初中因式分解基本方法.docx
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初中因式分解基本方法
初中因式分解基本方法
初中因式分解的基本方法
因式分解(factorization)
因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一,它被广泛地应用于初等数学之中,是我们解决许多数学问题的有力工具.因式分解方法灵活,技巧性强,学习这些方法与技巧,不仅是掌握因式分解内容所必需的,而且对于培养学生的解题技能,发展学生的思维能力,都有着十分独特的作用.初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法.而在竞赛上,又有拆项和添项法,待定系数法,双十字相乘法,轮换对称法等.
⑴提公因式法
①公因式:
各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的~.
②提公因式法:
一般地,如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提到括号外面,将多项式写成因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法.
am+bm+cm=m(a+b+c)
③具体方法:
当各项系数都是整数时,公因式的系数应取各项系数的最大公约数;字母取各项的相同的字母,而且各字母的指数取次数最低的.如果多项式的第一项是负的,一般要提出“-”号,使括号内的第一项的系数是正的.
⑵运用公式法
1平方差公式:
.a2-b2=(a+b)(a-b)
2完全平方公式:
a2±2ab+b2=(a±b)2
※能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式,另一项是这两个数(或式)的积的2倍.
③立方和公式:
a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2).
立方差公式:
a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2).
3完全立方公式:
a3±3a2b+3ab2±b3=(a±b)3
4an-bn=(a-b)[a(n-1)+a(n-2)b+……+b(n-2)a+b(n-1)]
am+bm=(a+b)[a(m-1)-a(m-2)b+……-b(m-2)a+b(m-1)](m为奇数)
⑶分组分解法
分组分解法:
把一个多项式分组后,再进行分解因式的方法.
分组分解法必须有明确目的,即分组后,可以直接提公因式或运用公式.
⑷拆项、补项法
拆项、补项法:
把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项(或几项),使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解;要注意,必须在与原多项式相等的原则进行变形.
例:
分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)
解bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)
=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)
=(c+b)(c-a)(a+b)
⑸十字相乘法
1x2+(pq)x+pq型的式子的因式分解
这类二次三项式的特点是:
二次项的系数是1;常数项是两个数的积;一次项系数是常数项的两个因数的和.因此,可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解:
x2+(pq)x+pq=(x+p)(x+q)
这个很实用,但用起来不容易.
在无法用以上的方法进行分解时,可以用下十字相乘法.
例:
x2+5x+6
首先观察,有二次项,一次项和常数项,可以采用十字相乘法.
一次项系数为1.所以可以写成1*1
常数项为6.可以写成1*6,2*3,-1*-6,-2*-3 (小数不提倡)
然后这样排列
1-2
1-3
(后面一列的位置可以调换,只要这两个数的乘积为常数项即可)
然后对角相乘,1*2=2,1*3=3.再把乘积相加.2+3=5,与一次项系数相同(有可能不相等,此时应另做尝试),所以可一写为(x+2)(x+3)(此时横着来就行了)
我再写几个式子,楼主再自己琢磨下吧.
x2-x-2=(x-2)(x+1)
解:
原式=(1+y)2+2(1+y)x2(1-y)+x4(1-y)2-2(1+y)x2(1-y)-2x2(1+y2)
=[(1+y)+x2(1-y)]2-2(1+y)x2(1-y)-2x2(1+y2)
=[(1+y)+x2(1-y)]2-(2x)2
=[(1+y)+x2(1-y)+2x][(1+y)+x2(1-y)-2x]
=(x2-x2y+2x+y+1)(x2-x2y-2x+y+1)
=[(x+1)2-y(x2-1)][(x-1)2-y(x2-1)]
=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)
2.证明:
对于任何数x,y,下式的值都不会为33
x5+3x4y-5x3y2-15x2y3+4xy4+12y5
解:
原式=(x5+3x4y)-(5x3y2+15x2y3)+(4xy4+12y5)
=x4(x+3y)-5x2y2(x+3y)+4y4(x+3y)
=(x+3y)(x4-5x2y2+4y4)
=(x+3y)(x2-4y2)(x2-y2)
=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)
当y=0时,原式=x5不等于33;当y不等于0时,x+3y,x+y,x-y,x+2y,x-2y互不相同,而33不能分成四个以上不同因数的积,所以原命题成立
(8)、换元法
整体代入,免去繁琐的麻烦,亦是建立的之前的基础上
例:
-2(x+y)+1分解因式
考虑到x+y是以整体出现,展开是十分繁琐的,用
代替x+y
那么原式=
=
回代
原式=
(9)、求根法
令多项式f(x)=0,求出其根为x1,x2,x3,……xn,则多项式可因式分解为
f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn)
例8、分解因式2x4+7x3-2x2-13x+6
解:
令f(x)=2x4+7x3-2x2-13x+6=0
通过综合除法可知,f(x)=0根为1,-3,-2,1
则2x4+7x3-2x2-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)
(10)、图象法
令y=f(x),做出函数y=f(x)的图象,找到函数图象与X轴的交点x1,x2,x3,……xn,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn)
例:
因式分解x3+2x2-5x-6
解:
令y=x3+2x2-5x-6
作出其图象,见右图,与x轴交点为-3,-1,2
则x3+2x2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)
(11)、主元法
先选定一个字母为主元,然后把各项按这个字母次数从高到低排列,再进行因式分解。
(备注:
这种方法要难一些,多练即可
即把一个字母作为主要的未知数,另一个作为常数)
例:
分解因式a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)
分析:
此题可选定a为主元,将其按次数从高到低排列
解:
a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)=a2(b-c)-a(b2-c2)+(b2c-c2b)
=(b-c)[a-a(b+c)+bc]
=(b-c)(a-b)(a-c)
(12)、利用特殊值法
将2或10代入x,求出数P,将数P分解质因数,将质因数适当的组合,并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式,将2或10还原成x,即得因式分解式。
例11、分解因式x3+9x2+23x+15
解:
令x=2,则x3+9x2+23x+15=8+36+46+15=105
将105分解成3个质因数的积,即105=3×5×7
注意到多项式中最高项的系数为1,而3、5、7分别为x+1,x+3,x+5,在x=2时的值则x3+9x2+23x+15=(x+1)(x+3)(x+5)
(13)、待定系数法
首先判断出分解因式的形式,然后设出相应整式的字母系数,求出字母系数,从而把多项式因式分解。
将式子看成方程,将方程的解代入
这时就要用到
(1)中提到的知识点了
当一个方程有一个解x=a时,该式分解后必有一个(x-a)因式
例:
+x-2
该题可以用十字相乘来做,这里介绍一种待定系数法
我们可以把它当方程做,
+x-2=0
一眼看出,该方程有一根为x=1
那么必有一因式为(x-1)
结合多项式展开原理,另一因式的常数必为2(因为乘-1要为-2)
一次项系数必为1(因为与1相乘要为1)
所以另一因式为(x+2)
原式分解为:
+x-2=(x-1)(x+2)
(14)、列竖式法
原理和小学的除法差不多
要建立在待定系数法的方程法上
不足的项要用0补
除的时候,一定要让第一项抵消
例:
3
+5
-2分解因式
提示:
x=-1可以使该式=0,有因式(x+1)
解原式=(x+1)(3
+2x-2)
(15)、解方程法
此方法是对
分解的万能方法,但在学过解方程后才会使用
设
解得方程得
∴
例:
-x-1分解因式
设
解得方程得
∴
※多项式因式分解的一般步骤:
①如果多项式的各项有公因式,那么先提公因式;
②如果各项没有公因式,那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解;
③如果用上述方法不能分解,那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解;
2分解因式,必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.
考虑到每种方法只有一个例题,下面提供一些题目,供大家练习。
(1)
(2)
(3)
(4)xy+6-2x-3y
(5)
(6)12
-29x+15
(7)(x+2)(x-3)+(x+2)(x+4)(8)x(y+2)-x-y-1
(9)4
+4xy+
-4x-2y-3(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
+2x-8(15)
+3x-10(16)
+x-6(17)2
+5x-3(18)
+4x-2
(19)
-2x-3(20)5ax+5bx+3ay+3by
(21)
-
+x-1(22)
希望同学们能掌握因式分解,把因式分解看成一种乐趣~
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