裂项相消法讲义提高篇.docx
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裂项相消法讲义提高篇
1、利用裂项相消法求和应注意:
(1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项,也有可能前面剩几项,后面对称地也剩几项,且前面所剩项的符号与后边刚好相反,例如数列
的求和。
(2)将通项裂项后,有时需要调整前面的系数,使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等.如:
若{an}是等差数列,则=
,=
2.裂项相消法求和是历年高考的重点,命题角度凸显灵活多变,在解题中要善于利用裂项相消的基本思想,变换数列an的通项公式,达到求解目的.归纳起来常见的命题角度有:
(1)形如
型。
如=-;
(2)形如an=
型;
(3)形如an==
型;
(4)形如an=型.
(5)形如an==
型;
(6)==-.
角度1 形如an=型;
【例1】在等比数列{an}中,a1>0,n∈N*,且a3-a2=8,又a1、a5的等比中项为16.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=log4an,数列{bn}的前n项和为Sn,是否存在正整数k,使得+++…+ [解析] (1)设数列{an}的公比为q,由题意可得a3=16, ∵a3-a2=8,则a2=8,∴q=2.∴an=2n+1. (2)∵bn=log42n+1=, ∴Sn=b1+b2+…+bn=. ∵==, ∴+++…+ =(-+-+-+…+-) =(1++---)<<, ∴存在正整数k的最小值为3. 2.已知数列{an}的前n项和Sn与通项an满足Sn=-an. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设f(x)=log3x,bn=f(a1)+f(a2)+…+f(an),Tn=++…+,求T2012; [解析] (1)当n=1时,a1=, 当n≥2时,an=Sn-Sn-1,又Sn=-an, 所以an=an-1, 即数列{an}是首项为,公比为的等比数列, 故an=n. (2)由已知可得f(an)=log3n=-n, 则bn=-1-2-3-…-n=-,故=-2, 又Tn=-2 =-2, 所以T2012=-. 变式1.在等差数列 中, ,其前 项和为 ,等比数列 的各项均为正数, ,公比为 ,且 , . (1)求 与 ; (2)设数列 满足 ,求 的前 项和 . [解析] (1)设 的公差为 . 因为 所以 解得 或 (舍), . 故 , . (2)由 (1)可知, ,所以 . 故 变式2.(2013·江西高考)正项数列{an}满足: a-(2n-1)an-2n=0. (1)求数列{an}的通项公式an; (2)令bn=,求数列{bn}的前n项和Tn. [解析] (1)由a-(2n-1)an-2n=0,得(an-2n)·(an+1)=0.由于{an}是正项数列,所以an=2n. (2)由an=2n,bn=,得bn==. Tn===. 变式3.已知数列{an}的各项均为正数,前n项和为Sn,且Sn=,n∈N*. (1)求证: 数列{an}是等差数列; (2)设bn=,Tn=b1+b2+…+bn,求Tn. [解析] (1)证明 ∵Sn=,n∈N*, ∴当n=1时,a1=S1=(an>0),∴a1=1. 当n≥2时,由 得2an=a+an-a-an-1. 即(an+an-1)(an-an-1-1)=0, ∵an+an-1>0,∴an-an-1=1(n≥2). 所以数列{an}是以1为首项,1为公差的等差数列. (2) 由 (1)可得an=n,Sn=, bn===-. ∴Tn=b1+b2+b3+…+bn =1-+-+…+- =1-=. 变式4.(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,an+1=Sn(n=1,2,3,…). (1)求数列{an}的通项公式; (2)当bn= 时,求证: 数列的前n项和Tn=. [解析] (1)由已知得(n≥2),得到an+1=an(n≥2). ∴数列{an}是以a2为首项,以为公比的等比数列. 又a2=S1=a1=, ∴an=a2×n-2=n-2(n≥2).∴an= (2)证明 bn=log(3an+1)=log=n. ∴==-. ∴Tn=+++…+ =+++…+ =1-=. 变式5.已知正项数列{an},{bn}满足a1=3,a2=6,{bn}是等差数列,且对任意正整数n,都有bn,,bn+1成等比数列. (1)求数列{bn}的通项公式; (2)设Sn=++…+,试比较2Sn与2-的大小. [解析] (1)∵对任意正整数n,都有bn,,bn+1成等比数列,且{an},{bn}都为正项数列, ∴an=bnbn+1(n∈N*).可得a1=b1b2=3,a2=b2b3=6,又{bn}是等差数列,∴b1+b3=2b2, 解得b1=,b2=.∴bn=(n+1). (2)由 (1)可得an=bnbn+1=,则==2, ∴Sn=2=1-, ∴2Sn=2-,又2-=2-,∴2Sn-=-=. ∴当n=1,2时,2Sn<2-;当n≥3时,2Sn>2-. 角度2 形如an=型 【例2】已知函数f(x)=xa的图像过点(4,2),令an=,n∈N*.记数列{an}的前n项和为Sn,则S2013=________. [解析]由f(4)=2可得4a=2,解得a=,则f(x)=x. ∴an===-, S2013=a1+a2+a3+…+a2013=(-)+(-)+(-)+…+(-)=-1. 角度3 形如an=型; 【例3】(2013·新课标卷Ⅰ)已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3=0,S5=-5. (1)求{an}的通项公式; (2)求数列的前n项和. [解析] (1)设{an}的公差为d,则Sn=na1+d. 由已知可得解得 故{an}的通项公式为an=2-n. (2)由 (1)知 ==, 从而数列的前n项和为 =. 变式1.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn=nan-n(n-1)(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式; (2)设bn=,求数列{bn}的前n项和Tn. [解析] (1)∵Sn=nan-n(n-1),当n≥2时, Sn-1=(n-1)·an-1-(n-1)(n-2), ∴an=Sn-Sn-1=nan-n(n-1)-(n-1)an-1+(n-1)·(n-2), 即an-an-1=2. ∴数列{an}是首项a1=1,公差d=2的等差数列, 故an=1+(n-1)·2=2n-1,n∈N*. (2)由 (1)知bn===-, 故Tn=b1+b2+…+bn= + + +…+ =1-=. 变式2.在数列{an}中,a1=1,当n≥2时,其前n项和Sn满足S=an. (1)求Sn的表达式; (2)设bn=,求{bn}的前n项和Tn. [解析] (1)∵S=an, an=Sn-Sn-1(n≥2), ∴S=(Sn-Sn-1), 即2Sn-1Sn=Sn-1-Sn,① 由题意Sn-1·Sn≠0, ①式两边同除以Sn-1·Sn,得-=2, ∴数列是首项为==1,公差为2的等差数列. ∴=1+2(n-1)=2n-1,∴Sn=. (2)又bn== =, ∴Tn=b1+b2+…+bn=[(1-)+(-)+…+(-)] ==. 变式3.已知数列{an}前n项和为Sn,首项为a1,且,an,Sn成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)数列{bn}满足bn=(log2a2n+1)×(log2a2n+3),求证: +++…+<. (1)解 ∵,an,Sn成等差数列,∴2an=Sn+, 当n=1时,2a1=S1+,∴a1=, 当n≥2时,Sn=2an-,Sn-1=2an-1-, 两式相减得an=Sn-Sn-1=2an-2an-1, ∴=2, ∴数列{an}是首项为,公比为2的等比数列, ∴an=×2n-1=2n-2. (2)证明 bn=(log2a2n+1)×(log2a2n+3)=log222n+1-2×log222n+3-2=(2n-1)(2n+1), =×=(-), +++…+=[(1-)+(-)+…+(-)]=(1-)<(n∈N*). 即+++…+<. 变式4.(2014·浙江协作体三模)在直角坐标平面上有一点列P1(x1,y1),P2(x2,y2),…,Pn(xn,yn),…,对一切正整数n,点Pn在函数y=3x+的图像上,且Pn的横坐标构成以-为首项,-1为公差的等差数列{xn}. (1)求点Pn的坐标; (2)设抛物线列C1,C2,C3,…,Cn,…中的每一条的对称轴都垂直于x轴,抛物线Cn的顶点为Pn,且过点Dn(0,n2+1).记与抛物线Cn相切于点Dn的直线的斜率为kn,求++…+. [解析] (1)∵xn=-+(n-1)×(-1)=-n-,∴yn=3xn+=-3n-.∴Pn. (2)∵Cn的对称轴垂直于x轴,且顶点为Pn,∴设Cn的方程为y=ax+2-. 把Dn(0,n2+1)代入上式,得a=1,∴Cn的方程为y=x2+(2n+3)x+n2+1. ∴kn=y′|x=0=2n+3, ∴==, ∴++…+== =-. 角度4 形如an=型; 【例4】(2013·江西高考)正项数列{an}的前n项和Sn满足: S-(n2+n-1)Sn-(n2+n)=0. (1)求数列{an}的通项公式an; (2)令bn=,数列{bn}的前n项和为Tn.证明: 对于任意的n∈N*,都有Tn<. [解析] (1)由S-(n2+n-1)Sn-(n2+n)=0, 得[Sn-(n2+n)](Sn+1)=0. 由于数列{an}是正项数列,所以Sn>0,Sn=n2+n. 于是a1=S1=2,n≥2时, an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n. 综上可知,数列{an}的通项公式an=2n. (2)证明: 由于an=2n, bn=,则bn==. Tn= = <=. 【例4】已知等比数列 的前n项和为 , ,公比 , , , 成等差数列 (1)求 的通项公式 (2)设 , ,求数列 的前n项和 。 解析: (1)因为 成等差数列,所以 .化简得 .所以 .因为 ,所以 .故 (2) 角度5 形如an=型 已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=3,若数列{Sn+1}是公比为4的等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设bn=,n∈N*,求数列{bn}的前n项和Tn. 解析: (1)由题意知Sn+1=(S1+1)·4n-1=4n, 所以Sn=4n-1. 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3·4n-1,且a1=3满足上式, 所以数列{an}的通项公式为an=3·4n-1. (2)bn=== , Tn=b1+b2+…+bn= +· +…+ = =-.
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- 关 键 词:
- 裂项相 消法 讲义 提高