届高考数学知识立体几何初步复习讲义.docx
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届高考数学知识立体几何初步复习讲义
2012届高考数学知识立体几何初步复习讲义
高中数学复习讲义第七立体几何初步
【知识图解】【方法点拨】
立体几何研究的是现实空间,认识空间图形,可以培养学生的空间想象能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力。
空间的元素是点、线、面、体,对于线线、线面、面面的位置关系着重研究它们之间的平行与垂直关系,几何体着重研究棱柱、棱锥和球。
在复习时我们要以下几点:
1.注意提高空间想象能力。
在复习过程中要注意:
将字语言转化为图形,并明确已知元素之间的位置关系及度量关系;借助图形反映并思考未知的空间形状与位置关系;能从复杂图形中逻辑的分析出基本图形和位置关系,并借助直观感觉展开联想与猜想,进行推理与计算。
2.归纳总结,分门别类。
从知识上可以分为:
平面的基本性质、线线、线面、面面的平行与垂直、空间中角与距离的计算。
3.抓主线,攻重点。
针对一些重点内容加以训练,平行和垂直是位置关系的核心,而线面垂直又是核心的核心,角与距离的计算已经降低要求。
4.复习中要加强数学思想方法的总结与提炼。
立体几何中蕴含着丰富的思想方法,如:
将空间问题转化成平面图形解决、线线、线面与面面关系的相互转化、空间位置关系的判断及角与距离的求解转化成空间向量的运算。
第1空间几何体
【考点导读】
1.观察认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构;
2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图,能识别上述的三视图所表示的立体模型,会用斜二侧法画出它们的直观图;
3.通过观察用两种方法(平行投影与中心投影)画出的视图与直观图,了解空间图形的不同表示形式;
4了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式。
【基础练习】
1.一个凸多面体有8个顶点,①如果它是棱锥,那么它有14条棱,8个面;②如果它是棱柱,那么它有12条棱6个面。
2
(1)如图,在正四面体A-BD中,E、F、G分别是三角形AD、ABD、BD的中心,则△EFG在该正四面体各个面上的射影所有可能的序号是③④。
(2)如图,E、F分别为正方体的面ADD1A1、面B1B1的中心,则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是图的②③(要求:
把可能的图的序号都填上)
【范例导析】
例1.下列命题中,假命题是
(1)(3)。
(选出所有可能的答案)
(1)有两个面互相平行,其余各个面都是平行四边形的多面体是棱柱
(2)四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形
(3)有两个面互相平行,其余各面都是梯形的多面体是棱台
(4)若一个几何体的三视图都是矩形,则这个几何体是长方体
分析:
准确理解几何体的定义,真正把握几何体的结构特征是解决概念题的关键。
(1)中将两个斜棱柱对接在一起就是反例。
(3)中是不是棱台还要看侧棱的延长线是否交于一点。
例2.是正△AB的斜二测画法的水平放置图形的直观图,若的面积为,那么△AB的面积为_______________。
解析:
。
点评:
该题属于斜二测画法的应用,解题的关键在于建立实物图元素与直观图元素之间的对应关系。
特别底和高的对应关系。
例3.
(1)画出下列几何体的三视图
(2)某物体的三视图如下,试判断该几何体的形状
分析:
三视图是从三个不同的方向看同一物体得到的三个视图。
解析:
(1)这两个几何体的三视图分别如下:
(2)该几何体为一个正四棱锥。
点评:
画三视图之前,应把几何体的结构弄清楚,选择一个合适的主视方向。
一般先画主视图,其次画俯视图,最后画左视图。
画的时候把轮廓线要画出,被遮住的轮廓线要画成虚线。
物体上每一组成部分的三视图都应符合三条投射规律。
主视图反映物体的主要形状特征,主要体现物体的长和高,不反映物体的宽。
而俯视图和主视图共同反映物体的长要相等。
左视图和俯视图共同反映物体的宽要相等。
据此就不难得出该几何体的形状。
【反馈演练】
1.一个圆柱的侧面积展开图是一个正方形,这个圆柱的全面积与侧面积的比是。
2.如图,一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水若放入一个半径为r的实心铁球,水面高度恰好升高r,则=。
解析:
水面高度升高r,则圆柱体积增加πR2•r。
恰好是半径为r的实心铁球的体积,因此有πr3=πR2r。
故。
答案为。
点评:
本题主要考查旋转体的基础知识以及计算能力和分析、解决问题的能力。
3.在△AB中,AB=2,B=1,∠AB=120°(如图所示),若将△AB绕直线B旋转一周,则所形成的旋转体的体积是。
4.空间四边形中,,,分别是边上的点,且为平行四边形,则四边形的周长的取值范围是__。
.三棱锥中,,其余棱长均为1。
(1)求证:
;
(2)求三棱锥的体积的最大值。
解:
(1)取中点,∵与均为正三角形,
∴,
∴平面。
∴
(2)当平面时,三棱锥的高为,
此时
6.已知圆锥的侧面展开图是一个半圆,它被过底面中心1且平行于母线AB的平面所截,若截面与圆锥侧面的交线是焦参数(焦点到准线的距离)为p的抛物线
(1)求圆锥的母线与底面所成的角;
(2)求圆锥的全面积.
解:
(1)设圆锥的底面半径为R,母线长为l,
由题意得:
即,
所以母线和底面所成的角为
(2)设截面与圆锥侧面的交线为N,
其中为截面与A的交点,则1//AB且
在截面N内,以1所在有向直线为轴,为原点,建立坐标系,
则为抛物线的顶点,所以抛物线方程为x2=-2p,
点N的坐标为(R,-R),代入方程得:
R2=-2p(-R),
得:
R=2p,l=2R=4p
∴圆锥的全面积为
说明:
将立体几何与解析几何相链接,颇具新意,预示了高考命题的新动向
第2平面的性质与直线的位置关系
【考点导读】
1.掌握平面的基本性质,能够画出空间两条直线的各种位置关系,能够根据图形想象它们之间的位置关系。
2.掌握两条直线之间的平行与垂直的有关问题,并能进行解决和证明相关问题。
3.理解反证法证明的思路,会用反证法进行相关问题的证明。
【基础练习】
1下面是一些命题的叙述语,其中命题和叙述方法都正确的是(3)。
(1)∵,∴.
(2)∵,∴.
(3)∵,∴.(4)∵,∴.
2.下列推断中,错误的是(4)。
(1)
(2),A,B,不共线重合
(3)
(4)
3.判断下列命题的真假,真的打“√”,假的打“×”
(1)空间三点可以确定一个平面()
(2)两个平面若有不同的三个公共点,则两个平面重合()
(3)两条直线可以确定一个平面()
(4)若四点不共面,那么每三个点一定不共线()
()两条相交直线可以确定一个平面()
(6)三条平行直线可以确定三个平面()
(7)一条直线和一个点可以确定一个平面()
(8)两两相交的三条直线确定一个平面()
⑴×⑵×⑶×⑷√⑸√⑹×⑺×⑻×
4.如右图,点E是正方体的棱的中点,则过点E与直线和都相交的直线的条数是:
1条
.完成下列证明,已知直线a、b、不共面,它们相交于点P,A&Iir;a,D&Iir;a,B&Iir;b,E&Iir;
求证:
BD和AE是异面直线
证明:
假设__共面于g,则点A、E、B、D都在平面__内
QA&Iir;a,D&Iir;a,∴__ÌγQP&Iir;a,∴P&Iir;__
QP&Iir;b,B&Iir;b,P&Iir;,E&Iir;∴__Ìg,__Ìg,这与____矛盾
∴BD、AE__________
答案:
假设BD、AE共面于g,则点A、E、B、D都在平面g内。
∵A&Iir;a,D&Iir;a,∴aÌg∵P&Iir;a,P&Iir;g
∵P&Iir;b,B&Iir;b,P&Iir;,E&Iir;∴bÌg,Ìg,这与a、b、不共面矛盾
∴BD、AE是异面直线
【范例导析】
例1.已知,从平面外一点引向量
,
(1)求证:
四点共面;
(2)平面平面.
分析:
证明四点共面可以采用平面向量中的平面向量基本定理证明,
也可以转化为直线共面的条即几何证法。
解:
法一:
(1)∵四边形是平行四边形,∴,
∵,∴共面;
(2)∵,又∵,
∴
所以,平面平面.
法二:
(1)
∴
∴同理又∴
∴共面;
(2)由
(1)知:
,从而可证
同理可证,所以,平面平面.
点评:
熟练掌握定理是证明的关键,要学会灵活运用。
例2.已知空间四边形ABD
(1)求证:
对角线A与BD是异面直线;
(2)若A⊥BD,E,F,G,H分别这四条边AB,B,D,DA的中点,试判断四边形EFGH的形状;
(3)若AB=B=D=DA,作出异面直线A与BD的公垂线段
分析:
证明两条直线异面通常采用反证法。
证明:
(1)(反证法)假设A与BD不是异面直线,则A与BD共面,
所以A、B、、D四点共面
这与空间四边形ABD的定义矛盾
所以对角线A与BD是异面直线
(2)解:
∵E,F分别为AB,B的中点,∴EF//A,且EF=A
同理HG//A,且HG=A∴EF平行且相等HG,∴EFGH是平行四边形
又∵F,G分别为B,D的中点,∴FG//BD,∴∠EFG是异面直线A与BD所成的角
∵A⊥BD,∴∠EFG=90∴EFGH是矩形
(3)作法取BD中点E,A中点F,连EF,则EF即为所求
点评:
在空间四边形中我们通常会遇到上述类似的问题,取中点往往是很有效的方法,特别是遇到等腰三角形的时候。
例3.如图,已知E,F分别是正方体的棱和棱上的点,且,求证:
四边形是平行四边形
简证:
由可以证得≌
所以又可以由正方体的性质证明
所以四边形是平行四边形
例4:
如图,已知平面,且是垂足.
(Ⅰ)求证:
平面;
(Ⅱ)若,试判断平面与平面的位置关系,并证明你的结论.
解:
(Ⅰ)因为,所以.
同理.
又,故平面.
(Ⅱ)平面平面。
证明如下:
设与平面的交点为,
连结、.因为平面,所以,
所以是二面角的平面角.
又,所以,即.
在平面四边形中,,
所以.故平面平面.
【反馈演练】
1.判断题(对的打“√”,错的打“×”)
(1)垂直于两条异面直线的直线有且只有一条()
(2)两线段AB、D不在同一平面内,如果A=BD,AD=B,则AB⊥D()
(3)在正方体中,相邻两侧面的一对异面的对角线所成的角为60&rd;()
(4)四边形的一边不可能既和它的邻边垂直,又和它的对边垂直()
答案:
(1)×
(2)×(3)√(4)×
2.定点P不在△AB所在平面内,过P作平面α,使△AB的三个顶点到α的距离相等,这样的平面共有4个。
3.给出以下四个命题:
(1)若空间四点不共面,则其中无三点共线;
(2)若直线上有一点在平面外,则该直线在平面外;(3)若直线a,b,中,a与b共面且b与共面,则a与共面;(4)两两相交的三条直线共面。
其中所有正确命题的序号是
(1)
(2)。
4.如图,已知(A,B不重合)
过A在平面α内作直线A,过B在平面β内作直线BD。
求证:
A和BD是异面直线。
证明:
(反证法)若A和BD不是异面直线,
设确定平面γ,则由题意可知:
平面α和γ都过A和A外一点B,所以两平面重合。
同理可证平面β和γ也重合,所以平面α和β也重合。
这与已知条平面α和β相交矛盾。
所以A和BD是异面直线。
第3空间中的平行关系
【考点导读】
1.掌握直线和平面平行、两个平面平行的判定定理和性质定理。
2.明确定义与定理的不同,定义是可逆的,既是判定也是性质,而判定定理与性质定理多是不可逆的。
3.要能灵活的对“线线平行”、“线面平行”和“面面平行”进行转化。
【基础练习】
1.若为异面直线,直线∥a,则与b的位置关系是异面或相交。
2.给出下列四个命题:
①垂直于同一直线的两条直线互相平行②垂直于同一平面的两个平面互相平行
③若直线与同一平面所成的角相等,则互相平行
④若直线是异面直线,则与都相交的两条直线是异面直线
其中假命题的个数是4个。
3.对于任意的直线l与平面a,在平面a内必有直线,使与l垂直。
4已知a、b、是三条不重合的直线,α、β、r是三个不重合的平面,下面六个命题:
①a∥,b∥a∥b;②a∥r,b∥ra∥b;③α∥,β∥α∥β;
④α∥r,β∥rα∥β;⑤a∥,α∥a∥α;⑥a∥r,α∥ra∥α.
其中正确的命题是①④。
【范例导析】
例1.如图,在四面体ABD中,截面EFGH是平行四边形.
求证:
AB∥平面EFG.
证明:
∵面EFGH是截面.
∴点E,F,G,H分别在B,BD,DA,A上.
∴EH面AB,GF面ABD,
由已知,EH∥GF.∴EH∥面ABD.
又∵EH面BA,面AB∩面ABD=AB
∴EH∥AB.
∴AB∥面EFG.
例2.如图,在正方体ABD—A1B11D1中,点N在BD上,点在B1上,并且=DN
求证:
N∥平面AA1B1B
分析:
“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”是可以互相转化的。
本题可以采用任何一种转化方式。
简证:
法1:
把证“线面平行”转化为证“线线平行”。
即在平面ABB1A1内找一条直线与N平行,如图所示作平行线即可。
法2:
把证“线面平行”转化为证“线线平行”。
连N并延长交直线BA于点P,
连B1P,就是所找直线,然后再设法证明N∥B1P
法3:
把证“线面平行”转化为证“面面平行”。
过作Q//BB1交B于B1,连NQ,则平面NQ与平面ABB1A1平行,
从而证得N∥平面ABB1A1
点评:
证明线面或面面平行的时候一定要注意相互的转化,非常灵活。
【反馈演练】
1.对于平面和共面的直线、下列命题中真命题是(3)。
(1)若则
(2)若则
(3)若则 (4)若、与所成的角相等,则
2设a、b是两条异面直线,那么下列四个命题中的假命题是
(2)。
(1)经过直线a有且只有一个平面平行于直线b
(2)经过直线a有且只有一个平面垂直于直线b
(3)存在分别经过直线a和b的两个互相平行的平面
(4)存在分别经过直线a和b的两个互相垂直的平面
3.关于直线a、b、l及平面、N,下列命题中正确的是(4)。
(1)若a∥,b∥,则a∥b
(2)若a∥,b⊥a,则b⊥
(3)若a,b,且l⊥a,l⊥b,则l⊥(4)若a⊥,a∥N,则⊥N
4.“任意的,均有”是“任意,均有”的充要条。
在正方体A1中,过A1且平行于AB的截面是面A1B1D
6.在长方体ABD—A1B11D1中,经过其对角线BD1的平面分别与棱AA1,1相交于E,F两点,则四边形EBFD!
的形状为平行四边形。
7已知P为平行四边形ABCD所在平面外一点,M为PB的中点,
求证:
PD∥平面MAC.
证明连AC交BD于O,连MO,
则MO为△PBD的中位线,
∴PD∥MO,∵PD平面MAC,MO平面MAC,
∴PD∥平面MAC.
8.如图,已知是平行四边形所在平面外一点,、分别是、的中点
(1)求证:
平面;
(2)若,,求异面直线与所成的角的大小
略证:
(1)取PD的中点H,连接AH,
为平行四边形
(2):
连接A并取其中点为,连接、N,则平行且等于B的一半,N平行且等于PA的一半,所以就是异面直线与所成的角,由,得,=2,N=
所以,即异面直线与成的角
9.两个全等的正方形ABD和ABEF所在平面相交于AB,∈A,N∈FB,且A=FN,求证:
N∥平面BE。
证法一:
作P⊥B,NQ⊥BE,P、Q为垂足,
则P∥AB,NQ∥AB。
∴P∥NQ,又A=NF,A=BF,
∴=NB,∠P=∠NBQ=4°
∴Rt△P≌Rt△NBQ
∴P=NQ,故四边形PQN为平行四边形
∴N∥PQ
∵PQ平面BE,N在平面BE外,
∴N∥平面BE。
证法二:
如图过作H⊥AB于H,则H∥B,
∴
连结NH,由BF=A,FN=A,得
∴NH//AF//BE
由H//B,NH//BE得:
平面NH//平面BE
∴N∥平面BE。
第4空间中的垂直关系
【考点导读】
1.掌握直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理,并能用它们证明和解决有关问题。
2.线面垂直是线线垂直与面面垂直的枢纽,要理清楚它们之间的关系,学会互相转化,善于利用转化思想。
【基础练习】
1.“直线垂直于平面内的无数条直线”是“”的必要条。
2.如果两个平面同时垂直于第三个平面,则这两个平面的位置关系是平行或相交。
3.在正方体中,与正方体的一条对角线垂直的面对角线的条数是6。
4.两个平面互相垂直,一条直线和其中一个平面平行,则这条直线和另一个平面的位置关系是平行、相交或在另一个平面内。
.在正方体中,写出过顶点A的一个平面__AB1D1_____,使该平面与正方体的12条棱所在的直线所成的角均相等(注:
填上你认为正确的一个平面即可,不必考虑所有可能的情况)。
【范例导析】
例1.如图,在四棱锥P—ABD中,底面ABD是正方形,侧棱PD⊥底面ABD,PD=D,E是P的中点,作EF⊥PB交PB于点F
(1)证明PA//平面EDB;
(2)证明PB⊥平面EFD
解析:
本小题考查直线与平面平行,直线与平面垂直基础知识,考查空间想象能力和推理论证能力
证明:
(1)连结A,A交BD于,连结E
∵底面ABD是正方形,∴点是A的中点
在中,E是中位线,∴PA//E
而平面EDB且平面EDB,
所以,PA//平面EDB
(2)∵PD⊥底面ABD且底面ABD,∴
∵PD=D,可知是等腰直角三角形,而DE是斜边P的中线,
∴①
同样由PD⊥底面ABD,得PD⊥B
∵底面ABD是正方形,有D⊥B,∴B⊥平面PD
而平面PD,∴②
由①和②推得平面PB而平面PB,∴
又且,所以PB⊥平面EFD
例2.如图,△AB为正三角形,E⊥平面AB,BD∥E,E=A=2BD,是EA的中点,
求证:
(1)DE=DA;
(2)平面BD⊥平面EA;
(3)平面DEA⊥平面EA。
分析:
(1)证明DE=DA,可以通过图形分割,证明△DEF≌△DBA。
(2)证明面面垂直的关键在于寻找平面内一直线垂直于另一平面。
由
(1)知D⊥EA,取A中点N,连结N、NB,易得四边形NBD是矩形。
从而证明D⊥平面EA。
证明:
(1)如图,取E中点F,连结DF。
∵E⊥平面AB,BD∥E,得DB⊥平面AB。
∴DB⊥AB,E⊥B。
∵BD∥E,BD=E=F,
则四边形FBD是矩形,DF⊥E。
又BA=B=DF,∴Rt△DEF≌Rt△ABD,所以DE=DA。
(2)取A中点N,连结N、NB,
∵是EA的中点,∴NE。
由BDE,且BD⊥平面AB,可得四边形NBD是矩形,于是D⊥N。
∵DE=DA,是EA的中点,∴D⊥EA.又EAN=,
∴D⊥平面EA,而D平面BD,则平面EA⊥平面BD。
(3)∵D⊥平面EA,D平面DEA,
∴平面DEA⊥平面EA。
点评:
面面垂直的问题常常转化为线面垂直、线线垂直的问题解决。
例3.如图,直三棱柱AB—A1B11中,A=B=1,
∠AB=90°,AA1=,D是A1B1中点.
(1)求证1D⊥平面A1B;
(2)当点F在BB1上什么位置时,
会使得AB1⊥平面1DF?
并证明你的结论。
分析:
(1)由于1D所在平面A1B11垂直平面A1B,只要证明1D垂直交线A1B1,由直线与平面垂直判定定理可得1D⊥平面A1B。
(2)由
(1)得1D⊥AB1,只要过D作AB1的垂线,它与BB1的交点即为所求的F点位置。
证明:
(1)如图,∵AB—A1B11是直三棱柱,
∴A11=B11=1,且∠A11B1=90°。
又D是A1B1的中点,
∴1D⊥A1B1∵AA1⊥平面A1B11,1D平面A1B11,
∴AA1⊥1D,∴1D⊥平面AA1B1B。
(2)解:
作DE⊥AB1交AB1于E,延长DE交BB1于F,连结1F,则AB1⊥平面1DF,点F即为所求。
∵1D⊥平面AA1BB,AB1平面AA1B1B,
∴1D⊥AB1.又AB1⊥DF,DF1D=D,∴AB1⊥平面1DF。
点评:
本题
(1)的证明中,证得1D⊥A1B1后,由AB—A1B11是直三棱柱知平面1A1B1⊥平面AA1B1B,立得1D⊥平面AA1B1B。
(2)是开放性探索问题,注意采用逆向思维的方法分析问题。
【反馈演练】
1.下列命题中错误的是(3)。
(1)若一直线垂直于一平面,则此直线必垂直于这一平面内所有直线
(2)若一平面经过另一平面的垂线,则两个平面互相垂直
(3)若一条直线垂直于平面内的一条直线,则此直线垂直于这一平面
(4)若平面内的一条直线和这一平面的一条斜线的射影垂直,则它也和这条斜线垂直
2.设是空间的不同直线或不同平面,且直线不在平面内,下列条中能保证“若
,且”为真命题的是①③④(填所有正确条的代号)
①x为直线,,z为平面②x,,z为平面
③x,为直线,z为平面④x,为平面,z为直线
⑤x,,z为直线
3.在三棱锥的四个面中,直角三角形最多可以有___4__个。
4.若的中点到平面的距离为,点到平面的距离为,则点到平面的距离为_2或14________。
.命题A:
底面为正三角形,且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥。
命题A的等价命题B可以是:
底面为正三角形,且的三棱锥是正三棱锥。
答案:
侧棱相等(或侧棱与底面所成角相等……)
6.α、β是两个不同的平面,、n是平面α及β之外的两条不同直线给出四个论断:
①⊥n②α⊥β③n⊥β④⊥α
以其中三个论断作为条,余下一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题:
。
答案:
⊥α,n⊥β,α⊥β⊥n或⊥n,⊥α,n⊥βα⊥β
7.在直角梯形ABD中,∠A=∠D=90°,AB<D,SD⊥平面ABD,AB=AD=a,SD=,在线段SA上取一点E(不含端点)使E=A,截面DE与SB交于点F。
(1)求证:
四边形EFD为直角梯形;
(2)设SB的中点为,当的值是多少时,能使△D为直角三角形?
请给出证明
解:
(1)∵ D∥AB,AB平面SAB∴D∥平面SAB
面EFD∩面SAB=EF,
∴D∥EF∵
又面
∴平面SAD,∴又
为直角梯形
(2)当时,为直角三角形
平面平面
在中,为SB中点,
平面平面
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