中考二次函数大题综合训练附答案.docx
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中考二次函数大题综合训练附答案
中考二次函数大题综合训练(附答案)
二次函数综合训练
1、如图,抛物线
yxbxc与x轴交与A(1,0),B(-3,0)两点,
2
(1)求该抛物线的解析式;
(2)设
(1)中的抛物线交y轴与C点,在该抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得△QAC的周长最小?
若存在,求出Q点的坐标;若不存在,请说明理由.
2、(20XX年兰州)如图17,某公路隧道横截面为抛物线,其最大高度为6米,底部宽度OM为12米.现以O点为原点,OM所在直线为x轴建立直角坐标系.
(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标;
(2)求这条抛物线的解析式;
(3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD-DC-CB,使C、D点在抛物线上,A、B点在地面OM上,则这个“支撑架”总长的最大值是多少?
34
54
3、如图,直线
yx6
分别与x轴、y轴交于A、B两点,直线
yx
与AB交于点
C,与过点A且平行于y轴的直线交于点D.点E从点A出发,以每秒1个单位的速度沿X轴向左运动.过点E作x轴的垂线,分别交直线AB、OD于P、Q两点,以PQ为边向右作正方形PQMN,设正方形PQMN与△ACD重叠部分(阴影部分)的面积为S(平方单位).点E的运动时间为t(秒).
(1)求点C的坐标.(1分)
(2)当0t5时,求S与t之间的函数关系式.(4分)(3)求
(2)中S的最大值.(2分)【参考公式:
二次函数
2
2
b4acb
2a4abxc图象的顶点坐标为
yax
.】
4、如图11,已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点M(-2,-1),且P(-1,-2)为双曲线上的一点,Q为坐标平面上一动点,PA垂直于x轴,QB垂直于y轴,垂足分别是A、B.
(1)写出正比例函数和反比例函数的关系式;
(2)当点Q在直线MO上运动时,直线MO上是否存在这样的点Q,使得△OBQ与△OAP面积相等?
如果存在,
请求出点的坐标,如果不存在,请说明理由;
(3)如图12,当点Q在第一象限中的双曲线上运动时,作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ,求平行四边形
OPCQ周长的最小值.
5、如图,抛物线
yax
2
bx4a
0)、C(0,4)两点,经过A(1,与
x
轴交于另一点B.
(1)求抛物线的解析式;
(2)已知点D(m,m1)在第一象限的抛物线上,求点D关于直线BC对称的点的坐标;(3)在
(2)的条件下,连接BD,点P为抛物线上一点,且DBP45°,求点P的坐标.
.
6、(20XX年江西)如图,抛物线
yx
2
2x3
与
x
轴相交于A、B两点(点A在点
B的左侧),与y轴相交于点C,顶点为D.
(1)直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴;
(2)连接BC,与抛物线的对称轴交于点E,点P为线段BC上的一个动点,过点P作PF∥DE
交抛物线于点F,设点P的横坐标为m;
①用含m的代数式表示线段PF的长,并求出当m为何值时,四边形PEDF为平行四边形?
②设△BCF的面积为S,求S与m的函数关系式.
详细解答:
1.【关键词】与二次函数有关的面积问题解:
(1)将A(1,0)B(-3,0)代入
yxbxc
2
中得
1bc093bc0
,∴
b2c3
∴抛物线解析式为:
yx2x3
x1对称,∴直线BC与x1的交点即为Q点,此
2
(2)存在理由如下:
由题意知A、B两点关于抛物线的对称轴时△AQC周长最小,∵
2
(0,3),直线BC解析式为yx3yx2x3,∴C的坐标为:
x1x1Q点坐标即为的解,∴,∴Q(-1,2)
yx3y2
2.【关键词】二次函数的图像和性质以及应用解:
(1)M(12,0),P(6,6).
(2)设抛物线解析式为:
ya(x6)
2
2
6
.
∵抛物线ya(x6)∴
0a(06)
2
6
经过点(0,0),
16
6
,即
a
∴抛物线解析式为:
y
16
(x6)
2
6,即y
16
x
2
2x
.(3)设
A(m,0),则B(12-m,0),
1613
C(12m,
16
m
2
2m)
,
D(m,
16
m
2
2m)
.∴“支撑架”总长AD+DC+CB=
(m
2
2m)(122m)(
16
m
2
2m)
=
m
2
2m12
13
(m3)
2
15
.∵此二次函数的图象开口向下.∴当m=3米时,AD+DC+CB有最
大值为15米.
3.【关键词】平面内点的坐标的意义,二元一次方程组的应用,不等式的简单应用二次函数与一元二次方程根之间的内在联系
3
yx6,x3,4
15y5x.y.44解:
(1)由题意,得解得
15
∴C(3,
4
).
(2)根据题意,得AE=t,OE=8-t.
5
3
∴点Q的纵坐标为
5
3
4
(8-t),点P的纵坐标为
4
t,
∴PQ=
4
(8-t)-
4
t=10-2t.
10
当MN在AD上时,10-2t=t,∴t=
3
.
10
当0t≤3时,S=t(10-2t),即S=-2t2+10t.
10
当3≤t5时,S=(10-2t)2,即S=4t2-40t+100.
10
5
25
525
(3)当0t≤
10
3
时,S=-2(t-
2
)2+
2
,∴t=
2
时,S最大值=
2
.
当
3
≤t5时,S=4(t-5)2,∵t5时,S随t的增大而减小,
100
10
∴t=
25
3
时,S最大值=
100
9
.
25
∵
2
9
,∴S的最大值为
2
.
4.【关键词】二次函数的极值问题
(1)设正比例函数解析式为
ykx
1),将点M(2,坐标代入得
2x
k=
12
,所以正比例函数解析式为
y=
12
x
同样可得,反比例函数解析式为
(2)当点Q在直线DO上运动时,设点Q的坐标为于是
S△OBQ=
1
Q(mm)
2
y=
,
12创
12
m
m=
14
m
2
12
OB?
BQ
,
而
S△OAP=
12
(-1)?
(2)=1
,
所以有,
14
m
2
=1
,解得m
2
所以点Q的坐标为
Q1(2,1)
和
Q2(-2,-1)
(3)因为四边形OPCQ是平行四边形,所以OP=CQ,OQ=PC,
而点P(1,2)是定点,所以OP的长也是定长,所以要求平行四边形OPCQ周长的最小值就只需求OQ的最小值因为点Q在第一象限中双曲线上,所以可设点Q的坐标为由勾股定理可得
(n-2n
2
Q(n)
n
,
OQ
2
=n
2
+
4n
2
=(n-
2n
)
2
+4
,
所以当
)
2
=0
即
n-
2n
=0
时,OQ
2
有最小值4,
又因为OQ为正值,所以OQ与OQ所以OQ有最小值2.由勾股定理得OP
2
同时取得最小值,
OPCQ
周长的最小值是2(OP
+OQ)=22)=4
5.【关键词】待定系数法求点的坐标解:
(1)抛物线
yax
2
bx4a
0)4)
经过A(1,,C(0,两点,
ab4a0,
4a4.
a1,
b3.
解得
抛物线的解析式为y
即m
2
x
2
3x4
.
m1m
2
(2)点D(m,m1)在抛物线上,
2m30
3m4
,
,m1或m3.
4).Q点D在第一象限,点D的坐标为(3,
.
x
由
(1)知OA
OB,CBA45°
设点D关于直线BC的对称点为点E.
C(0,4)
,
CD∥AB
,且CD,
3
,
ECBDCB45°
E
点在
y
轴上,且CECD3.
.
1)OE1,E(0,
即点D关于直线BC对称的点的坐标为(0,1).(3)方法一:
作PF⊥AB于F,由
(1)有:
OB
DE⊥BC
于E.
OC4,OBC45°,
DBP45°,CBDPBAC(0,4),D(3,4)
.
,CD∥OB且CD3.
DCECBO45°,
DECE
BEBCCE
OBOC4,BC
,
tanPBFtanCBD
DEBE
35
.
设PF3t,则BF5t,OF5t4,
P(5t4,3t)
P
.
点在抛物线上,
2
3t(5t4)3(5t4)4
,
t0
(舍去)或
t
22
266
P
52525,
.
⊥DH
方法二:
过点D作BD的垂线交直线PB于点Q,过点D作DH⊥x轴于H.过Q点作QG
PBD45°,QDDB
于G.
.
QDGBDH
90°
,
BDH
又DQGQDG90°,DQG.
△QDG≌△DBH
,QG
DH4
,DGBH1.
由
(2)知
D(3,4)
3).,Q(1,
B(4,0)
,直线BP
的解析式为
y
35
x
125
.
2
解方程组
x2,yx23x4,5x14,312
y66.yx,2y10;5525得
点
P
266
525的坐标为
6.【关键词】抛物线、动点、面积
解:
(1)A(-1,0),B(3,0),C(0,3).
抛物线的对称轴是:
x=1.
(2)①设直线BC的函数关系式为:
y=kx+b.把B(3,0),C(0,3)分别代入得:
3kb0,
b3解得:
k=-1,b=3.
y4.
所以直线BC的函数关系式为:
yx3.当x=1时,y=-1+3=2,∴E(1,2).当
xm时,
ym3,
∴P(m,
m+3).
2
在yx2x3中,当x1时,
∴当
D1,4.
xm时,
ym
2
2m3,F
∴
m,
m
2
2m3.
∴线段DE=4-2=2,线段PF∵PF∥DE,∴当
PFED
2
m
2
2m3m3m
2
3m.
时,四边形
PEDF
为平行四边形.
(不合题意,舍去).
由m3m2,解得:
m12,m21
2
因此,当m②设直线∵
时,四边形PEDF为平行四边形.
PF
与
x轴交于点M
12
,由
B
0,O0,0,3,
可得:
OBOMMB3.
SS△BPFS△CPF.
12
12
12
即
12
SPFBMPFOMPF(BMOM)PFOB
.
S3
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