高考数学复习考点题型归类解析50二项分布与超几何分布.docx
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高考数学复习考点题型归类解析50二项分布与超几何分布
高考数学复习考点题型归类解析
专题50二项分布与超几何分布
一、关键能力
了解条件概率和两个事件相互独立的概念,理解n次独立重复试验的模型及二项分布,理解两点分布及超几何分布,并能解决一些简单的实际问题.
二、教学建议
(1)考查两点分布、n次独立重复试验的模型及其应用.
(2)离散型随机变量的分布列及其概率分布是高考命题的热点,与离散型随机变量的数字特征结合命题是主要命题方式.
三、必备知识
1.条件概率及其性质
(1)条件概率的定义
对于两个事件A和B,在已知事件B发生的条件下事件A发生的概率,称为事件B发生的条件下事件A的条件概率.
(2)条件概率的求法
求条件概率除了可借助定义中的公式,还可以借助古典概率公式,即P(B|A)=
.
2.相互独立事件
(1)对于事件A,B,若A的发生与B的发生互不影响,则称A,B相互独立.
(2)若A与B相互独立,则P(AB)=P(A)P(B).
(3)若A与B相互独立,则A与
,
与B,
与
也都相互独立.
(4)若P(AB)=P(A)P(B),则A,B相互独立.
3.二项分布
在n次独立重复试验中,用X表示事件A发生的次数,设每次试验中事件A发生的概率为p,则P(X=k)=C
pk(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n),此时称随机变量X服从二项分布,记为X~B(n,p).
4.二项分布的均值、方差
(1)若随机变量X服从两点分布,则E(X)=p,V(X)=p(1-p).
(2)若X~B(n,p),则E(X)=np,V(X)=np(1-p).
5.两点分布:
若随机变量
服从两点分布,即其分布列为
0
1
其中
,则称离散型随机变量
服从参数为
的两点分布.其中
称为成功概率.
6.超几何分布
一般地,设有N件产品,其中有M(M≤N)件次品.从中任取n(n≤N)件产品,用X表示取出的n件产品中次品的件数,那么
P(X=r)=
(r=0,1,2,…,l).
即
X
0
1
…
l
P
…
其中l=min(M,n),且n≤N,M≤N,n,M,N∈N*.
如果一个随机变量X的概率分布具有上表的形式,则称随机变量X服从超几何分布.
四、高频考点+重点题型
考点一.条件概率
例1.
(1)(2019·合肥模拟)将三颗骰子各掷一次,记事件A为“三个点数都不同”,B为“至少出现一个6点”,则条件概率P(A|B)=__________,P(B|A)=________.
(2)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数,事件A=“取到的2个数之和为偶数”,事件B=“取到的2个数均为偶数”,则P(B|A)=________.
对点练1.将外形相同的球分做装三个盒子,每盒10个.其中,第一个盒子中有7个球标有字母
,3个球标有字母
;第二个盒子中有红球和白球各5个;第三个盒子中有红球8个,白球2个.试验按如下规则进行:
先在第一个盒子中任取一个球,若取得标有字母
的球,则在第二个盒子中任取一个球;若第一次取得标有字母
的球,则在第三个盒子中任取一个球.如果第二次取出的是红球,则试验成功.求试验成功的概率.
对点练2.一道考题有4个答案,要求学生将其中的一个正确答案选择出来.某考生知道正确答案的概率为
,在乱猜时,4个答案都有机会被他选择,若他答对了,则他确实知道正确答案的概率是()
A.
B.
C.
D.
对点练3.一个盒子里有6支好晶体管,4支坏晶体管,任取两次,每次取一支,每次取后不放回,已知第一支是好晶体管,则第二支也是好晶体管的概率为( )
A.
B.
C.
D.
对点练4.在100件产品中有95件合格品,5件不合格品,现从中不放回地取两次,每次任取一件,则在第一次取到不合格品后,第二次取到不合格品的概率为________.
考点二.相互独立事件的概率
例1.某次知识竞赛规则如下:
在主办方预设的5个问题中,选手若能连续正确回答出两个问题,即停止答题,晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8,且每个问题的回答结果相互独立,则
(1)该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为________.
(2)该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为________.
(3)该选手回答了5个问题(5个问题必须全部回答)就结束的概率为________.
对点练1. 某社区举办“环保我参与”有奖问答比赛活动,某场比赛中,甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题.已知甲家庭回答正确这道题的概率是
,甲、丙两个家庭都回答错误的概率是
,乙、丙两个家庭都回答正确的概率是.若各家庭回答是否正确互不影响.
(1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率;
(2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率.
对点练2.从甲地到乙地要经过3个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立,且在各路口遇到红灯的概率分别为
,
,
.
(1)设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数,求随机变量X的分布列;
(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地,求这2辆车共遇到1个红灯的概率.
考点三.独立重复实验
例3-1.甲、乙两名运动员练习定点投球,已知在该点每次投篮甲命中的概率是0.8,乙命中的概率是0.9,每人投两次,则甲、乙都恰好命中一次的概率为( )
A.0.32 B.0.18
C.0.50D.0.0576
考点四.二项分布及应用
例4-1.九节虾的真身是虎斑虾,虾身上有一深一浅的横向纹路,煮熟后有明显的九节白色花纹,肉味鲜美.某酒店购进一批九节虾,并随机抽取了40只统计质量,得到的结果如下表所示:
质量/g
[5,15)
[15,25)
[25,35)
[35,45)
[45,55]
数量
4
12
11
8
5
(1)若购进这批九节虾35000g,且同一组数据用该组区间的中点值代表,试估计这批九节虾的数量(所得结果保留整数);
(2)以频率估计概率,若在本次购买的九节虾中随机挑选4只,记质量在[5,25)间的九节虾的数量为X,求X的分布列.
例4-2.某社区组织开展“扫黑除恶”宣传活动,为鼓励更多的人积极参与到宣传活动中来,宣传活动现场设置了抽奖环节.在盒中装有9张大小相同的精美卡片,卡片上分别印有“扫黑除恶利国利民”或“普法宣传人人参与”图案.抽奖规则:
参加者从盒中抽取卡片两张,若抽到两张分别是“普法宣传人人参与”和“扫黑除恶利国利民”卡即可获奖,否则,均为不获奖.卡片用后放回盒子,下一位参加者继续重复进行.活动开始后,一位参加者问:
“盒中有几张‘普法宣传人人参与’卡?
”主持人答:
“我只知道,从盒中抽取两张都是‘扫黑除恶利国利民’卡的概率是
.”
(1)求抽奖者获奖的概率;
(2)为了增加抽奖的趣味性,规定每个抽奖者先从装有9张卡片的盒中随机抽出1张不放回,再用剩下8张卡片按照之前的抽奖规则进行抽奖,现有甲、乙、丙三人依次抽奖,用X表示获奖的人数,求X的概率分布和均值.
例4-3.(2019·天津高考真题(理))设甲、乙两位同学上学期间,每天7:
30之前到校的概率均为
.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响,且任一同学每天到校情况相互独立.
(Ⅰ)用
表示甲同学上学期间的三天中7:
30之前到校的天数,求随机变量
的分布列和数学期望;
(Ⅱ)设
为事件“上学期间的三天中,甲同学在7:
30之前到校的天数比乙同学在7:
30之前到校的天数恰好多2”,求事件
发生的概率.
例4-4.(2020·浙江)2020年五一期间,银泰百货举办了一次有奖促销活动,消费每超过600元(含600元),均可抽奖一次,抽奖方案有两种,顾客只能选择其中的一种.方案一:
从装有10个形状、大小完全相同的小球(其中红球2个,白球1个,黑球7个)的抽奖盒中,一次性摸出3个球其中奖规则为:
若摸到2个红球和1个白球,享受免单优惠;若摸出2个红球和1个黑球则打5折;若摸出1个白球2个黑球,则打7折;其余情况不打折.方案二:
从装有10个形状、大小完全相同的小球(其中红球3个,黑球7个)的抽奖盒中,有放回每次摸取1球,连摸3次,每摸到1次红球,立减200元.
(1)若两个顾客均分别消费了600元,且均选择抽奖方案一,试求两位顾客均享受免单优惠的概率;
(2)若某顾客消费恰好满1000元,试从概率角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算?
例4-5.一款击鼓小游戏的规则如下:
每盘游戏都需击鼓三次,每次击鼓要么出现一次音乐,要么不出现音乐;每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得10分,出现两次音乐获得20分,出现三次音乐获得100分,没有出现音乐则扣除200分(即获得-200分).设每次击鼓出现音乐的概率为
,且各次击鼓出现音乐相互独立.
(1)设每盘游戏获得的分数为X,求X的分布列;
(2)玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率为多少?
考点五. 超几何分布的应用
例5-1.某项大型赛事需要从高校选拔青年志愿者,某大学学生实践中心积极参与,在8名学生会干部(其中男生5名,女生3名)中选3名参加志愿者服务活动.若所选3名学生中的女生人数为X,求X的概率分布及均值.
例5-2. PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的可入肺颗粒物.根据现行国家标准GB3095-2012,PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级;在35微克/立方米~75微克/立方米之间空气质量为二级;在75微克/立方米以上空气质量为超标.从某自然保护区2018年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本,监测值的频数分布如下表所示:
PM2.5日均值
(微克/立方米)
[25,35)
[35,45)
[45,55)
[55,65)
[65,75)
[75,85]
频数
3
1
1
1
1
3
(1)从这10天的PM2.5日均值监测数据中,随机抽出3天,求恰有一天空气质量达到一级的概率;
(2)从这10天的数据中任取3天数据,记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数,求ξ的概率分布.
例5-3.为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名,其中种子选手2名;乙协会的运动员5名,其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.
(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手,且这2名种子选手来自同一个协会”,求事件A发生的概率;
(2)设X为选出的4人中种子选手的人数,求随机变量X的分布列和均值.
例5-4.(2018年理数天津卷选)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人,进行睡眠时间的调查.
(I)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人?
(II)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.
(i)用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数,求随机变量X的分布列;
(ii)设A为事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,求事件A发生的概率.
巩固训练
一.单选题
1.(2019·石家庄模拟)袋子中装有大小、形状完全相同的2个白球和2个红球,现从中不放回地摸取两个球,已知第一次摸到的是红球,则第二次摸到白球的概率为( )
A.
B.
C.
D.
2.某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优良的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是( )
A.0.8 B.0.75
C.0.6 D.0.45
3.在一个质地均匀的小正方体的六个面中,三个面标0,两个面标1,一个面标2,将这个小正方体连续抛掷两次,若向上的数字的乘积为偶数,则该乘积为非零偶数的概率为( )
A.
B.
C.
D.
4.箱子里有5个黑球,4个白球,每次随机取出一个球,若取出黑球,则放回箱中,重新取球;若取出白球,则停止取球,那么在第4次取球之后停止的概率为( )
A.
B.
3×
C.
×
D.C
×
3×
5.“石头、剪刀、布”,又称“猜丁壳”,是一种流传多年的猜拳游戏,起源于中国,然后传到日本、朝鲜等地,随着亚欧贸易的不断发展,它传到了欧洲,到了近代逐渐风靡世界.其游戏规则是:
“石头”胜“剪刀”、“剪刀”胜“布”、而“布”又胜过“石头”.若所出的拳相同,则为和局.小明和小华两位同学进行“五局三胜制”的“石头、剪刀、布”游戏比赛,则小华获胜的概率是( )
A.
B.
C.
D.
6.(2020·濮阳模拟)如图12.61所示,已知电路中4个开关闭合的概率都是
,且是相互独立的,则灯亮的概率为( )
图12.61
A.
B.
C.
D.
二.多选题
7.甲罐中有5个红球,2个白球和3个黑球,乙罐中有4个红球,3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别以A1,A2和A3表示由甲罐取出的球是红球,白球和黑球的事件;再从乙罐中随机取出一球,以B表示由乙罐取出的球是红球的事件,则下列结论中正确的是( )
A.P(B)=
B.P(B|A1)=
C.事件B与事件A1相互独立
D.A1,A2,A3是两两互斥的事件
8.已知X+Y=8,若X~B(10,0.6),则下列说法正确的是( )
A.E(Y)=2B.E(Y)=6
C.D(Y)=2.4D.D(Y)=5.6
9.下列命题中,正确的命题的是( )
A.已知随机变量服从二项分布B(n,p),若E(X)=30,D(X)=20,则p=
B.将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后,方差恒不变
C.设随机变量ξ服从正态分布N(0,1),若P(ξ>1)=p,则P(-1<ξ≤0)=
-p
D.某人在10次射击中,击中目标的次数为X,X~B(10,0.8),则当X=8时概率最大
10.“三个臭皮匠,赛过诸葛亮”,这是我们常说的口头禅,主要是说集体智慧的强大.假设李某智商较高,他独自一人解决项目M的概率为P1=0.9;同时,有n个水平相同的人也在研究项目M,他们各自独立地解决项目M的概率都是0.5.现在李某单独研究项目M,且这n个人组成的团队也同时研究项目M,且这n个人研究项目M的结果相互独立.设这个n人团队解决项目M的概率为P2,若P2≥P1,则n的可能取值是( )
A.2B.3
C.4D.5
三.填空题
11.(2020·江苏模拟)有一批产品,其中有12件正品和4件次品,从中有放回地任取3件,若X表示取到次品的次数,则E(X)=________.
12.学校从3名男同学和2名女同学中任选2人参加志愿者服务活动,则选出的2人中至少有1名女同学的概率为________(结果用数值表示).
13.一射击测试每人射击三次,每击中目标一次记10分,没有击中记0分.某人每次击中目标的概率为
,则此人得分的数学期望为________;方差为________.
14.投掷两枚骰子,当至少一枚5点或一枚6点出现时,就说这次试验成功,则在10次试验中成功次数的均值为________.
15.设随机变量X~B
,则P(2 16.(2019·全国Ⅰ)甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时,该队获胜,决赛结束).根据前期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以4∶1获胜的概率是________. 17.一个口袋内有n(n>3)个大小相同的球,其中3个红球和(n-3)个白球,已知从口袋中随机取出1个球是红球的概率为p,6p∈N,若有放回地从口袋中连续4次取球(每次只取1个球),在4次取球中恰好2次取到红球的概率大于 ,则n=________. 18.在4次独立重复试验中,随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率,则事件A在一次试验中发生的概率p的最小值为________. 19.为向国际化大都市目标迈进,某市今年新建三大类重点工程,它们分别是30项基础设施类工程、20项民生类工程和10项产业建设类工程.现有3名民工相互独立地从这60个项目中任选一个项目参与建设,则这3名民工选择的项目所属类别各不相同的概率是________. 四.解答题 20.甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为 ,a,a(0<a<1),三人各射击一次,击中目标的次数记为ξ. (1)求ξ的概率分布列及数学期望; (2)在概率P(ξ=i)(i=0,1,2,3)中,若P(ξ=1)的值最大,求实数a的取值范围. 21.(2018·天津卷)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人,进行睡眠时间的调查. (1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人? (2)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查. ①用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数,求随机变量X的分布列; ②设A为事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,求事件A发生的概率. 22.某气象站天气预报的准确率为80%,计算(结果保留到小数点后第2位): (1)5次预报中恰有2次准确的概率; (2)5次预报中至少有2次准确的概率; (3)5次预报中恰有2次准确,且其中第3次预报准确的概率.
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