几何概型经典练习题.doc
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几何概型经典练习题.doc
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几何概型题目选讲
1.在长为12cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形,邻边长分别等于线段AC,CB的长,则该矩形面积小于32cm2的概率为( )A. B. C. D.
解析:
设AC=x,由题意知x(12-x)<32⇒0<x<4或8<x<12,所求事件的概率P==.
2.已知圆C:
在圆上任取一点P,设点P到直线的距离小于2的事件为A求P(A)的值。
解:
P(A)=
3.设不等式组表示的平面区域为D.在区域D内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于2的概率是
解析:
坐标系中到原点距离不大于2的点在以原点为圆心,2为半径的圆内及圆上,表示的区域D为边长为2的正方形及其内部,所以所求的概率为=.
4.在区间[0,9]上随机取一实数x,则该实数x满足不等式1≤log2x≤2的概率为__________.
解析:
由1≤log2x≤2,得2≤x≤4,根据区间长度关系,得所求概率为.
5.在[-6,9]内任取一个实数m,设f(x)=-x2+mx+m,则函数f(x)的图像与x轴有公共点的概率等于__________.
解析:
函数f(x)的图像与x轴有公共点应满足Δ=m2+4m≥0,解得m≤-4或m≥0,又m∈[-6,9],故-6≤m≤-4或0≤m≤9,因此所求概率P==.
6.甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头,它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的.
(1)如果甲船和乙船的停泊时间都是4小时,求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率;
(2)如果甲船的停泊时间为4小时,乙船的停泊时间为2小时,求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率.
解析:
(1)设甲、乙两船到达时间分别为x、y,则0≤x<24,0≤y<24且y-x≥4或y-x≤-4.
作出区域设“两船无需等待码头空出”为事件A,则P(A)==.
(2)当甲船的停泊时间为4小时,乙船的停泊时间为2小时,两船不需等待码头空出,则满足x-y≥2或y-x≥4.
设在上述条件时“两船不需等待码头空出”为事件B,画出区域
P(B)===.
7.知k∈[-2,2],则k的值使得过A(1,1)可以作两条直线与圆x2+y2+kx-2y-k=0相切的概率等于【来【解析】.∵圆的方程化为,∴5k+k2+4>0,∴k<-4或k>-1.∵过A(1,1)可以作两条直线与圆相切,∴A(1,1)在圆外,得,
∴k<0,故k∈(-1,0),其区间长度为1,因为k∈[-2,2],其区间长度为4,所以P=.
8.已知k∈[-2,2],则k的值使得过A(1,1)可以作两条直线与圆x2+y2+kx-2y-k=0相切的概率等于
解析:
∵圆的方程化为2+(y-1)2=++1,∴5k+k2+4>0,∴k<-4或k>-1.∵过A(1,1)可以作两条直线与圆2+(y-1)2=++1相切,∴A(1,1)在圆外,得2+(1-1)2>++1,
∴k<0,故k∈(-1,0),其区间长度为1,因为k∈[-2,2],其区间长度为4,∴P=.
9.已知集合A={x|-3 (1)求A∩B,A∪B; (2)在区间(-4,4)上任取一个实数x,求“x∈A∩B”的概率;(3)设(a,b)为有序实数对,其中a是从集合A中任取的一个整数,b是从集合B中任取的一个整数,求“b-a∈A∪B”的概率. 解: (1)由已知B={x|-2 (2)设事件“x∈A∩B”的概率为P1,这是一个几何概型,则P1=. (3)因为a,b∈Z,且a∈A,b∈B,所以,基本事件共12个: (-2,-1),(-2,0),(-2,1),(-2,2),(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(-1,2),(0,-1),(0,0),(0,1),(0,2).设事件E为“b-a∈A∪B”,则事件E中包含9个基本事件,事件E的概率P(E)==. 10.袋子中放有大小和形状相同的小球若干个,其中标号为0的小球1个,标号为1的小球1个,标号为2的小球n个.已知从袋子中随机抽取1个小球,取到标号是2的小球的概率是. (1)求n的值; (2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球,记第一次取出的小球标号为a,第二次取出的小球标号为b.①记事件A表示“a+b=2”,求事件A的概率;②在区间[0,2]内任取2个实数x,y,求事件“x2+y2>(a-b)2恒成立”的概率. 解: (1)由题意可知: =,解得n=2. (2)①不放回地随机抽取2个小球的所有基本事件为: (0,1),(0,21),(0,22),(1,0),(1,21),(1,22),(21,0),(21,1),(21,22),(22,0),(22,1),(22,21),共12个,事件A包含的基本事件为: (0,21),(0,22),(21,0),(22,0),共4个.∴P(A)==.②记“x2+y2>(a-b)2恒成立”为事件B,则事件B等价于“x2+y2>4”,(x,y)可以看成平面中的点,则全部结果所构成的区域Ω={(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤2,x,y∈R}, 而事件B所构成的区域B={(x,y)|x2+y2>4,(x,y)∈Ω},∴P(B)===1-. 11、“已知圆C: x2+y2=12,设M为此圆周上一定点,在圆周上等可能地任取一点N,连接MN.”求弦MN的长超过2的概率. 解: 如图,在图上过圆心O作OM⊥直径CD.则MD=MC=2.当N点不在半圆弧CM上时,MN>2. 所以P(A)==. 12. (1)已知A是圆上固定的一点,在圆上其他位置上任取一点A′,则AA′的长度小于半径的概率为________. (2)在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=1,BC=2.在BC边上任取一点M,则∠AMB≥90°的概率为________. 解析: (1)如图,满足AA′的长度小于半径的点A′位于劣弧BA上,其中△ABO和△ACO为等边三角形,可知∠BOC=,故所求事件的概率P==. (2)如图,在Rt△ABC中,作AD⊥BC,D为垂足,由题意可得BD=,且点M在BD上时,满足∠AMB≥90°,故所求概率P===.答案: (1) (2) 13.在体积为V的三棱锥S—ABC的棱AB上任取一点P,则三棱锥S—APC的体积大于的概率是________. 解析: 如图,三棱锥S—ABC的高与三棱锥S—APC的高相同.作PM⊥AC于M,BN⊥AC于N,则PM、BN分别为△APC与△ABC的高,所以==,又=,所以>时,满足条件.设=,则P在BD上,所求的概率P==. 14.在区间[0,1]上任取两个数a,b,则函数f(x)=x2+ax+b2无零点的概率为 解析: 要使该函数无零点,只需a2-4b2<0,即(a+2b)(a-2b)<0. ∵a,b∈[0,1],a+2b>0,∴a-2b<0. 作出的可行域,易得该函数无零点的概率P==. 15.设AB=6,在线段AB上任取两点(端点A、B除外),将线段AB分成了三条线段. (1)若分成的三条线段的长度均为正整数,求这三条线段可以构成三角形的概率; (2)若分成的三条线段的长度均为正实数,求这三条线段可以构成三角形的概率. 解: (1)若分成的三条线段的长度均为正整数,则三条线段的长度的所有可能情况是1,1,4;1,2,3;2,2,2共3种情况,其中只有三条线段长为2,2,2时,能构成三角形,故构成三角形的概率为P=. (2)设其中两条线段长度分别为x,y,则第三条线段长度为6-x-y,故全部试验结果所构成的区域为即所表示的平面区域为△OAB. 若三条线段x,y,6-x-y能构成三角形, 则还要满足即为所表示的平面区域为△DEF, 由几何概型知,所求概率为P==.
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