中考数学复习第课时二次函数的图像与性质测试1.docx
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中考数学复习第课时二次函数的图像与性质测试1
第三单元函数
第十三课时二次函数的图像与性质
基础达标训练
1.(2017哈尔滨)抛物线y=-(x+)2-3的顶点坐标是( )
A.(,-3)B.(-,-3)C.(,3)D.(-,3)
2.(2017金华)对于二次函数y=-(x-1)2+2的图象与性质,下列说法正确的是( )
A.对称轴是直线x=1,最小值是2
B.对称轴是直线x=1,最大值是2
C.对称轴是直线x=-1,最小值是2
D.对称轴是直线x=-1,最大值是2
第3题图
3.(2017长沙中考模拟卷五)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的对称轴是直线x=1,且经过点P(3,0),则a-b+c的值为( )
A.0 B.-1
C.1 D.2
4.(2017连云港)已知抛物线y=ax2(a>0)过A(-2,y1),B(1,y2)两点,则下列关系式一定正确的是( )
A.y1>0>y2B.y2>0>y1
C.y1>y2>0D.y2>y1>0
第5题图
5.(2017六盘水)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则( )
A.b>0,c>0
B.b>0,c<0
C.b<0,c<0
D.b<0,c>0
6.将抛物线y=3x2-3向右平移3个单位长度,得到新抛物线的表达式为( )
A.y=3(x-3)2-3B.y=3x2
C.y=3(x+3)2-3D.y=3x2-6
7.(2017宁波)抛物线y=x2-2x+m2+2(m是常数)的顶点在( )
A.第一象限B.第二象限
C.第二象限D.第三象限
第8题图
8.(2017鄂州)已知二次函数y=(x+m)2-n的图象如图所示,则一次函数y=mx+n与反比例函数y=的图象可能是( )
9.(2017随州)对于二次函数y=x2-2mx-3,下列结论错误的是( )
A.它的图象与x轴有两个交点
B.方程x2-2mx=3的两根之积为-3
C.它的图象的对称轴在y轴的右侧
D.x 10.(2017徐州)若函数y=x2-2x+b的图象与坐标轴有三个交点,则b的取值范围是( ) A.b<1且b≠0B.b>1 C.0 11.(2017眉山)若一次函数y=(a+1)x+a的图象过第一、三、四象限,则二次函数y=ax2-ax( ) A.有最大值B.有最大值- C.有最小值D.有最小值- 12.(2017兰州)下表是一组二次函数y=x2+3x-5的自变量x与函数值y的对应值: x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 y -1 -0.49 0.04 0.59 1.16 那么方程x2+3x-5=0的一个近似根是( ) A.1B.1.1C.1.2D.1.3 第13题图 13.(2017河北)如图,若抛物线y=-x2+3与x轴围在封闭区域(边界除外)内整点(点的横、纵坐标都是整数)的个数为k,则反比例函数y=(x>0)的图象是( ) 14.(2017长沙中考模拟卷六)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示, 第14题图 现有下列结论: ①b2-4ac>0;②abc>0;③>-8;④9a+3b+c<0.其中,正确结论的个数是( ) A.1B.2C.3D.4 15.(2017苏州)若二次函数y=ax2+1的图象经过点(-2,0),则关于x的方程a(x-2)2+1=0的实数根为( ) A.x1=0,x2=4B.x1=-2,x2=6 C.x1=,x2=D.x1=-4,x2=0 16.(2017乐山)已知二次函数y=x2-2mx(m为常数),当-1≤x≤2时,函数值y的最小值为-2,则m的值是( ) A.B.C.或D.-或 17.(2017上海)已知一个二次函数的图象开口向上,顶点坐标为(0,-1),那么这个二次函数的解析式可以是______________.(只需写一个) 18.(2017百色)经过A(4,0),B(-2,0),C(0,3)三点的抛物线解析式是______________. 19.(2017广州)当x=________时,二次函数y=x2-2x+6有最小值________. 第20题图 20.(2017兰州)如图,若抛物线y=ax2+bx+c上的P(4,0),Q两点关于它的对称轴x=1对称,则Q点的坐标为________. 21.(2017青岛)若抛物线y=x2-6x+m与x轴没有交点,则m的取值范围是________. 第22题图 22.(2017咸宁)如图,直线y=mx+n与抛物线y=ax2+bx+c交于A(-1,p),B(4,q)两点,则关于x的不等式mx+n>ax2+bx+c的解集是____. 23.(2017鄂州)已知正方形ABCD中A(1,1)、B(1,2)、C(2,2)、D(2,1),有一抛物线y=(x+1)2向下平移m个单位(m>0)与正方形ABCD的边(包括四个顶点)有交点,则m的取值范围是________. 24.(6分)设二次函数y=x2+px+q的图象经过点(2,-1),且与x轴交于不同的两点A(x1,0),B(x2,0),M为二次函数图象的顶点,求使△AMB的面积最小时的二次函数的解析式. 25.(8分)(2017云南)已知二次函数y=-2x2+bx+c图象的顶点坐标为(3,8),该二次函数图象的对称轴与x轴的交点为A,M是这个二次函数图象上的点,O是原点. (1)不等式b+2c+8≥0是否成立? 请说明理由; (2)设S是△AMO的面积,求满足S=9的所有点M的坐标. 26.(8分)(2017北京)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2-4x+3与x轴交于点A,B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C. (1)求直线BC的表达式; (2)垂直于y轴的直线l与抛物线交于点P(x1,y1),Q(x2,y2),与直线BC交于点N(x3,y3).若x1<x2<x3,结合函数的图象,求x1+x2+x3的取值范围. 27.(9分)(2017荆州)已知关于x的一元二次方程x2+(k-5)x+1-k=0,其中k为常数. (1)求证: 无论k为何值,方程总有两个不相等实数根; (2)已知函数y=x2+(k-5)x+1-k的图象不经过第三象限,求k的取值范围; (3)若原方程的一个根大于3,另一个根小于3,求k的最大整数值. 28.(9分)(2017郴州)设a、b是任意两个实数,用max{a,b}表示a、b两数中较大者.例如: max{-1,-1}=-1,max{1,2}=2,max(4,3)=4.参照上面的材料,解答下列问题: (1)max{5,2}=________,max{0,3}=________; (2)若max{3x+1,-x+1}=-x+1,求x的取值范围; (3)求函数y=x2-2x-4与y=-x+2的图象的交点坐标.函数y=x2-2x-4的图象如图所示,请你在图中作出函数y=-x+2的图象,并根据图象直接写出max{-x+2,x2-2x-4}的最小值. 第28题图 能力提升训练 1.(2017天津)已知抛物线y=x2-4x+3与x轴相交于点A,B(点A在点B左侧),顶点为M,平移该抛物线,使点M平移后的对应点M′落在x轴上,点B平移后的对应点B′落在y轴上,则平移后的抛物线解析式为( ) A.y=x2+2x+1B.y=x2+2x-1 C.y=x2-2x+1D.y=x2-2x-1 第2题图 2.(2017扬州)如图,已知△ABC的顶点坐标分别为A(0,2)、B(1,0)、C(2,1),若二次函数y=x2+bx+1的图象与阴影部分(含边界)一定有公共点,则实数b的取值范围是( ) A.b≤-2B.b<-2 C.b≥-2D.b>-2 3.(2017长沙中考模拟卷二)已知二次函数y=ax2+bx+c(a>0)经过点M(-1,2)和点N(1,-2),交x轴于点A,B,交y轴于点C.现有以下四个结论: ①b=-2;②该二次函数图象与y轴交于负半轴;③存在实数a,使得M,A,C三点在同一条直线上;④若a=1,则OA·OB=OC2.其中,正确的结论有( ) A.①②③④B.②③④ C.①②④D.①②③ 4.(2017武汉)已知关于x的二次函数y=ax2+(a2-1)x-a的图象与x轴的一个交点的坐标为(m,0),若2 5.(9分)(2017天津)已知抛物线y=x2+bx-3(b是常数)经过点A(-1,0). (1)求该抛物线的解析式和顶点坐标; (2)P(m,t)为抛物线上的一个动点,P关于原点的对称点为P′. ①当点P′落在该抛物线上时,求m的值; ②当点P′落在第二象限内,P′A2取得最小值时,求m的值. 答案 1.B 【解析】y=-(x+)2-3为顶点式,顶点坐标是(-,-3). 2.B 【解析】由二次函数y=-(x-1)2+2可知,对称轴为直线x=1排除选项C,D,函数开口向下,有最大值,当x=1时,最大值为y=2,故选B. 3.A 【解析】∵对称轴x=1且经过点P(3,0),∴抛物线与x轴的另一个交点是(-1,0),代入抛物线解析式y=ax2+bx+c中,得a-b+c=0. 4.C 【解析】如解图,根据图象可知,y1>0,y2>0,且y1>y2>0. 第4题解图 5.B 【解析】∵图象开口向下,∴a<0,∵对称轴x=-在y轴右侧,∴->0,∴b>0,又∵图象与y轴的交点在x轴下方,∴c<0. 6.A 【解析】由函数图象左右平移的规律遵从“左加右减”可知: 当y=3x2-3的图象向右平移3个单位时,得到新抛物线的表达式为y=3(x-3)2-3. 7.A 【解析】对称轴x=-=1,代入表达式可得y=m2+1,∴顶点坐标为(1,m2+1),∵m2≥0,∴m2+1≥1,∴顶点坐标在第一象限. 8.C 【解析】∵二次函数y=(x+m)2-n的顶点在第二象限,∴-m<0,-n>0,∴m>0,n<0,mn<0,∴一次函数y=mx+n经过第一、三、四象限,反比例函数y=经过第二、四象限. 9.C 【解析】∵b2-4ac=(-2m)2-4×1×(-3)=4m2+12>0,∴图象与x轴有两个交点,A正确;令y=0得x2-2mx-3=0,方程的解即抛物线与x轴交点的横坐标,由A知图象与x轴有两个交点,故方程有两个根,再根据一元二次方程根与系数的关系可得两根之积为=-3,B正确;根据抛物线对称轴公式可得对称轴为x=-=-=m,∵m的值不能确定,故对称轴是否在y轴的右侧不能确定,C错误;∵a=1>0,抛物线开口向上,∴对称轴左侧的函数值y随x的增大而减小,由C知抛物线对称轴为x=m,∴当x<m时,y随x的增大而减小,D正确. 10.A 【解析】∵函数y=x2-2x+b的图象与坐标轴有三个交点,∴图象与x轴有两个交点,则(-2)2-4b>0,解得b<1,又∵图象与y轴有一个交点,∴b≠0,综上,b的取值范围是b<1且b≠0. 11.B 【解析】∵一次函数y=(a+1)x+a的图象过第一、三、四象限,∴,解得-1<a<0,∵二次函数y=ax2-ax=a(x-)2-a,又∵-1<a<0,∴二次函数y=ax2-ax有最大值,且最大值为-a. 12.C 【解析】由表格可知当x=1.2时,y的值最接近0,∴x2+3x-5=0的一个近似根是1.2. 13.D 【解析】在抛物线y=-x2+3中,令y=0,解得x=±,令x=0,则y=3,∴抛物线与x轴围成封闭区域(边界除外)内的整点有: (-1,1),(1,1),(0,1),(0,2),共4个,∴k=4,∴反比例函数解析式为y=,其图象经过点(1,4),(2,2),(4,1),故选D. 14.D 【解析】观察图象可知,函数与x轴有两个交点,∴Δ=b2-4ac>0,故①项正确;函数图象开口向上,与y轴交于负半轴,∴a>0,c<0,对称轴-=1,∴b<0,∴abc>0,故②正确;由②可得对称轴-=1,∴b=-2a,可将抛物线的解析式化为y=ax2-2ax+c(a≠0),由函数图象知: 当x=-2时,y>0,即4a-(-4a)+c=8a+c>0,即>-8,故③正确;由二次函数的对称性可知,当x=3和x=-1时,y的值相等,观察图象可知,当x=-1时,y<0,∴当x=3时,y<0,则9a+3b+c<0,故④项正确,综上所述,正确结论为①②③④,共4个. 15.A 【解析】∵二次函数y=ax2+1的图象经过点(-2,0),∴代入得(-2)2a+1=0,解得a=-,即-(x-2)2+1=0,解得x1=0,x2=4. 16.D 【解析】∵二次函数的对称轴为x=m,∴对称轴不确定,需分情况讨论.①当m≥2时,此时-1≤x≤2落在对称轴的左边,当x=2时,y取得最小值-2,即-2=22-2m×2,解得m=(舍);②当-1 17.y=x2-1(答案不唯一) 【解析】∵二次函数的图象开口向上,∴a>0,顶点坐标为(0,-1),可设二次函数解析式为y=ax2-1,即y=x2-1(答案不唯一). 18.y=-(x-4)(x+2) 【解析】设抛物线解析式为y=a(x-4)(x+2),把C(0,3)代入上式得3=a(0-4)(0+2),解得a=-,故y=-(x-4)(x+2). 19.1,5 【解析】∵y=x2-2x+6=(x2-2x+1)+5=(x-1)2+5,∴当x=1时,y=x2-2x+6有最小值,且最小值为5. 20.(-2,0) 【解析】∵抛物线上点P和点Q关于x=1对称,P(4,0),可设Q(m,0),∴=1,解得m=-2,∴Q(-2,0). 21.m>9 【解析】∵抛物线y=x2-6x+m与x轴没有交点,∴方程x2-6x+m=0无实数解,即b2-4ac=(-6)2-4m<0,解得m>9. 22.x<-1或x>4 【解析】观察题图,当直线在抛物线之上时,即mx+n>ax2+bx+c,∵A(-1,p),B(4,q),∴关于x的不等式的解集为x<-1或x>4. 23.2≤m≤8 【解析】∵将抛物线y=(x+1)2向下平移m个单位,得到抛物线y=(x+1)2-m,由平移后抛物线与正方形ABCD的边有交点,则当点B在抛物线上时,m取最小值,此时(1+1)2-m=2,解得m=2,当点D在抛物线上时,m取最大值,此时(2+1)2-m=1,解得m=8,综上所述,m的取值范围是2≤m≤8. 24.解: ∵二次函数y=x2+px+q经过点(2,-1),代入得-1=22+2p+q, 即2p+q=-5, ∵x1,x2为x2+px+q=0两根, ∴x1+x2=-p,x1x2=q, ∴|AB|=|x1-x2|==, 顶点M(-,), ∴S△AMB=|AB|·||=·||=·(p2-4q)·|4q-p2|=(p2-4q), 当p2-4q最小时,S△AMB有最小值, ∵p2-4q=p2+8p+20=(p+4)2+4, ∴当p=-4时,p2-4q取最小值4,此时q=3, 故所求的二次函数解析式为y=x2-4x+3. 25.解: (1)不等式b+2c+8≥0成立.理由如下: ∵二次函数y=-2x2+bx+c图象的顶点坐标为(3,8), ∴ 解得, ∴b+2c+8=0, ∴不等式b+2c+8≥0成立; (2)由 (1)知,b=12,c=-10, ∴代入得y=-2x2+12x-10, 由已知得点A的坐标为(3,0),设M(x,-2x2+12x-10), 当点M在x轴上方时,S=×3×(-2x2+12x-10)=9, 解得x1=2或x2=4; 当点M在x轴下方时,S=×3×[-(-2x2+12x-10)]=9, 解得x3=3-或x4=3+, ∴满足S=9的所有点M的坐标为(2,6),(4,6),(3-,-6),(3+,-6). 26.解: (1)∵抛物线y=x2-4x+3与x轴交于点A,B(点A在点B左侧), ∴令y=0,则有x2-4x+3=(x-3)·(x-1)=0, 解得x1=1,x2=3, ∴A(1,0),B(3,0), ∵抛物线y=x2-4x+3与y轴交于点C, ∴令x=0,得y=3,∴C(0,3), 设直线BC的表达式为y=kx+b(k≠0), 将B(3,0),C(0,3)代入y=kx+b,得 ,解得, ∴直线BC的表达式为y=-x+3; (2)∵y=x2-4x+3=(x-2)2-1, ∴抛物线对称轴为x=2,顶点为(2,-1), ∵l⊥y轴,l交抛物线于点P、Q,交BC于点N,x1 ∴-1 ∴-1<-x3+3<0,=2, ∴3 ∴7 27.解: (1)∵a=1,b=k-5,c=1-k, ∴b2-4ac=(k-5)2-4(1-k)=k2-6k+21=(k-3)2+12, 其中(k-3)2≥0, ∴b2-4ac=(k-3)2+12>0, ∴无论k为何值,方程总有两个不相等的实数根; (2)∵二次函数图象不经过第三象限, ∴对称轴x=>0且不与y轴负半轴相交,即1-k≥0, 联立得,解得k≤1; (3)依题意得,对于y=x2+(k-5)x+1-k, ∵x=3时,y<0, ∴y=32+3(k-5)+1-k<0, 即2k-5<0,k<, ∴k的最大整数取2. 28.解: (1)5,3; (2)由题意知: 3x+1≤-x+1,解得x≤0; (3)联立函数解析式得, 解得或, 第28题解图 ∴两函数的交点坐标为: (3,-1),(-2,4); 如解图,过两交点作直线即为所求图象; 观察解图可知: max{-x+2,x2-2x-4}的最小值为-1. 能力提升训练 1.A 【解析】∵抛物线与x轴交于A、B两点,∴令y=0,即x2-4x+3=0,解得x1=1,x2=3,∴A(1,0),B(3,0),∵y=x2-4x+3=(x-2)2-1,∴M(2,-1).∵要使平移后的抛物线的顶点在x轴上,需将图象向上平移1个单位,要使B平移后的对应点B′落在y轴上,需再向左平移3个单位,∴M′(-1,0),则平移后二次函数的解析式为y=(x+1)2,即y=x2+2x+1. 2.C 【解析】如解图,二次函数y=x2+bx+1与y轴交于点(0,1),对称轴为x=-,当b=-2时,对称轴x=1,抛物线过(0,1),C(2,1);当b<-2时,对称轴x>1,抛物线与△ABC不相交;当b>-2时,对称轴x<1,抛物线与△ABC相交,综上所述,b≥-2. 第2题解图 3.C 【解析】∵二次函数y=ax2+bx+c(a>0)经过点M(-1,2)和点N(1,-2),∴,解得b=-2,故①正确;∵二次函数y=ax2+bx+c,a>0,∴该二次函数图象开口向上,∵点M(-1,2)和点N(1,-2),∴直线MN的解析式为y=-2x,当-1<x<1时,二次函数图象在y=-2x的下方,∴该二次函数图象与y轴交于负半轴,故②正确;根据抛物线图象的特点,M、A、C三点不可能在同一条直线上,故③错误;当a=1时,c=-1,∴该抛物线的解析式为y=x2-2x-1,当y=0时,0=x2-2x+c,利用根与系数的关系可得x1·x2=c,即OA·OB=|c|,当x=0时,y=c,即OC=|c|=1=OC2,∴若a=1,则OA·OB=OC2,故④正确.综上所述,正确的结论有①②④.
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