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阵列信号处理是现代信号处理的一个重要分支,它的基本理论源于Wiener滤波,理论研究自上世纪六十年代开始,在五十年的发展中,阵列信号处理主要经历了三个阶段:
六十年代到七十年代,自适应波束形成技术开始发展并逐渐成熟,诸如自适应相控天线、自适应波束操纵天线等;
七十年代主要集中在自适应零点控制上,诸如自适应滤波、自适应置零技术、自适应副瓣对消等;
八十年代主要集中在空间谱估计上,诸如特征空间正交谱估计、最大似然谱估计、最大熵谱估计等。
为了能够自适应地抑制不断变化的外部环境干扰,人们研究了自适应数字波束形成。
自适应阵列的核心问题是对期望信号有效接收,对干扰信号尽量抑制,这是通过调整各阵元的权值实现的,各阵元的权值组成阵列全矢量,决定了自适应阵列的方向图,即决定了自适应阵列的性能。
1964年,IEEEAP出版了自适应阵列的第一个专刊,总结了主波束自适应控制阶段的研究情况;
1976年,IEEEAP出版了自适应阵列的第二个专刊,总结了自适应零陷生成技术;
1986年,IEEEAP出版了自适应阵列的第三个专刊,主要介绍了超分辨空间谱估计技术。
近年来,利用信号自身特性来克服阵列模型误差的盲阵列信号处理方法以其较大的适应性逐渐受到人们的重视。
可见,在阵列信号处理中,自适应波束形成研究受到人们的重视。
但是经典的波束形成器(非自适应波束形成器),比如说加窗波束形成器,同样值得深入研究。
加窗是一种常见的信号处理方法,利用窗函数控制旁瓣泄露也是信号处理领域的一个基本问题。
在时域中,不可避免地遇到数据截断问题,即将长序列变成有限长的短序列,用窗函数来截断信号是常用的方法。
而在阵列信号中,采用空间加窗技术,目的在于控制波束响应的旁瓣幅度和主瓣宽度。
此时,窗函数又叫幅度加权或谱加权,《统计与自适应信号处理》一书将窗函数称为锥形截取,将相应的波束形成器称为锥化截取波束形成器。
常见的窗函数有汉宁窗、汉明窗、布莱克曼窗等,不同的窗函数,多数是在上世纪根据其首创者的名字命名的,比如汉宁窗是由奥地利气象学家VonHann提出的,有时称为Hanning加权。
采用窗函数法可以设计出较低旁瓣的波束形成器,低旁瓣则可以有效抑制来自旁瓣区域的干扰,从而降低目标虚警概率。
矩形窗、汉宁窗、汉明窗等在分辨率(主瓣宽度)和泄露(旁瓣谱峰的水平)做了等级不同的折衷,这些窗被认为是固定的,都有不依赖于长度N的泄露。
不同于固定窗,有一些窗包含了一个设计参数,可以在分辨率和泄露之间折衷,最经典的是Dolph于1946年提出的在波束主瓣宽度与旁瓣级之间寻优的Dolph-Chebyshev波束设计方法,Dolph-Chebyshev窗的特点是旁瓣谱峰的水平恒定,也就是具有“等幅波纹”的性质。
1947年,Riblet将Dolph的方法进一步推广,称为Riblet-Chebyshev方法,当阵元间隔小于半波长且阵元数不小于7的奇数时,Riblet-Chebyshev法能获得更窄的主瓣。
但是,窗函数法只适合于规则阵型的基阵,而且要求各阵元各向同性且阵元间不存在差异,否则波束图会发生扭曲。
由此可见,将时域中常用的信号处理方法——加窗法推广到空域的阵列信号中时,适用的条件变得苛刻,能应用的场合也大大减少。
1.3本文研究的内容
如果阵列信号波束形成器的旁瓣较高,干扰就会对波束的输出产生较大的影响,本论文的研究内容就是通过对阵列信号加窗来降低波束旁瓣。
本文第一章简要介绍了阵列信号应用的背景,以及窗函数。
第二章建立了阵列信号处理的数学模型——ULA窄带信号模型,然后从波束形成的角度定义了波束响应,从而引出了波束图,通过波束图的各参数可以直观地比较各个窗函数。
第三章介绍了几种常用的窗函数,并分别对阵列信号加窗,再用Matlab仿真加窗后的波束图。
2阵列信号模型
2.1ULA窄带信号数学模型
ULA(UniformLinearArray)指的是均匀线性阵列,这个阵列由位于直线上的有相同间隔的一系列阵元构成。
我们选取图2-1所示的坐标系,使M个阵元均匀分布于x轴,各阵元间隔为d。
阵列窄带信号假设是指:
信号带宽Bs和通过阵列任两个阵元之间的最大传播时间∆Tmax满足
Bs∙∆Tmax≪1(2-1)
此时对应的信号是窄带信号。
图2-1均匀线性阵列示意图
从ULA接收噪声环境中的单个空间信号开始建立阵列信号模型,考虑ULA接收从角度θ入射的信号的情况,每个阵元均接收到在空间传播的该信号,ULA接收的数据包括期望信号、噪声和干扰三部分,此时ULA接收数据表示成M×
1维向量的形式为
xt=βxst+nt+xit(2-2)
其中
xt=x1tx2t⋯xMtT(2-3)
nt为ULA接收的M×
1维噪声向量,即
nt=n1tn2t⋯nMtT(2-4)
β=0或1,用于表示期望信号是否包含在接收数据中,在以后的叙述中,都认为β=1;
xit表示干扰,即非期望信号。
在信号处理时,为了表达方便,有时将干扰与期望信号归为多个信号源,而有时又将干扰归为噪声一类。
此信号模型同时假定:
(1)传播介质均匀且各向同性,ULA位于信号点源的远场,近似认为接收到的信号为平面波;
(2)阵元的几何尺寸远小于入射平面波的波长,且阵元无指向性,可近似认为阵元是点元,同时阵元间距d远大于阵元尺寸,阵元间相互影响可忽略不计;
(3)阵元接收到的噪声彼此独立,为平稳、零均值的加性高斯白噪声。
先考虑单个信号以θ的入射角到达ULA的M个阵元的情况,如图2-1,信号源与各阵元的距离不同,经过不同的传播时间后到达各阵元,会产生延时。
取左边第一个阵元为参考阵元,假设在参考点观察的信号波形为st,经过传播延时,第m个阵元位置观察的信号波形为
smt=st-τmθ,m=1,⋯,M(2-5)
在ULA中
τmθ=-m-1dcosθc,m=1,⋯,M(2-6)
式中,c是波传播速度;
θ∈Θ,Θ为信号所有可能方向的集合,这里Θ=0π。
此时,可将ULA接收信号写成M×
1维向量形式
xst=s1ts2t⋯sMtT(2-7)
将式(2-5)进行傅里叶变换,有
Smω=-∞∞st-τmθe-jωtdt=Sωe-jωτmθ(2-8)
式中Sω表示信号st的频谱,ω=2πf表示角频率,f表示频率。
如果将在各阵元位置观察到的信号频谱用一个M×
1维列向量表示,由(2-7)和(2-8)可得
Xsω=S1ωS2ω⋮SMω=e-jωτ1e-jωτ2⋮e-jωτMSω=1ej2πλdcosθ⋮ej2πλM-1dcosθSω(2-9)
将
aθ=1ej2πλdcosθ⋯ej2πλM-1dcosθT(2-10)
定义为ULA的阵列响应向量,或者阵列流形向量,它包含了阵列所有空间特征。
推导中用到了公式c=λf。
2.2波束形成和波束响应
阵元对信号场进行空域采样,产生一组信号,对每一个阵元的输出用一个线性时不变滤波器进行处理,该滤波器的冲激响应为hmτ,并对所有输出求和,得到阵列的输出yt,过程如图2-2。
图2-2波束形成原理框图
由此可得到波束形成一般的定义:
对基阵各阵元采集数据,再进行线性时不变滤波,求和后得到波束输出。
虽然ULA的阵元是全向的,但是阵列的输出经过加权求和后,却可以被调整到阵列接受的方向增益聚集在一个方向上,相当于形成了一个“波束”,这就是波束形成的物理意义所在。
更一般情况下,需要对各阵元数据同时进行幅度加权与相移,于是,在窄带模型下,采用一个复数加权代替图2-2中的线性时不变滤波,对应的窄带波束形成器如图2-3。
图2-3窄带波束形成器
将窄带波束形成器的加权值写成向量的形式,我们称w为加权向量
w=w1w2⋯wMT(2-11)
若将各阵元的数据在时间上取离散值,写成向量形式,则ULA上的离散数据可表示成包含各个阵元数据的M×
1维向量
xn=x1nx2n⋯xMnT(2-12)
xmn是xmt的离散形式,对该向量的单次观测或测量称做基阵的一个快拍(或者阵列瞬态映像)。
对窄带快拍数据进行加权求和,得到波束形成器的输出快拍为
yn=wTxn (2-13)
上式表示的是第n次快拍,由于信号满足窄带假设,各阵元的包络相同,所以阵列输出的信号波形也与各阵元的相同,而与加权向量无关,加权向量的作用是改变输出的复振幅,包括振幅值和相位值,即令
w=wm⨀wθ (2-14)
式中,wm即表示幅度上的加权,把它称为幅度加权向量;
wθ表示相位上的加权,把它称为相位加权向量,它只确定波束图的主瓣方向;
⨀表示点积,也叫Hadamard乘积,它表示两个向量各对应元素之间的乘积。
在ULA中,由于信号传播引起的不同阵元上的时间差已经讨论过,相位加权向量简单理解就是信号入射方向上的阵列响应向量,即
wθ=aθ (2-15)
可令
pθ=wTmaθ ,θ∈0π (2-16)
把pθ称为阵列的波束响应,它用来描述波束形成器的性能。
波束响应用于考察波束形成器的空间响应特性,表示ULA对不同方位到达信号的复增益。
令u=cosθ,那么波束响应在u空间可以写成
pu=wTmau ,u∈-11 (2-17)
2.3波束图及其参数
对于确定的波束形成加权向量w,对(2-15)式进行归一化,即
Pu=pumaxpu (2-18)
然后画出波束响应能量相对于方位的函数,即
PudB=20lgPu (2-19)
便得到波束形成器的指向性图,也称波束图。
波束图显示的是基阵对不同方位到达信号响应情况,它可用于评估其他方向干扰与噪声对感兴趣方向信号产生的影响大小。
考虑一个均匀加权的15阵元组成的ULA,即令wm=1,阵元间隔为半个波长,期望方向为θ=90°
,此时u=0。
采用(2-16)式计算波束响应pθ
pu=k=1Mejπk-1u=sinMπ2usinπ2ue-jπ2M-1u (2-20)
归一化,得
Pu=1Mk=1Mejπk-1u=1MsinMπ2usinπ2ue-jπ2M-1u (2-21)
取其对数20lgpu,得到的波束图显示在图(2-4)中。
后文中,均认为阵元间隔为半波长,并把这样的ULA称为标准线阵列。
图2-4均匀加权ULA的波束图
从图(2-4)可以看到,波束图由多个瓣组成,主峰出现在u=0,即期望方向θ=90°
上,以u=0为中心的幅度响应最大的瓣称做主瓣,其余幅度响应较小的瓣称做旁瓣。
由于计算波束图使用了归一化,期望方向上波束响应的值为1(0dB),而其余观测方向上的幅度响应均小于1,这表明当信号从这些方向入射时,信号功率将有损失。
波束图的参数主要有:
(1)主瓣宽度;
(2)第一旁瓣的幅度;
(3)到第一零点的距离;
(4)到第一旁瓣的距离;
(5)其余零点的位置;
(6)旁瓣衰减的速率;
(7)栅瓣。
后文中用主瓣宽度和第一旁瓣的幅度来衡量加窗波束形成器的性能,所以这里对主瓣宽度和第一旁瓣的幅度做更详细的介绍。
主瓣宽度是指主瓣的角度张开范围,定义为
Pu2=0.5或者Pu=1/2 (2-22)
的点,通常用波束图中的半功率点(相对最大增益下降3dB处的宽度)度量,所以叫3dB带宽或者半功率带宽。
主瓣宽度决定波束形成器的分辨率,小的主瓣宽度给出更好的角度分辨率,反之则越低,高的阵列分辨率更有利于将空间来向较接近的有用目标和干扰信号分开。
一般情况下,主瓣之外的第一个旁瓣是所有旁瓣中幅度响应最大的一个。
它的高度决定了波束形成器对观测方向以外方向上到达信号的抑制能力,即抑制噪声干扰和假目标的能力。
此外,为了后文的表达方便,用旁瓣级表示最高旁瓣值与期望信号主瓣指之差的对数。
首先分别计算均匀加权时的主瓣宽度和第一旁瓣的幅度。
根据(2-22)计算主瓣宽度时,发现当M≥10时,可以得到式(2-22)的一个近似值
Mdπλu=1.4 (2-23)
主瓣宽度∆u=2u=0.8912M。
旁瓣极大值的位置出现在波束响应中的分子逼近极大值的时候,对于均匀加权来说,即令
sinMπ2u=1 (2-24)
则
u=±
2m+1Mλ2d (2-25)
第一旁瓣的峰值出现在
3Mπ (2-26)
带入公式,可近似得到
Pu≅23π (2-27)
或者-13.5dB。
这意味着一个信号如果在这个旁瓣的位置入射,且比在u=0的信号高13.5dB,则这两个信号将产生相同的响应。
3加窗波束的形成
许多情况下,ULA接收的信号不仅仅包括主波束方向上的期望信号和加性噪声,还有其他不想要的信号,比如空间的非均匀噪声和明显从某个方向入射的非期望信号,它们妨碍提取有用的信号,而且这些信号可能以与阵列期望信号相同的频率传播,这些信号被称为干扰。
当主瓣以外的方向上有干扰时,而原有副瓣电平不足以抑制干扰,这时可以考虑用加窗的方法进行克服,以减小非主瓣方向上的入射信号(干扰)对期望信号的影响。
当阵元施加窗函数时,计算波束响应通常有两种方法:
1.已知加权系数计算,这与时间序列分析中适用各种窗函数是等效的;
2.按照要求的参数,通过函数逼近法求解所需的加权系数,典型且常用的一种窗是Dolph-Chebyshev窗。
下面先对要用到的窗函数进行简单的介绍。
3.1常用的窗函数
窗函数本身的研究及应用是信号处理中的一个基本问题。
在时间序列的信号处理中,不可避免地遇到数据的截短问题,而在实际工作中能处理的离散序列总是有限长的,所以把一个长序列变成有限长的短序列不可避免地要用到窗函数。
在阵列信号处理中,用一个向量来综合各个阵元上的幅度值,并把这个向量称为窗函数。
在式(2-14)中,幅度加权向量wm即是要讨论的窗函数,它决定波束图的形状,包括主瓣宽度、第一旁瓣的高度等衡量波束图性能的主要参数。
在阵列信号处理中,习惯把幅度加权称为窗函数,这里的窗函数与时间序列分析中的窗函数是一致的。
常用的窗函数wm有以下几种。
(1)矩形窗:
wm=1,m=1,⋯,M
(2)汉宁窗:
wm=0.51-cos2πmM,m=1,⋯,M
(3)汉明窗:
wm=0.54-0.46cos2πmM,m=1,⋯,M
(4)布莱克曼窗:
wm=0.42-0.5cos2πmM+0.08cos4πmM ,m=1,⋯,M
可以看到,矩形窗、汉宁窗、汉明窗、布莱克曼窗都是广义余弦窗的特殊形式,即满足
wm=A-Bcos2πmM+Ccos4πmMm=1,⋯,M0其他 (3-1)
表3-1四种窗函数说明
窗函数
A
B
C
说明
矩形窗
1
最基本的窗函数,也叫均匀加权,通常认为它和未加窗是等效的
汉宁窗
0.5
是两个余弦窗之乘积,又称升余弦窗
汉明窗
0.54
0.46
矩形窗和汉宁窗之和,是一种改进的汉明窗
布莱克曼窗
0.42
0.08
二阶升余弦窗
表3-1给出了矩形窗、汉宁窗、汉明窗、布莱克曼窗wm的说明。
画出wm,如图(3-1)。
图3-1矩形窗、汉宁窗、汉明窗和布莱克曼窗
3.2加窗波束
为了表述方便,把第m个阵元的位置用下面的标号来表示
m=m-M-12-1,m=-M-12,⋯,M-12(m=1,⋯,M)(3-2)
根据(2-17)矩形窗的波束响应可表示为
pu=sinMπ2usinπ2u (3-3)
同样,可得汉宁窗的的波束响应可以表示为
pu=0.5sinMπ2usinπ2u-0.25sinMπ22M-usinπ22M-u+sinMπ22M+usinπ22M+ue-jπu (3-4)
汉明窗的波束响应可表示为
pu=0.54sinMπ2usinπ2u-0.23sinMπ22M-usinπ22M-u+sinMπ22M+usinπ22M+ue-jπu (3-5)
布莱克曼窗的波束响应可表示为
pu=0.42sinMπ2usinπ2u-0.25sinMπ22M-usinπ22M-u+sinMπ22M+usinπ22M+ue-jπu+
0.04sinMπ24M-usinπ24M-u+sinMπ24M+usinπ24M+ue-jπu (3-6)
根据矩形窗、汉明窗、汉宁窗和布莱克曼窗的波束响应,分别画出M=20的波束图,如图(3-2)。
图3-2矩形窗、汉宁窗、汉明窗、布莱克曼窗的波束图
从图(3-2)中可以看到,矩形窗的主瓣宽度最窄,但是旁瓣幅度最高。
汉宁窗和汉明窗的主瓣稍宽,但是有较小的旁瓣幅度。
布莱克曼窗给出了很低的旁瓣级,但是此付出的代价是主瓣变宽。
从图中还可以看到窗函数的其他特性。
汉宁窗随着观测方向远离主瓣方向,旁瓣高度迅速下降。
汉明窗第一旁瓣的幅度比汉宁窗的低,主瓣宽度也比汉宁窗的窄,原因是它具有步进或导数不连续性,从而对消掉了主波束附近的高旁瓣,获得了较低的旁瓣,所以在实际中,汉明窗受到更广的应用。
为了更详细地比较加窗对均匀线性阵列的影响,将矩形窗、汉宁窗、汉明窗和布莱克曼窗的波束图放在一个坐标系,如图(3-3)。
图3-3加窗波束的比较
从图(3-3)可得,主瓣宽度最窄的矩形窗旁瓣幅度最高,而主瓣宽度最宽的布莱克曼窗旁瓣幅度最低。
可见,随着主瓣宽度的增大,旁瓣幅度一般会降低。
最理想的窗函数,其主瓣窄而陡,其旁瓣小而少,但是一般情况下,二者是相互矛盾的,为此只能根据具体对象分析,抓住主要矛盾,或采取折中方案。
在2.3小节中,已经计算过了矩形窗的主瓣宽度和旁瓣幅度,再来计算其他窗函数的主瓣宽度,并填入表(3-2)。
从表(3-2)中可以看出,旁瓣幅度和阵元数目M没有关系,是一个固定值,而主瓣宽度则与阵元数目M相关。
表(3-2)同时给出了将要讨论的Dolph-Chebyshev窗的旁瓣级和主瓣宽度,这两个参数是可调的。
可见,与阵列信号不加窗(或加矩形窗)相比,阵列信号加窗后,根据窗函数不同,旁瓣水平有不同程度地降低。
表3-2窗函数的旁瓣级和主瓣宽度
DC窗
旁瓣级(dB)
-13
-32
-43
-58
可调
主瓣宽度
0.892M
1.442M
1.32M
1.682M
可调
3.3Dolph-Chebyshev窗
不同的窗函数给出的波束图将会有不同的旁瓣幅度和主瓣宽度,前面讨论了通过加窗的特性来控制波束图的旁瓣,但是,它们不能控制旁瓣的高度,接下来就给出能够对旁瓣幅度进行调节的Dolph-Chebyshev窗。
下面简单介绍Dolph-Chebyshev窗的设计方法。
理想的ULA波束图是一个实对称函数,所以权值wm将是实对称的。
假设阵元个数M为奇数,定义权值为
an=wm|m=n+M-12,n=-M-12,⋯,M-12 (3-7)
an=a-n (3-8)
那么,波束响应可以写成
pθ=a0+2n=1M-12anRee-j2πλdcosθ (3-9)
令
φ=2πλdcosθ (3-10)
那么(3-9)可简化为
pφ=a0+2n=1M-12ancosnφ (3-11)
同样,M为偶数时,波束响应可写成
pφ=2n=1M2ancosn-12φ (3-12)
把cosnφ2表示为cosnφ2的和,当n=4时,有
n=0,cosnφ2=1n=1,cosnφ2=cosφ2n=2,cosnφ2=2cosφ22-1n=3,cosnφ2=4cosφ23-3cosφ2n=4,cosnφ2=8cosφ24-8cosφ22+1 (3-13)
式(3-13)可表示为附录A中(A-5)的形式,为Chebyshev多项式。
由Chebyshev多项式的性质可知,当使用Dolph-Chebyshev方法给基阵进行加窗时,x<
1的区间被用来构成波束图的旁瓣区,因此产生“等旁瓣”的效果,其幅值的绝对值等于该区间内最大值和最小值的绝对值,即等于1。
波束图的主瓣区在x0>
1的区间内,主瓣幅度的绝对值对应于Tmx。
定义主瓣高度与旁瓣高度的比值为
R=主瓣高度旁瓣水平=Tmx0>
1 (3-14)
即
x0=cosh1marccoshR (3-15)
显然,采用DC方法进行基阵幅度加权时,主瓣高度与旁瓣高度之比可以根据要求设定,然后由该比值来确定x0的值,即从Tmx0中解出x0。
设计Dolph-Chebyshev窗的步骤如下:
(1)对于一个M阵元的阵列,选择一个同样阶数的Chebyshev多项式Tmx,m=M-1 (3-16)
(2)选择R并解得x0。
(3)由于R>
1,所以x0>
1。
但是为了使用式(A-3),选择定义一个新的变量t,改变尺度
t=xx0 (3-17)
并令
t=cosφ2 (3-18)
x=x0cosφ2 (3-19)
(4)波束响应
pθ=1RTm-1x0cosφ2 (3-20)
对一个15元的ULA,假设给定的旁瓣水平分别为-40dB、-50dB和-60dB,根据公式(3-14)~(3-20),可求
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