工程力学第四章轴向拉伸与压缩重点.docx
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工程力学第四章轴向拉伸与压缩重点
课时授课计划
授课日期2011.10.22
班别1044-3
题目第四章轴向拉伸与压缩
目会应用截面法求指定截面的轴力
的能较熟练的分析拉(压)杆件的内力,绘制相应的轴力图。
要掌握拉(压)变形的应力及强度的计算。
求
重
截面法求轴力、绘制轴力图、强度计算
点
难
截面法、强度计算
点
教具课本教学方法课堂教学
第四章轴向拉伸与压缩
第一节轴向拉(压)杆的内力与轴力图
第二节轴向拉(压)杆横截面上的正应力
报第三节轴向拉(压)杆的强度计算
第四节轴向拉(压)杆的变形计算
第五节材料在拉伸和压缩时的力学性能
书
设
计
第1页共17页
教学过程:
复习:
1、复习平面一般力系的平衡条件及平衡方程。
2、复习平面平行力系的平衡方程。
新课:
第四章轴向拉伸与压缩
第一节轴向拉(压)杆的内力与轴力图
一、用截面法求轴向拉(压)杆的内力
1、内力
外力:
作用在杆件上的载荷和约束反力统称为“外力”。
内力的概念:
构件的材料是有许多质点组成的。
构件不受外力作用时,材料内部质点之
间保持一定的相互作用力,使构件具有固体形状。
当构件受外力作用产生变形
时,其内部质点之间相互位置改变,原有内力也发生变化。
这种由外力作用而
引起的受力构件内部质点之间相互作用力的改变量成为附加内力,简称内力。
实践证明,对于特定的材料,内力的增加有一定的限度,超过了这个限度,杆件就会被拉断而破坏。
2、截面法
1)截面法
如左图所示的构件,在杆端沿杆的轴线作用着大小相等、方向相反的两个力F,杆件处于平衡状态,求m
—m断面上的内力。
(1)为显示内力,用一假想截面将构件在m—m断面处切开,将构件分为A段和B段。
任意保留一段(如
A段)为研究对象,弃去另一段(如B段)。
(2)在保留段A的m—m截面
上,各处作用着内力,设这些内力的合力为
的作用力。
轴向拉伸的内力计算
N,它是弃去部分B对保留部分A
(3)由于整个杆件原来处于平衡状态,所以截开后的任意一部分仍应保
第2页共17页
持平衡,故可对保留部分
A建立平衡方程。
Fx0
,
N
F
0
故
N
F
(a)
N即是截面m—m上的内力。
由作用和反作用公理可知,若保留B段研究,也可得出同样的结果。
式(a)称为内力方程,它反映了截面上的内力N与该截面一侧外力间的关系。
上述利用假想截面将杆件切开,以显示并计算内力的方法,称为截面法。
在其他基本变形中,内力也都用此方法求得。
2)截面法求内力的步骤可归纳为:
(1)截开:
在欲求内力截面处,用一假想截面将构件一分为二。
(2)代替:
弃去任一部分,并将弃去部分对保留部分的作用以相应内力代替
(即显示内力)。
然后画出作用于留下部分的受力图。
(3)平衡:
根据保留部分的平衡条件(N=F),确定截面内力的大小和方向。
轴若取右侧为研究对象,则在截开面上的轴力与部分左侧上的轴力数值相
等而指向相反。
注意:
杆件受到的外力多于两个的情况下,需要先根据外力的作用点将杆件进行分段后再计算轴力。
3、轴力
受轴向拉压杆件,由于外力的作用与杆件的轴线重合,根据连续性假设由
此而产生的内力也是连续分布在截面上的,分布内力的合力的作用线也必然与
杆的轴线重合,这种内力也称为轴力。
常用字母N表示。
通常规定拉伸时轴力取正号(即轴力的箭头背离截面),压缩时轴力取负
号(即轴力的箭头指向截面)。
计算轴力时可设轴力为正,这样求出的轴力正
负号与变形保持一致。
二、轴力图
档杆件同时受到多个轴向外力作用时,杆件内不同的横截面处有不同的轴力。
为了清楚地表明杆内轴力随截面位置的改变而变化的情况,引用轴力图。
轴力图的绘制方法:
用平行于杆轴线的坐标轴x表示杆件横截面的位置,
以垂直于杆轴线的坐标轴FN表示相应截面上的轴力的大小,正的轴力画在x轴上方,负的轴力画在x轴下方。
这种表示轴力沿杆件轴线变化的规律的图形,称为轴力图。
在轴力图上,除应标明轴力的大小、单位外,还应标明轴力的
第3页共17页
正负号。
绘制轴力图的注意事项:
1)轴力图的横坐标要与杆件长度相对应;
2)轴力图的纵坐标大小要成比例;
3)轴力图的纵坐标要标明数值大小及正负;
4)轴力图是一条连续的图线,不能间断,在集中力作用处,轴力图有突变,突变的大小等于集中力的大小;
5)在轴力图上要画出阴影线。
轴力图的意义
①直观反映轴力与截面位置变化关系;
②确定出最大轴力的数值及其所在位置,即确定危险截面位置,为强度计算提供依据。
例题
第4页共17页
第二节轴向拉(压)杆横截面上的正应力
一、应力概念
两根材料相同而粗细不同的杆件,承受着相同的轴向拉力,两杆的内力大小是相同的。
但是随着拉力的增加,细杆将首先被拉断,这说明只知道内力大小还不能判断杆件是否会因强度不足而破坏,还必须知道内力在横截面上分布的密集程度(集度)。
细杆被拉断,是因为内力在较小面积上分布密集度大。
应力:
内力在单位面积上的分布集度。
它反应了内力在横截面上分布的密集程度。
通常应力与截面既不垂直也不相切,将它分解成垂直于截面的分量和相切于截面的分量,垂直于截面的应力分量称为正应力或法向应力,用ζ表示;相切于截面的应力分量称为剪应力或切向应力,用η表示。
应力的单位是:
Pa(帕斯卡)、kPa(千帕)、MPa(兆帕)、GPa(吉帕)
23
1Pa=1N/m、1kPa=10Pa、1MPa=1N/mm2=106Pa、1GPa=109Pa
2
工程上常用MPa作为应力的单位,1MPa=1N/mm。
二、轴向拉(压)杆横截面上的正应力
平面假设:
杆件变形前横截面为平面,变形后横截面仍然保持为平面且垂直于杆轴线,只是沿杆轴线方向作了平行移动。
轴向拉伸与压缩时,横截面上各处产生正应力,且均匀分布。
设杆件横截面面积为A,截面上的轴力为FN,则轴向拉伸与压缩时等直杆横截面上的正应力ζ的计算公式:
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σ=FN/A
的符号与轴力FN的符号相同:
当轴力为正号时(拉伸),正应力也为正号,称为拉应力;
当轴力为负号时(压缩),正应力也为负号,称为压应力。
σ=FN/A的适用条件:
只适用于轴向拉伸与压缩杆件。
结论:
轴向拉压杆横截面上的正应力除与荷载有关外,还和横截面的面积有关,而与杆件的材料无关。
可以用应力作为判断杆件强度高低的标准。
第三节轴向拉(压)杆的强度计算
一、许用应力与安全系数
在工程实际中,若要使杆件能够安全、正常地工作,杆件必须具有一定的强度,即杆件必须具有足够的抵抗破坏的能力。
当塑性材料达到屈服极限时,有较大的塑性变形;当脆性材料达到强度极限时,会引起断裂。
构件工作时,这两种情况是不允许发生的。
我们把构件发生显著变形或断裂时的最大应力,称为极限应力,用o表示。
对塑性材料以屈服极限为极限应力:
对脆性材料以强度极限为极限应力:
公式σ=FN/A为轴向拉压杆在载荷作用下的实际应力,称为工作应力。
为了保证构件安全、正常工作,仅把工作应力限制在极限应力以内是不够的。
因实际构件的工作条件受许多外界因素及材料本身性质的影响,故必须把工作应力限制在更小的范围,以保证有必要的强度储备。
为保证杆件能够安全正常工作,工程中规定了材料容许使用的最大正应力值,称为许用应力,用[]表示。
式中:
[]——材料的许用应力;
o
0
K——安全系数,K>1。
确定安全系数K时,主要考虑的因素有:
材料质量的均匀性,荷载估计[]的准确性,计算方法的正确性,构件在结构中的重要性及工作条件等。
一般构件在常温、静载条件下:
塑性材料:
Ks=1.5~2.5
脆性材料:
Kb=2~3.5
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许用应力[]是强度计算中的重要指标,其值取决于极限应力o及安全系
数K。
塑性材料:
为材料的名义屈服极限。
[]
s或[]
0.2
Ks
K
脆性材料:
安全系数的选取和许用应力的确定,关系到构件的安全与经济两方面。
二、轴向拉(压)杆的正应力强度条件0.
[]
b
K
拉压杆的强度条件:
杆件的最大工作应力不能超过材料的许用应力。
即
式中:
——横截面上的最大工作应力;
——产生最大工作应力界面的轴力,这个截面称为危险截面;
A——危险截面的横截面积;
[σ]——材料的许用应力。
对于等直杆,轴力最大的截面为危险截面;对于变截面直杆,若轴力不变,横截面积最小的截面为危险截面;若杆件为变截面杆,且轴力也是变化的,FN
[FN/A]max所在的截面为危险截面。
三、强度条件的应用
1、三类强度问题
(1)强度校核
若已知杆件所受载荷(可求出轴力FN)、截面尺寸(可求出面积A)及材
料的许用应力[],用强度条件可判断杆件是否满足强度要求,及是否满足
第7页共17页
FNmax
[
max
A
的要求,若不满足应重行进行截面设计。
(2)设计截面尺寸
若已知构件所受荷载(FN)、材料的许用应力[],确定横截面积A,有强度条件得
该式求出的是截面的最小面积。
(3)确定许可载荷
已知构建的横截面积(A)、材料的许用应力[],则构建所能承受的最大轴力为
FNmax
[
该式求出的FN的最小值。
根据
max
[P]。
FN与外载荷P之间的关系就可以求出
A
结合书P83-84例3-5、例3-6对强度计算进行详细讲解。
2、例题
例1:
一直径d=14mm的圆杆,许用应力[ζ]=170MPa,受轴向拉力P=2.5kN
作用,试校核此杆是否满足强度条件。
解:
Nmax
2.5
10
3
max
A
162MPa<[]
142
106
4
满足强度条件。
例2:
刚性杆ACB有圆杆CD悬挂在C点,B端作用集中力F=25kN,已知CD杆的直径d=20mm,许用应力[]=160MPa,试校核CD杆的强度,并求:
(1)结构的许可荷载[F];
(2)若F=50kN,设计CD杆的直径.
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D
AC
F
B
2aa
解:
D
(1)求CD杆的内力
F
3F
MA
0FNCD
C
2
A
B
FNCD
3F/2
119MPa
a
A
d2/4
2a
[]
(2)结构的许可荷载[F]
FRAy
FNCD
F
由
CD
FNCD
[
]
FRAx
A
C
B
A
3F
得FNCD[]A
2
[F]=33.5kN
由
FNCD
[
]
CD
A
3F/2
得
FNCD
A
[
]
[]
FRAy
FNCD
F
d2
3F/2
4
[]
FRAx
d=24.4mm
取d=25mm
A
C
B
第四节轴向拉(压)杆的变形计算
一、弹性变形和塑性变形
弹性:
当载荷不超过某一定范围时,大多数材料在去除载荷后能即刻恢复它的原有形状和尺寸。
弹性变形:
在去除载荷后能够消失的变形。
塑性:
当载荷超过某一定范围时,在去除载荷后,变形只能部分地恢复,而残留下一部分变形不能消失。
塑性变形:
不能恢复而残留下来的变形。
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二、胡克定律
杆件受轴向力作用时,沿杆件轴线方向会伸长或缩短,同时杆件的横向尺寸将缩小或增大。
我们把杆件沿轴线方向伸长或缩短称为纵向变形;横截面方向尺寸的改变量称为横向变形。
FF
l
l1
杆件在拉伸或压缩时长度发生改变,其改变量称为绝对变形,用L表示。
设杆件变形前的长度为L,变形后的长度为L1,则其绝对变形
LL1L
显然,拉伸时绝对变形为正,压缩时绝对变形为负。
单位:
m(米)或mm(毫米)。
实验证明,材料在弹性范围内发生变形时,L与外力FP和杆长L成正比,与横截面积成A反比。
即
L
FPL
A
引入比例系数E,且FP=N,则上式可写作
LFNLEA
式中:
E——材料的拉(压)弹性模量,它与材料的性质有关,是衡量材料抵抗变形的一个指标,单位是Pa或GPa。
该式所表达的关系称作拉压胡克定律。
EA称为抗拉(压)刚度,它反映
了杆件抵抗拉(压)变形的能力。
对于长度相同、受力相同的杆件,EA越大,纵向变形L就越小;EA越小,纵向变形L就越大。
绝对变形与杆件的长度有关,为去掉杆件原长对变形的影响,常用单位长
度的变形量来表示杆件的变形程度,称之为纵向线应变(或线应变),用表
示
第10页共17页
LL
为无量纲的量,其正负号取决于绝对变形:
拉伸时为正值;压缩时为
负值。
上式是胡克定律的另一种表示方法,
L
1
FN
其意义为:
在弹性范围内,正应力和正应
变成正比。
L
E
虎克定律的适用范围:
1)杆件的应力必须在弹性范围内;
2)应用公式时,在杆长
L
F
N
L内,杆件轴力
N、,材料的弹性模量E及截面面积A
都应是常数。
L
A
第五节材料在拉伸和压缩时的力学性能E
力学性能:
材料在外力作用下,在受力和变形方面所表现出来的各种力学性能。
不同的材料具有不同的力学性能。
材料的力学性能可通过实验得到。
——常温静载下的拉伸压缩试验
常温静载实验:
通过材料在室温、静载的条件下进行的拉伸、压缩试验测定出来的。
一、材料在拉伸时的力学性能
标距:
试件中间部分是一段等直杆用来测量变形,其间的长度成为标距。
常用的标准试件有圆截面和矩形截面两种。
圆截面试件标距l和截面直径d的比例关系有两种:
l=10d或l=5d。
矩形截面试件标距l和截面面积A的比例关系有两种:
1、低碳钢的拉伸试验
1)拉伸图和应力—应变图
第11页共17页
表示F和l关系的曲线,称为拉伸图。
拉伸图与试样的尺寸有关。
为了消除试样尺寸的影响,把拉力F除以试样的原始面积A,得正应力;同时把l除以标距的原始长度l,得到应变。
F
e
d
c
b
a
f
Od′g
f′h
l
l0
表示应力和应变关系的曲线,称为应力-应变图。
e
c
b
a
f
eb
ps
O
fh
′
2)拉伸过程的四个阶段
(1)弹性阶段(oab)
这一阶段可分为:
斜直线Oa和微弯曲线ab,该段范围内,试件变形是弹性的,卸载后变形可完全恢复。
Oa段:
变形是线弹性的,应力与应变成正比。
直线oa为线弹性区,其应力与应变之比称材料的弹性模量(杨氏模量)E,几何意义为应力--应变曲线上直线段的斜率,即E=ζ/ε=tgα,它是反映材料弹性性能的指标,单位为MPa、GPa。
第12页共17页
oa段地最高点a点所对应的应力σp称为比例极限,它是材料满足虎克定律的最大应力。
:
在比例极限内,正应力与正应变成正比关系。
B点所对的应力σe是材料发生弹性变形的最高应力,称为弹性极限。
(2)屈服阶段(bc)
当应力超过b点后,试样的荷载基本不变而变形却急剧增加,这种现象称为屈服。
屈服:
应力基本不变,而应变显著增加的现象。
在此阶段,材料暂时失去抵抗变形的能力。
E
s—屈服极限:
屈服段内最低的应力值。
表面磨光的试件(低碳钢),屈服时可在试件表面看见与轴线大致成45°倾角的条纹。
这是由于材料内部晶格之间相对滑移而形成的,称为滑移线。
因为在45°的斜截面上剪应力最大。
(3)强化阶段(ce)
过屈服阶段后,材料又恢复了抵抗变形的能力,要使它继续变形必须增加拉力.这种现象称为材料的强化。
强化阶段的变形绝大部分是塑性变形。
强化阶段的最高点e所对应的应力是材料能承受的最高应力σb,称为强度极限(拉伸过程中最高的应力值)。
它是衡量材料强度的另一重要指标。
(4)颈缩断裂阶段(ef)
过e点后,试样在某一段内的横截面面积显箸地收缩,出现颈缩现象,一直到试样被拉断。
在此阶段内试件的某一横截面发生明显的变形,至到试件断裂。
比例极限σp、屈服极限σs、强度极限σb,其中σs和σb是衡量材料强度的重要指标。
3)延伸率和截面收缩率
(1)伸长率
试样拉断后,弹性变形消失,塑性变形保留,试样的长度由l变为l1,这个变化率称为延伸率,用表示。
l1l100%
l
5%的材料为塑性材料如低碳钢,它的延伸率高达20%~30%是很好的塑性材料;5%的材料为脆性材料,如铸铁、玻璃、混凝土等。
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(2)截面收缩率
试件拉断处横截面积由原来的A变为A1,这个变化率称为截面收缩率,用表示。
AA1
A
低碳钢的截面收缩率一般为60%~70%。
4)冷作硬化
100%
冷作硬化:
常温下把材料予拉到塑性变形阶段,然后卸载,再次加载时,材料的线弹性范围将增大,使材料屈服极限提高,而塑性降低。
工程上常利用冷作硬化来提高材料屈服极限,从而提高承载能力,如冷拉钢筋、冷拔丝刚等。
2、其他材料拉伸时的力学性能
(1)其他塑性材料拉伸时的力学性能
所有材料的拉伸变形都分为四个阶段。
各类碳素钢中,随着含碳量的增加,屈服极限和强度极限逐渐上升,伸长率逐渐下降。
工程上以这些材料产生ε=0.2%的塑性变形时所对应的应力作为屈服极限,称为名义屈服极限。
对于没有明显屈服阶段的材料用名义屈服应力表示-σ0.2。
0.2
o
(2)铸铁拉伸时的力学性能
图中没有明显的直线部分,且拉力很小时铸铁就被拉断。
断裂时的应力就是强度极限ζb,ζb是衡量脆性材料强度的唯一指标。
通常把产生0.1%的应变所对应的应力范围作为弹性范围,并认为材料在这个范围内近似的服从虎克定律。
它的弹性模量使用割线代替应力—应变曲线,以割线的斜率tgα为的近似值,称为割线弹性模量。
第14页共17页
Etan割线斜率
/MPa
b
α
O
/%
铸铁的弹性模量E约为115~160GPa。
二、材料在压缩时的力学性能
1、低碳钢的压缩试验
压缩的实验结果表明:
低碳钢压缩时的弹性模量E屈服极限s都与拉伸时大致相同。
屈服阶段后,试样越压越扁,横截面面积不断增大,抗压面积增大,抗压能力曾强,试样不可能被压断,因此得不到压缩时的强度极限。
s
O
2、铸铁的压缩试验
铸铁压缩时破坏端面与横截面大致成45°~55°倾角,表明这类试样主
要因剪切而破坏,铸铁的抗压强度极限是抗拉强度极限的4~5倍。
第15页共17页
b
O
/%
三、两类材料力学性能的比较
(1)强度方面
塑性材料在拉伸和压缩时的弹性极限和屈服极限基本相同,对受拉和受压构件都适用。
脆性材料的压缩强度极限远比拉伸时大,一般只适用于受压构件。
(2)变形方面
塑性材料的延伸率δ和断面收缩率ψ都比较大,构件破坏前有较大塑性变形;材料可塑性强,便于加工和安装矫正。
脆性材料的δ和ψ值都较小,难以加工和矫正。
综合上所述,塑性材料的力学性能较脆性材料好。
但实际生活中,不但要从材料的力学方面考虑,还要从合理发挥材料性能和经济性考虑。
必须指出,上述关于塑性材料和脆性材料的概念是指常温、静载时的情况。
实际上,同一种材料在外界因素(如温度高低、受力状态等)影响下,可能表
现为塑性,也可能表现为脆性。
四、极限应力、安全系数、许用应力
从材料的拉压试验中我们知道,塑性材料到达屈服极限s时,将出现显
著的塑性变形;脆性材料到大强度极限b时会发生断裂。
我们把构件发生显著塑性变形或断裂时的应力,称作极限应力或危险应力,并用o表示。
对塑性材料
对脆性材料
第16页共17页
为了保证构件能正常地工作,在设计计算时不能以材料的极限应力作为依据,必须考虑一个安全储备,工程中规定构件工作时允许的最大应力值为
式中n为一个大于1的数,称为安全系数。
[]就是强度条件中用到的材料许用应力。
小结:
1、杆件四种基本变形及组合变形
2、用截面法求轴向拉(压)杆的内力
3、正应力的计算
4、轴向拉压杆的强度计算
5、弹性变形和塑性变形
6、胡克定律
7、材料在拉伸时的力学性能
8、材料在压缩时的力学性能
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