第11讲阿氏圆最值模型原卷版中考数学几何模型能力提升篇全国通用.docx
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第11讲阿氏圆最值模型原卷版中考数学几何模型能力提升篇全国通用
中考数学几何模型11:
阿氏圆最值模型
名师点睛拨开云雾开门见山
在前面的“胡不归”问题中,我们见识了“kPA+PB”最值问题,其中P点轨迹是直线,而当P点轨迹变为圆时,即通常我们所说的“阿氏圆”问题.
【模型来源】
“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”,如下图,已知A、B两点,点P满足PA:
PB=k(k≠1),则满足条件的所有的点P的轨迹构成的图形为圆.这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现,故称“阿氏圆”.
【模型建立】
如图1所示,⊙O的半径为R,点A、B都在⊙O外,P为⊙O上一动点,已知R=
OB,
连接PA、PB,则当“PA+
PB”的值最小时,P点的位置如何确定?
思考
解决办法:
如图2,在线段OB上截取OC使OC=
R,则可说明△BPO与△PCO相似,则有
PB=PC。
故本题求“PA+
PB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值,其中与A与C为定点,P为动点,故当A、P、C三点共线时,“PA+PC”值最小。
【技巧总结】
计算
的最小值时,利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形
问题:
在圆上找一点P使得
的值最小,解决步骤具体如下:
1.如图,将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP,OB
2.计算出这两条线段的长度比
3.在OB上取一点C,使得
,即构造△POM∽△BOP,则
,
4.则
,当A、P、C三点共线时可得最小值
典题探究启迪思维探究重点
例题1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,以点C为圆心,2为半径作圆C,分别交AC、BC于D、E两点,点P是圆C上一个动点,则
的最小值为__________.
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