最全圆锥曲线知识点总结.doc
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最全圆锥曲线知识点总结.doc
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高中数学椭圆的知识总结
1.椭圆的定义:
平面内一个动点P到两个定点的距离之和等于常数(),这个动点P的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距.
注意:
若,则动点P的轨迹为线段;若,则动点P的轨迹无图形.
(1)椭圆:
焦点在轴上时()(参数方程,其中为参数),焦点在轴上时=1()。
2.椭圆的几何性质:
(1)椭圆(以()为例):
①范围:
;②焦点:
两个焦点;③对称性:
两条对称轴,一个对称中心(0,0),四个顶点,其中长轴长为2,短轴长为2;④离心率:
,椭圆,越小,椭圆越圆;越大,椭圆越扁。
⑥
(2).点与椭圆的位置关系:
①点在椭圆外;
②点在椭圆上=1;③点在椭圆内
3.直线与圆锥曲线的位置关系:
(1)相交:
直线与椭圆相交;
(2)相切:
直线与椭圆相切;
(3)相离:
直线与椭圆相离;
如:
直线y―kx―1=0与椭圆恒有公共点,则m的取值范围是_______;
4.焦点三角形(椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形)
5.弦长公式:
若直线与圆锥曲线相交于两点A、B,且分别为A、B的横坐标,则=,若分别为A、B的纵坐标,则=,若弦AB所在直线方程设为,则=。
6.圆锥曲线的中点弦问题:
遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。
在椭圆中,以为中点的弦所在直线的斜率k=-;
如
(1)如果椭圆弦被点A(4,2)平分,那么这条弦所在的直线方程是;
(2)已知直线y=-x+1与椭圆相交于A、B两点,且线段AB的中点在直线L:
x-2y=0上,则此椭圆的离心率为_______;
(3)试确定m的取值范围,使得椭圆上有不同的两点关于直线对称;
特别提醒:
因为是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件,故在求解有关弦长、对称问题时,务必别忘了检验!
椭圆知识点的应用
1.如何确定椭圆的标准方程?
任何椭圆都有一个对称中心,两条对称轴。
当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点,对称轴是坐标轴,椭圆的方程才是标准方程形式。
此时,椭圆焦点在坐标轴上。
确定一个椭圆的标准方程需要三个条件:
两个定形条件;一个定位条件焦点坐标,由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。
2.椭圆标准方程中的三个量的几何意义
椭圆标准方程中,三个量的大小与坐标系无关,是由椭圆本身的形状大小所确定的。
分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长,均为正数,且三个量的大小关系为:
,,且。
可借助右图理解记忆:
恰构成一个直角三角形的三条边,其中a是斜边,b、c为两条直角边。
3.如何由椭圆标准方程判断焦点位置
椭圆的焦点总在长轴上,因此已知标准方程,判断焦点位置的方法是:
看,的分母的大小,哪个分母大,焦点就在哪个坐标轴上。
4.方程是表示椭圆的条件
方程可化为,即,所以只有A、B、C同号,且AB时,方程表示椭圆。
当时,椭圆的焦点在轴上;当时,椭圆的焦点在轴上。
5.求椭圆标准方程的常用方法:
①待定系数法:
由已知条件确定焦点的位置,从而确定椭圆方程的类型,设出标准方程,再由条件确定方程中的参数的值。
其主要步骤是“先定型,再定量”;
②定义法:
由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形,然后再根据定义确定方程。
6.共焦点的椭圆标准方程形式上的差异
共焦点,则c相同。
与椭圆共焦点的椭圆方程可设为,此类问题常用待定系数法求解。
7.判断曲线关于轴、轴、原点对称的依据:
①若把曲线方程中的换成,方程不变,则曲线关于轴对称;
②若把曲线方程中的换成,方程不变,则曲线关于轴对称;
③若把曲线方程中的、同时换成、,方程不变,则曲线关于原点对称。
8.如何求解与焦点三角形△PF1F2(P为椭圆上的点)有关的计算问题?
思路分析:
与焦点三角形△PF1F2有关的计算问题时,常考虑到用椭圆的定义及余弦定理(或勾股定理)、三角形面积公式相结合的方法进行计算解题。
将有关线段,有关角()结合起来,建立、之间的关系.
9.如何计算椭圆的扁圆程度与离心率的关系?
长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化。
离心率,因为,,用表示为。
显然:
当越小时,越大,椭圆形状越扁;当越大,越小,椭圆形状越趋近于圆。
题型1:
椭圆定义的运用
例1.已知为椭圆的两个焦点,过的直线交椭圆于A、B两点若,则______.
例2.如果方程表示焦点在x轴的椭圆,那么实数k的取值范围是____________.
例3.已知为椭圆上的一点,分别为圆和圆上的点,则的最小值为
题型2:
求椭圆的标准方程
例1、求满足下列各条件的椭圆的标准方程.
(1)经过两点;
(2)经过点(2,-3)且与椭圆具有共同的焦点;
(3)一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直,且此焦点与长轴上较近的端点距离为-4.
题型3:
求椭圆的离心率
例1、中,若以为焦点的椭圆经过点,则椭圆的离心率为.
例2、过椭圆的一个焦点作椭圆长轴的垂线交椭圆于P,若为等腰直角三角形,则椭圆的离心率为
题型4:
椭圆的其他几何性质的运用(范围、对称性等)
例1.已知实数满足,则的范围为
例2.已知点是椭圆()上两点,且,则=
题型5:
焦点三角形问题
例1.已知为椭圆的两个焦点,p为椭圆上的一点,已知为一个直角三角形的三个顶点,且,求的值.
例2.已知为椭圆C:
的两个焦点,在C上满足的点的个数为.
例3.已知椭圆的焦点是,且离心率①求椭圆的方程;②设点P在椭圆上,且,求cos.
题型6:
三角代换的应用
例1.椭圆上的点到直线l:
的距离的最小值为___________.
例2.椭圆的内接矩形的面积的最大值为
题型7:
直线与椭圆的位置关系的判断
例1.当为何值时,直线与椭圆相交?
相切?
相离?
例2.若直线与椭圆恒有公共点,求实数的取值范围;
题型8:
弦长问题
例1.求直线被椭圆所截得的弦长.
例2.已知椭圆的左右焦点分别为F1,F2,若过点P(0,-2)及F1的直线交椭圆于A,B两点,求⊿ABF2的面积;
题型9:
中点弦问题
例1.求以椭圆内的点A(2,-1)为中点的弦所在的直线方程。
例2.中心在原点,一个焦点为的椭圆截直线所得弦的中点横坐标为,求椭圆的方程.
例3.椭圆与直线相交于A、B两点,点C是AB的中点.若,OC的斜率为(O为原点),求椭圆的方程.
巩固训练
1.如图,椭圆中心在原点,F是左焦点,直线与BF交于D,且,则椭圆的离心率为
2.设为椭圆的两焦点,P在椭圆上,当面积为1时,的值为
3.椭圆的一条弦被平分,那么这条弦所在的直线方程是
4.若为椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,若,则此椭圆的离心率为
5.在平面直角坐标系中,椭圆的焦距为2c,以O为圆心,为半径的圆,过点作圆的两切线互相垂直,则离心率=.
双曲线
基本知识点
双曲线
标准方程(焦点在轴)
标准方程(焦点在轴)
定义
定义:
平面内与两个定点,的距离的差的绝对值是常数(小于)的点的轨迹叫双曲线。
这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点的距离叫焦距。
P
P
范围
,
,
对称轴
轴,轴;实轴长为,虚轴长为
对称中心
原点
焦点坐标
焦点在实轴上,;焦距:
顶点坐标
(,0)(,0)
(0,,)(0,)
离心率
渐近线
方程
共渐近线的双曲线系方程
()
()
直线和双曲线的位置
双曲线与直线的位置关系:
利用转化为一元二次方程用判别式确定。
二次方程二次项系数为零直线与渐近线平行。
相交弦AB的弦长
补充知识点:
等轴双曲线的主要性质有:
(1)半实轴长=半虚轴长(一般而言是a=b,但有些地区教材版本不同,不一定用的是a,b这两个字母);
(2)其标准方程为,其中;
(3)离心率;
(4)渐近线:
两条渐近线y=±x互相垂直;
例题分析:
例1、动点与点与点满足,则点的轨迹方程为( )
A.B.
C.D.
同步练习一:
如果双曲线的渐近线方程为,则离心率为( )
A. B. C.或 D.
例2、已知双曲线的离心率为,则的范围为( )
A. B.
C. D.
同步练习二:
双曲线的两条渐近线互相垂直,则双曲线的离心率为 .
例3、设是双曲线上一点,双曲线的一条渐近线方程为,分别是双曲线的左、右焦点,若,则的值为 .
同步练习三:
若双曲线的两个焦点分别为,且经过点,则双曲线的标准方程为 。
例4、下列各对曲线中,即有相同的离心率又有相同渐近线的是()
(A)-y2=1和-=1(B)-y2=1和y2-=1
(C)y2-=1和x2-=1(D)-y2=1和-=1
同步练习四:
已知双曲线的中心在原点,两个焦点分别为和,点在双曲线上且,且的面积为1,则双曲线的方程为( )
A. B.C. D.
例5、与双曲线有共同的渐近线,且经过点A的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是()
(A)8(B)4(C)2(D)1
同步练习五:
以为渐近线,一个焦点是F(0,2)的双曲线方程为_________.
例6、下列方程中,以x±2y=0为渐近线的双曲线方程是
(A)
同步练习六:
双曲线8kx2-ky2=8的一个焦点是(0,3),那么k的值是
例7、经过双曲线的右焦点F2作倾斜角为30°的弦AB,
(1)求|AB|.
(2)F1是双曲线的左焦点,求△F1AB的周长.
同步练习七过点(0,3)的直线l与双曲线只有一个公共点,求直线l的方程。
高考真题分析
1.【2012高考新课标文10】等轴双曲线的中心在原点,焦点在轴上,与抛物线的准线交于两点,;则的实轴长为()
2.【2012高考山东文11】已知双曲线:
的离心率为2.若抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为2,则抛物线的方程为
(A) (B) (C) (D)
3.【2012高考全国文10】已知、为双曲线的左、右焦点,点在上,,则
(A)(B)(C)(D)
4.(2011年高考湖南卷文科6)设双曲线的渐近线方程为则的值为()
A.4B.3C.2D.1
5.【2012高考江苏8】(5分)在平面直角坐标系中,若双曲线的离心率为,则的值为.
抛物线
抛
物
线
x
y
O
l
F
x
y
O
l
F
l
F
x
y
O
x
y
O
l
F
定义
平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,点叫做抛物线的焦点,直线叫做抛物线的准线。
{=点M到直线的距离}
范围
对称性
关于轴对称
关于轴对称
焦点
(,0)
(,0)
(0,)
(0,)
焦点在对称轴上
顶点
离心率
=1
准线
方程
准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。
顶点到准线的距离
焦点到准线的距离
焦半径
焦点弦长
焦点弦的几条性质
o
x
F
y
以为直径的圆必与准线相切
若的倾斜角为,则
若的倾斜角为,则
切线
方程
1、直线与抛物线的位置关系
直线,抛物线, 由 ,消y得:
(1)当k=0时,直线与抛物线的对称轴平行,有一个交点;
(2)当k≠0时,Δ>0,直线与抛物线相交,两个不同交点;
Δ=0,直线与抛物线相切,一个切点;
Δ<0,直线与抛物线相离,无公共点。
(3)若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?
(不一定)
1、关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法
直线:
抛物线,
联立方程法:
设交点坐标为,,则有,以及,还可进一步求出,
在涉及弦长,中点,对称,面积等问题时,常用此法,比如
(1)相交弦AB的弦长
或
(2).中点,,
点差法:
设交点坐标为,,代入抛物线方程,得
将两式相减,可得
(1)在涉及斜率问题时,
(2)在涉及中点轨迹问题时,设线段的中点为,,即,
同理,对于抛物线,若直线与抛物线相交于两点,点是弦的中点,则有(注意能用这个公式的条件:
1)直线与抛物线有两个不同的交点,2)直线的斜率存在,且不等于零)
6
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