,,,,,010,或
因此,原方程组可以化为两个方程组
xy,,0,xy,,,10,,,,,2222xyxy,,,,231,xyxy,,,,231,,,
解这个两个方程组,得原方程组的解为
,,,533,,5333,x,x,x,,,,,123,x,1,,,,,4424,,,,1y,,2.,,533,,5334,,,,y,;y,;;y,312,,,2,44,,
22,xxyy,,,201(),例9解方程组,22,xxyyxy,,,,,,2202(),
解法一由()得120()(),xyxy,,,
?
,,,xyxy020,.
原方程组可化为
xy,,0,xy,,20,,,,,2222xxyyxy,,,,,,220;xxyyxy,,,,,,220.,,
1,x,,,2,x,1,x,4,x,,2,,,,,1234解这两个方程组,得原方程组的解为,,,,y,1;1y,,2;y,1.134,,,,y,,;2,2,
解法二由()得120()(),xyxy,,,
?
,,,xyxy020,.
由()得2210()(),xyxy,,,,,
?
,,,,,,xyxy2010,.
?
原方程组可化为
xy,,0,xy,,0,xy,,20,xy,,20,,,,,
,,,xy,,,20;xy,,,10;xy,,,20;xy,,,10.,,,,
解得原方程组的解为
1,x,,,2,x,1,x,4,x,,2,,,,,1234,,,,y,1;1y,,2;y,1.134,,,,y,,;2,2,
以下例10——例13为补充的类型(
2,xxy,,3281,(),例10解方程组,2,272xyy,,.(),
解析:
这个方程组的两个方程都不含未知数的一次项,消去常数项后就可得到形如
22的方程,解由这个方程与原方程组的任何一个方程组成的方程组,就axbxycy,,,0
可以求得原方程组的解(
解:
(1),
(2)×4,得
22xxyy,,,540,
()().xyxy,,,40
?
,,,xyxy040,.或
因此,原方程组可化为两个方程组
xy,,0,xy,,40,,,,,2227xyy,,,27xyy,,.,,
解这两个方程组,得原方程组的解为
,x,,4,x,7,x,,7,x,4,,,,,4123,,,,y,1;y,,1。
,y,7;y,,7;3,4,12,,
22,xy,,51,()例11解方程组,xy,22.(),
解析:
这个方程组可以象例10那样消去常数项,但根据方程组的特点,也可以把方
)×2,得到一个新方程,它的左边是一个完全平方式,右边是常程
(1)加上方程(2
数,通过两边开平方,就可以得到两个一次方程;同样,把方程
(1)减去方程
(2)×2,也可以由此得到两个一次方程,这两对一次方程一共可以组成四个二元一次方程组,解这四个二元一次方程组,就可以得到原方程组的所有的解(
2解:
(1)+
(2)×2,得(),xy,,9
?
,,,xy33.()
2()()(),1221,,,,,得xy
?
,,xy14()
由(3)、(4),原方程组可化为四个方程组
xy,,3,xy,,3,xy,,,3,xy,,,3,,,,,,,,,xy,,1,xy,,,1,xy,,1,xy,,,1.,,,,
解这四个方程组,得原方程组的解为
x,2,x,1,x,,1,x,,2,,,,,1234,,,,y,1;y,2;y,,2;y,,1.1234,,,,
22,xyy,,,211(),例12解方程组,22,2462xyx,,,(),
1,2,,即,解析:
这个方程组的两个方程的二次项系数对应成比例,把方程
(2),,,,2,4减去方程
(1)×2,就可得到一个一次方程(解由这个一次方程和原方程组的任何一个方程组成的方程组,就可以求得原方程组的解(
xy,,24,解:
(2),
(1)×2得
xy,,423()
把(3)代入
(1)并整理,得
2217150yy,,,.
解这个方程,得
15yy,,1,.122
把yx,,132代入(),得;11
15把yx,,,代入()得311,.222
所以原方程组的解为
x,,11,,2x,2,,,115,,y,1;y,.1,2,2,
22,39262101xxyyxy,,,,,,(),例13解方程组,22,xxyyxy,,,,,,323302(),
3,9,6,,解析:
在这个方程组的两个方程中,含x的项的系数对应成比例即,,,用,,,,1,3,2
加减法可以得到一个只含未知数的方程(解这个方程求出,再代入原方程组的任何yy一个方程,就可求得x(
2解:
(2)×3,
(1),得yy,,,680
解这个方程,得yy,,24,或.
原方程组可化为两个方程组
y,2,,
22xxyyxy,,,,,,32330.,y,4,,
22xxyyxy,,,,,,32330.,
解这两个方程组,得原方程组的解为
,,,x,,415,x,,415,x,,742,x,,742,1234,,,,y,2;y,2;y,4;y,4;1234,,,,
2,xy,,25,m例14方程组有一个实数解,求的值,并解方程组(,6xym,,.,
解析:
方程组有一个实数解,就是通过消元得到的那个一元二次方程有两个相同的
实数根(
2,xy,,251,()解:
62xym,,.(),
2xxm,,,,62503,()由()得代入()整理得261yxm,,,2令,,,,,,64250()m
解出m,,34.
?
,当时,方程()有两个相同的解。
m343
x,,3,,xx,,,3,原方程组有一个实数解,12y,16.,
2例15已知一元二次方程有两个不等实根,且两根互为倒数;如axbxca,,,,00()
yx,,果方程组有两组相同的实数解(,2yaxbxc,,,,
1
(1)试用关于
(2)如果求方程组的解(ab的代数式表示;a,,4
2解:
(1)?
方程两根互为倒数,axbxc,,,0
c?
,1,即ac.a
2整理方程组得:
axbxc,,,,().10
?
方程组有两组相同实数解,
2?
,,,,(),bac140
22?
,,,,,(),,.bababa141212得12
2
(2)?
方程有两个不等实根axbxc,,,0
22?
,,,ba40
22若则baaaa,,,,,,,1212414,().,1
1?
aa,?
,,,,1404
2把代入方程组并整理得:
baaxaxa,,,,,1220.
?
axxyy,?
,,,,,011,,.1212
若则baa,,,,1214,,2
1?
aa,?
,,1404
?
,0与条件不合,舍去
x,,1,x,,1,,,12?
方程组的解是,,y,,1;,,1y.1,,2
【专项训练】
一、选择题:
(单选题)
1、二元二次方程组的实数解的个数是()
A(最多有两组,最少有一组(B(最多有四组,最少有一组(
C(最多有四组,也可能无解(D(最多有两组,也可能无解(
2,25320xxyxy,,,,,2、解方程组的较好方法应当是先(),2,52780xyxxy,,,,,
A(消去一个未知数B(消去二次项
C(将一个方程分解因式D(消去常数项
22,xxyy,,,560,3、解方程组的较好方法应当是(),22,xxyy,,,7,
A(消去二次项B(消去一个未知数
C(将一个方程分解因式D(消去一次项
2,xxy,,,,621101()4、解方程组的较好的方法应当是(),2102xy,,,(),
A(由消去B(由
(2)得到代入中y,,,221()()yx,,21()1
y,1C(由
(2)得到代入中D(不同于以上方法x,()12
xya,,,5、方程组的解是(),22xyb,,,
a,0A(有唯一一组解B(当时,方程组无解;时,有一组解(a,0
a,0a,0b,0C(当,,方程组无解;当,时,方程组有无穷多组解,当b,0
,有唯一一组解(D(不同于以上答案(a,0
二、解下列方程组
2221xy,,,,xxyyxy,,,,,,442201、2、,,221010xyx,,,,32110xy,,,,,
22xy,,18,,xxyy,,,29,,3、4、,,2xy,,,,323,,()()xyxy,,,,,320,,
xy,9,
xy,5、,,2,xy,,
三、解答题
2,xy,,251、关于x、y的方程组有一个实数解,求m的值,并解方程组(,6xym,,,
2、A、B两人共同完成一项工程需用4天,甲单独作3天后由乙接作,乙仍需要的天数恰好等于甲单独作全部工程所需天数,试求甲、乙单独作时完成全部工程所需天数(
【答案】
一、1、C2、B3、C4、A5、C
9,1x,,2,x,3x,0x,,,,,,1412二、12、,,2,,,,y,117y,,11,1,,,y,,2y,2,2,8,
51,,xx,,,13,,xx,2,,1,,,,24223、,,,,,,,yy1,15,,224,,,,yy,,,13,,22,,
x,19x,9,,4、5、,,y,,1y,1,,
x,,3,三、1、m,,34,,y,16,
2、甲独作需6天,乙独作需12天(
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