九年级上册数学《一元二次方程》单元测试题含答案.docx
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九年级上册数学《一元二次方程》单元测试题含答案
人教版数学九年级上学期
《一元二次方程》单元测试
(满分120分,考试用时120分钟)
一、选择题(每小题4分,共32分)
1.已知关于x的方程:
(1)ax2+bx+c=0;
(2)x2-4x=8+x2;(3)1+(x-1)
(x+1)=0;(4)(k2+1)x2+kx+1=0中,一元二次方程的个数为( )
A.1B.2C.3D.4
2.方程4x2=5x+2化为一般形式后的二次项、一次项、常数项分别是()
A
4x2,5x,2B.-4x2,-5x,-2
C
4x2,-5x,,-2D.4x2,-5x,2
3.若代数式x2+5x+6与-x+1的值相等,则x的值为()
A.x1=-1,x2=-5
B.x1=-6,x2=1
C.x1=-2,x2=-3
D.x=-1
4.某种品牌运动服经过两次降价,每件零售价由560元降为315元,已知两次降价的百分率相同,求每次降价的百分率.设每次降价的百分率为x,下面所列的方程中正确的是( )
A
560(1+x)2=315B.560(1-x)2=315
C.560(1-2x)2=315D.560(1-x2)=315
5.方程
有两个实数根,则
的取值范围()
A.
B.
且
C.
D.
且
6.设一元二次方程x2-3x-1=0的两根分别是x1,x2,则x1+x2的值( )
A.3B.-2C.-1D.2
7.已知a≥2,m2-2am+2=0,n2-2an+2=0,m≠n,则(m-1)2+(n-1)2的最小值是( )
A.6B.3C.-3D.0
8.如图所示,长方形ABCD
周长是20cm,以AB,AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH,若正方形ABEF和正方形ADGH的面积之和为68cm2,那么长方形ABCD的面积是( )
A.21cm2B.16cm2C.24cm2D.9cm2
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.若将方程x2+6x=7化为(x+m)2=16,则m=______.
10.设一元二次方程x2-3x+1=0的两根分别为x1,x2,则
+
=_____.
11.已知点A(m2-5,2m+3)在第三象限角平分线上,则m=_____.
12.如图是一个三角形点阵图,从上向下有无数多行,其中第一行有1个点,第二行有2个点…第n行有n个点,容易看出,10是三角形点阵中前4行的点数和,则300个点是前______行的点数和.
13.对于实数a,b,定义运算“﹡”:
.例如4﹡2,因为4>2,所以4﹡2=42﹣4×2=8.若x1,x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根,则x1﹡x2= .
14.在△ABC中,∠B=90°,AB=8,BC=6.点P从点B沿BA向A以1cm/s向A移动,到A后停止;同时,点Q从B沿BC→CA以1cm/s移动到终点A,_______秒后,△PBQ的面积为16.
三、解答题(共44分)
15.解下列方程:
(1)x2+8x-20=0(用配方法);
(2)x2-2x-3=0;
(3)(x-1)(x+2)=4(x-1);
(4)3x2-6x=1(用公式法).
16.已知关于x
方程(m2-1)x2-(m+1)x+m=0.
(1)m为何值时,此方程为一元二次方程?
(2)当m=2时,不解方程,请判断该方程是否有实数根?
17.已知关于x的方程x2-(2m+1)x+m(m+1)=0.
(1)求证:
方程总有两个不相等的实数根;
(2)已知方程的一个根为x=0,求代数式(2m-1)2+(3+m)(3-m)+7m-5的值(要求先化简再求值).
18.已知关于x的一元二次方程(a+c)x2+2bx+(a﹣c)=0,其中a、b、c分别为△ABC三边的长.
(1)如果x=﹣1是方程的根,试判断△ABC的形状,并说明理由;
(2)如果方程有两个相等的实数根,试判断△ABC的形状,并说明理由;
(3)如果△ABC是等边三角形,试求这个一元二次方程的根.
19.百货商店服装柜在销售中发现:
某品牌童装平均每天可售出20件,每件盈利40元.为了迎接“六一”国际儿童节,商场决定采取适当的降价措施,扩大销售量,增加盈利,减少库存.经市场调查发现:
如果每件童装降价1元,那么平均每天就可多售出2件.
(1)要想平均每天销售这种童装盈利1200元,那么每件童装应降价多少元?
(2)要想平均每天销售这种童装盈利1800元,有可能吗?
(3)要想平均每天销售这种童装获利达最大,则每件童装应降价多少元?
每天的获利是多少元?
参考答案
一、选择题(每小题4分,共32分)
1.已知关于x的方程:
(1)ax2+bx+c=0;
(2)x2-4x=8+x2;(3)1+(x-1)
(x+1)=0;(4)(k2+1)x2+kx+1=0中,一元二次方程的个数为( )
A.1B.2C.3D.4
【答案】B
【解析】
【分析】只含有一个未知数,并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程.据此进行分析即可.
【详解】
(1)ax2+bx+c=0;
(2)x2-4x=8+x2;(3)1+(x-1)(x+1)=0;(4)(k2+1)x2+kx+1=0中,一元二次方程有:
(3)和(4)
故选B
【点睛】本题考核知识点:
一元二次方程的定义.解题关键点:
理解一元二次方程的定义.
2.方程4x2=5x+2化为一般形式后的二次项、一次项、常数项分别是()
A.4x2,5x,2B.-4x2,-5x,-2
C.4x2,-5x,,-2D.4x2,-5x,2
【答案】C
【解析】
∵4x²=5x+2,∴4x²−5x−2=0,∴化为一般式后的二次项、一次项、常数项分别是4x²,−5x,−2,故选C.
3.若代数式x2+5x+6与-x+1
值相等,则x的值为()
A.x1=-1,x2=-5
B.x1=-6,x2=1
C.x1=-2,x2=-3
D.x=-1
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意列出方程求解可得正确选项.
【详解】解:
根据题意得,
x2+5x+6=-x+1
x2+5x+6-(-x+1)=0
x2+5x+6+x-1=0
x2+6x+5=0
(x+5)(x+1)=0
x1=-1,x2=-5
故选A.
【点睛】本题考查了一元二次方程,掌握因式分解法解一元二次方程是解题关键.
4.某种品牌运动服经过两次降价,每件零售价由560元降为315元,已知两次降价的百分率相同,求每次降价的百分率.设每次降价的百分率为x,下面所列的方程中正确的是( )
A.560(1+x)2=315B.560(1-x)2=315
C.560(1-2x)2=315D.560(1-x2)=315
【答案】B
【解析】
试题分析:
根据题意,设设每次降价的百分率为x,可列方程为560(1-x)²=315.
故选B
5.方程
有两个实数根,则
的取值范围()
A.
B.
且
C.
D.
且
【答案】B
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义、二次根式有意义的条件和判别式的意义得到
然后解不等式组即可.
【详解】解:
根据题意得
解得m≤
且m≠2.
故选B.
6.设一元二次方程x2-3x-1=0的两根分别是x1,x2,则x1+x2的值( )
A.3B.-2C.-1D.2
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求则可.设x1,x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)的两个实数根,则x1+x2=
.
【详解】依题意得a=1,b=-3,
∴x1+x2=
=3.
故选A
【点睛】本题考核知识点:
一元二次方程根与系数的关系.解题关键点:
熟记根与系数的关系.
7.已知a≥2,m2-2am+2=0,n2-2an+2=0,m≠n,则(m-1)2+(n-1)2的最小值是( )
A
6B.3C.-3D.0
【答案】A
【解析】
已知m2﹣2am+2=0,n2﹣2an+2=0,可得m,n是关于x的方程x2﹣2ax+2=0的两个根,根据根与系数的关系可得m+n=2a,mn=2,再由(m﹣1)2+(n﹣1)2=m2﹣2m+1+n2﹣2n+1=(m+n)2﹣2mn﹣2(m+n)+2=4a2﹣4﹣4a+2=4(a﹣
)2﹣3,因a≥2,所以当a=2时,(m﹣1)2+(n﹣1)2有最小值,即(m﹣1)2+(n﹣1)2的最小值=4(a﹣
)2-3=4(2﹣
)2﹣3=6,故选A.
8.如图所示,长方形ABCD的周长是20cm,以AB,AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH,若正方形ABEF和正方形ADGH的面积之和为68cm2,那么长方形ABCD的面积是( )
A.21cm2B.16cm2C.24cm2D.9cm2
【答案】B
【解析】
【详解】设AB=x,AD=y,根据题意,得
x2+y2=68①,2(x+y)=20②,
由①得(x+y)2-2xy=68,
∴2xy=100-68=32,
∴xy=16.
长方形ABCD的面积是16cm2
故选B
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.若将方程x2+6x=7化为(x+m)2=16,则m=______.
【答案】3
【解析】
【详解】在方程x2+6x=7的两边同时加上一次项系数的一半的平方,得x2+6x+32=7+32,
∴(x+3)2=16
∴m=3.
10.设一元二次方程x2-3x+1=0的两根分别为x1,x2,则
+
=_____.
【答案】7
【解析】
【分析】一元二次方程且二次项系数为1的方程的根与系数的关系:
x1+x2=-b(b是一次项数),x1x2=c(c是常数项),根据这一关系解答即可.
【详解】因为,一元二次方程x2-3x+1=0的两根分别为x1,x2,则x1+x2=3,x1x2=1,
所以,
+
=(x1+x2)2-2x1x2=9-2=7
故答案为:
7
【点睛】本题考核知识点:
一元二次方程x2+bx+c=0根与系数的关系:
x1+x2=-b(b是一次项数),x1x2=c(c是常数项).
11.已知点A(m2-5,2m+3)在第三象限角平分线上,则m=_____.
【答案】-2
【解析】
【分析】根据点在第三象限角平分线上,横坐标和纵坐标相等,且都是负数,可列出方程并求解.
【详解】因为,已知点A(m2-5,2m+3)在第三象限角平分线上,
所以,m2-5=2m+3,
解得m1=4(不合题意舍去),m2=-2,
故答案为:
-2
【点睛】本题考核知识点:
点的坐标特点,一元二次方程.解题关键点:
列出一元二次方程.
12.如图是一个三角形点阵图,从上向下有无数多行,其中第一行有1个点,第二行有2个点…第n行有n个点,容易看出,10是三角形点阵中前4行的点数和,则300个点是前______行的点数和.
【答案】24
【解析】
试题分析:
由于第一行有1个点,第二行有2个点…第n行有n个点…,则前n行共有(1+2+3+4+5+…+n)个点,然后求它们的和,前n行共有
个点,则
=300,整理这个方程,得:
n2+n﹣600=0,解方程得:
n1=24,n2=﹣25
根据问题中未知数的意义确定n=24,即三角点阵中前24行的点数的和是300.
故答案为24.
【考点】规律型:
图形的变化类.
13.对于实数a,b,定义运算“﹡”:
.例如4﹡2,因为4>2,所以4﹡2=42﹣4×2=8.若x1,x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根,则x1﹡x2= .
【答案】3或2
【解析】
【详解】试题分析:
∵x1,x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根,
∴(x﹣3)(x﹣2)=0,解得:
x=3或2.
①当x1=3,x2=2时,x1﹡x2=32﹣3×2=3;
②当x1=2,x2=3时,x1﹡x2=3×2﹣22=2.
14.在△ABC中,∠B=90°,AB=8,BC=6.点P从点B沿BA向A以1cm/s向A移动,到A后停止;同时,点Q从B沿BC→CA以1cm/s移动到终点A,_______秒后,△PBQ的面积为16.
【答案】4
【解析】
【分析】设经过x秒钟,△PBQ的面积等于16平方厘米,根据点P从B点开始沿BA边向点A以1cm/s的速度移动,点Q从B沿BC→CA以1cm/s的速度移动,表示出BP和BQ的长可列方程求解.
【详解】
由勾股定理得
设x秒后△PBQ的面积等于16,依题意有
①当t≤6时,
解得
(负值舍去);
②当6 解得 (不合题意舍去); 综上所述, 后,△PBQ的面积为16. 故答案为4 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用,应注意应先表示出直角三角形的面积所需要的边和高,然后分情况进行讨论. 三、解答题(共44分) 15.解下列方程: (1)x2+8x-20=0(用配方法); (2)x2-2x-3=0; (3)(x-1)(x+2)=4(x-1); (4)3x2-6x=1(用公式法). 【答案】 (1)x1=2,x2=-10. (2)x1=3,x2=-1.(3)x1=1,x2=2.(4)x1= x2= . 【解析】 【分析】 (1)按配方法步骤解方程; (2)用因式分解法解方程;(3)用因式分解法解方程;(4)按公式法步骤解方程. 【详解】解: (1)x2+8x+16=36, (x+4)2=36, x+4=±6, 所以x1=2,x2=-10. (2)(x-3)(x+1)=0, 所以x1=3,x2=-1. (3)(x-1)(x+2)-4(x-1)=0, (x-1)(x+2-4)=0,所以x1=1,x2=2. (4)3x2-6x-1=0, Δ=(-6)2-4×3×(-1)=48, x= = 所以x1= x2= . 【点睛】本题考核知识点: 解一元二次方程.解题关键点: 熟练掌握各种解方程的方法. 16.已知关于x的方程(m2-1)x2-(m+1)x+m=0. (1)m为何值时,此方程为一元二次方程? (2)当m=2时,不解方程,请判断该方程是否有实数根? 【答案】 (1)m≠±1时,此方程为一元二次方程. (2)方程没有实数根. 【解析】 【分析】 (1)根据一元二次方程的定义可得m2-1≠0,即m≠±1; (2)由根判别式进行判断即可. 【详解】 解: (1)根据题意,得m2-1≠0,即m≠±1, 答: m≠±1时,此方程 一元二次方程. (2)当m=2时,方程为3x2-3x+2=0, 因为Δ=(-3)2-4×3×2=-15<0, 所以方程没有实数根. 【点睛】本题考核知识点: 一元二次方程的定义,根判别式.解题关键点: 理解一元二次方程的定义和根判别式. 17.已知关于x的方程x2-(2m+1)x+m(m+1)=0. (1)求证: 方程总有两个不相等的实数根; (2)已知方程的一个根为x=0,求代数式(2m-1)2+(3+m)(3-m)+7m-5的值(要求先化简再求值). 【答案】 (1)证明见解析; (2)5. 【解析】 试题分析: (1)找出a,b及c,表示出根 判别式,变形后得到其值大于0,即可得证. (2)把x=0代入方程即可求m的值,然后化简代数式再将m的值代入所求的代数式并求值即可. 试题解析: (1)∵关于x的一元二次方程x2-(2m+1)x+m(m+1)=0. ∴△=(2m+1)2-4m(m+1)=1>0, ∴方程总有两个不相等的实数根; (2)∵x=0是此方程的一个根, ∴把x=0代入方程中得到m(m+1)=0, ∴m=0或m=-1, ∵(2m-1)2+(3+m)(3-m)+7m-5=4m2-4m+1+9-m2+7m-5=3m2+3m+5, 把m=0代入3m2+3m+5得: 3m2+3m+5=5; 把m=-1代入3m2+3m+5得: 3m2+3m+5=3×1-3+5=5. 考点: 1.根的判别式;2.一元二次方程的解. 18.已知关于x的一元二次方程(a+c)x2+2bx+(a﹣c)=0,其中a、b、c分别为△ABC三边的长. (1)如果x=﹣1是方程的根,试判断△ABC的形状,并说明理由; (2)如果方程有两个相等的实数根,试判断△ABC的形状,并说明理由; (3)如果△ABC是等边三角形,试求这个一元二次方程 根. 【答案】 (1)△ABC是等腰三角形; (2)△ABC是直角三角形;(3)x1=0,x2=﹣1. 【解析】 试题分析: (1)直接将x=﹣1代入得出关于a,b的等式,进而得出a=b,即可判断△ABC的形状; (2)利用根的判别式进而得出关于a,b,c的等式,进而判断△ABC的形状; (3)利用△ABC是等边三角形,则a=b=c,进而代入方程求出即可. 试题解析: (1)△ABC是等腰三角形; 理由: ∵x=﹣1是方程的根, ∴(a+c)×(﹣1)2﹣2b+(a﹣c)=0, ∴a+c﹣2b+a﹣c=0, ∴a﹣b=0, ∴a=b, ∴△ABC是等腰三角形; (2)∵方程有两个相等的实数根, ∴(2b)2﹣4(a+c)(a﹣c)=0, ∴4b2﹣4a2+4c2=0, ∴a2=b2+c2, ∴△ABC是直角三角形; (3)当△ABC是等边三角形,∴(a+c)x2+2bx+(a﹣c)=0,可整理为: 2ax2+2ax=0, ∴x2+x=0, 解得: x1=0,x2=﹣1. 考点: 一元二次方程的应用. 19.百货商店服装柜在销售中发现: 某品牌童装平均每天可售出20件,每件盈利40元.为了迎接“六一”国际儿童节,商场决定采取适当的降价措施,扩大销售量,增加盈利,减少库存.经市场调查发现: 如果每件童装降价1元,那么平均每天就可多售出2件. (1)要想平均每天销售这种童装盈利1200元,那么每件童装应降价多少元? (2)要想平均每天销售这种童装盈利1800元,有可能吗? (3)要想平均每天销售这种童装获利达最大,则每件童装应降价多少元? 每天的获利是多少元? 【答案】 (1)每件童装降价20元; (2)要想平均每天销售这种童装盈利1800元没有可能;(3)当每件童装降价15元时,能获最大利润1250元. 【解析】 试题分析: (1)设每件童装应降价x元,根据题目中的等量关系“(原来每件的盈利-降低的价格)×(原来的销售量+2×降低的价格)=1200”,列出方程解方程即可; (2)利用 (1)的方法了,列出方程,解方程即可判定;(3)设每天销售这种童装利润为y,根据 (1)的方法列出y与x的函数关系式,利用二次函数的性质解决问题即可. 试题解析: (1)设每件童装应降价x元,根据题意得: (40﹣x)(20+2x)=1200, 解得x1=20,x2=10(不合题意,舍去), 答: 每件童装降价20元; (2)设每件童装应降价n元,根据题意得: (40﹣n)(20+2n)=1800, 整理得: n2﹣30n+500=0, △=b2﹣4ac=302﹣4×1×500=900﹣2000=﹣1100<0,原方程无解, 则要想平均每天销售这种童装盈利1800元没有可能; (3)设每天销售这种童装利润为y,根据题意得: y=(40﹣x)(20+x×2)=﹣2x2+60x+800=﹣2(x﹣15)2+1250, 答: 当每件童装降价15元时,能获最大利润1250元. 点睛: 本题考查了一元二次方程及二次函数的应用,掌握平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售的利润的运用是解题的关键,读懂题题意,找出之间的数量关系列出方程(或函数解析式)即可.
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- 一元二次方程 九年级 上册 数学 一元 二次方程 单元测试 答案