《三角形格点与面积》专题.docx
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《三角形格点与面积》专题
1.如图,在10×10的正方形网格中,每个小正方形的边长为1个单位长度.△ABC的顶点都在正方形网格的格点上,且通过两次平移(沿网格线方向作上下或左右平移)后得到△A'B'C',点C的对应点是直线上的格点C'.
(1)画出△A'B'C';
(2)在BC上找一点P,使AP平分△ABC的面积;
(3)试在直线l上画出所有的格点Q,使得由点A'、B'、C'、Q四点围成的四边形的面积为9.
2.在正方形网格中,每个小正方形的边长均为1个单位长度,△ABC的三个顶点的位置如图所示,现将△ABC平移,使点A变换为点A′,点B′、C′分别是B、C的对应点.
(1)请画出平移后的△A′B′C′;
(2)若连接AA′,CC′,则这两条线段之间的关系是 .
(3)作直线MN,将△ABC分成两个面积相等的三角形.
3.如图:
在正方形网格中有一个△ABC,按要求进行下列作图(只能借助于网格).
(1)画出△ABC中BC边上的高AH和BC边上的中线AD.
(2)画出将△ABC向右平移5格又向上平移3格后的△A′B′C′.
(3)△ABC的面积为 .
(4)若连接AA′,CC′,则这两条线段之间的关系是 .
4.正方形网格中的每个小正方形的边长均为1个单位长度,△ABC各顶点的位置如图所示.将△ABC平移,使点A移到点D,点E、F分别是B、C的对应点.
(1)画出平移后的△DEF;
(2)在AB上找一点P,使得线段CP平分△ABC的面积;
(3)利用网格画△ABC的高BH;
(4)连接AD、CF,AD与CF的关系是 .
5.如图,三角形ABC的顶点A,B,C都在格点(正方形网格线的交点)上,将三角形ABC向左平移2格,再向上平移3格,得到三角形A'BC“(设点A、B、C分别平移到A′、B′、C′)
(1)请在图中画出平移后的三角形A'B′C′;
(2)若连接BB′、CC′,则这两条线段的位置关系是 .数量关系是
(3)若BB'与AC相交于点P,则∠A'B'P,∠B'PA与∠PAB三个角之间的数量关系为
A.∠A'B'P+∠B'PA+∠PAB=180°
B.∠A'B'P+∠B'PA+∠PAB=360°
C.∠A'B'P+∠B'PA﹣∠PAB=180°
D.∠A'B'P+∠B'PA﹣∠PAB=360°
6.在正方形网格中,每个小正方形的边长均为1个单位长度,△ABC的三个顶点的位置如图所示.现将△ABC平移,使点C变换为点D,点A、B的对应点分别是点E、F.
(1)在图中请画出△ABC平移后得到的△EFD;
(2)在图中画出△ABC的AB边上的高CH;
(3)若点P在格点上,且S△PBC=S△ABC(点P与点A不重合),满足这样条件的P点有 个.
7.如图,每个小正方形的边长为1个单位,每个小方格的顶点叫格点.
(1)画出△ABC向右平移4个单位后得到的△A1B1C1;
(2)画出△ABC中AB边上的中线CM;
(3)图中△ABC的面积是 .
8.如图,每个小正方形的边长为1,在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A′B′C′,图中标出了点B的对应点B′.根据下列条件,利用网格点和直尺画图:
(1)补全△A′B′C′;
(2)作出△ABC的中线CD;
(3)画出BC边上的高线AF;
(4)若△ABC与△ABE面积相等,则图中满足条件且异于点C的格点E共有 个.
(注:
格点指网格线的交点)
9.画图(只能借助于网格)并填空:
如图,每个小正方形的边长为1个单位,每个小正方形的顶点叫格点.
(1)将△ABC向左平移4格,再向上平移1格,请在图中画出平移后的△A′B′C′;
(2)△A′B′C′的面积为 ;
(3)利用网格在图中画出△ABC的中线AD,高线AE;
(4)在右图中能使S△PBC=S△ABC的格点p的个数有 个(点P异于A).
10.画图并填空:
如图,方格纸中每个小正方形的边长都为1.在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A′B′C′,图中标出了点B的对应点B′.
(1)在给定方格纸中画出平移后的△A′B′C′;
(2)画出AB边上的中线CD和BC边上的高线AE;
(3)线段AA′与线段BB′的关系是:
;
(4)求四边形ACBB′的面积.
11.如图,在边长为1个单位的正方形网格中,△ABC经过平移后得到△A′B′C′,图中标出了点B的对应点B′.根据下列条件,利用网格点和无刻度的直尺画图并解答相关的问题(保留画图痕迹):
(1)画出△A′B′C′;
(2)画出△ABC的高BD;
(3)连接AA′、CC′,那么AA′与CC′的关系是 ,线段AC扫过的图形的面积为 .
12.画图并填空:
如图,方格纸中每个小正方形的边长都为1.在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A′B′C′,图中标出了点B的对应点B′.利用网格点和三角板画图或计算:
(1)在给定方格纸中画出平移后的△A′B′C′;
(2)画出AB边上的中线CD;
(3)画出BC边上的高线AE;
(4)△A′B′C′的面积为 .
(5)点F为方格纸上的格点(异于点B),若S△ACB=S△ACF,则图中这样的格点F共有 个.
13.如图,网格中每个小正方形边长为1,△ABC的顶点都在格点上.将△ABC向左平移2格,再向上平移3格,得到△A′B′C′.
(1)请在图中画出平移后的△A′B′C′;
(2)若连接BB′,CC′,则这两条线段的关系是 ;
(3)△ABC在整个平移过程中线段AB扫过的面积为 .
14.利用直尺画图
(1)利用图
(1)中的网格,过P点画直线AB的平行线和垂线.
(2)把图
(2)网格中的三条线段通过平移使三条线段AB、CD、EF首尾顺次相接组成一个三角形.
(3)如果每个方格的边长是单位1,那么图
(2)中组成的三角形的面积等于 .
15.如图:
在正方形网格中有一个△ABC,按要求进行下列作图(只能借助于网格).
(1)分别画出△ABC中BC边上的高AH、中线AG.
(2)画出先将△ABC向右平移6格,再向上平移3格后的△DEF.
(3)画一个锐角△MNP(要求各顶点在格点上),使其面积等于△ABC的面积的2倍.
16.在正方形网格中,每个小正方形的边长均为1个单位长度,△ABC的三个顶点的位置如图所示,现将△ABC平移,使点A变换为点A′,点B′、C′分别是B、C的对应点.
(1)请画出平移后的△A′B′C′,并求△A′B′C′的面积= ;
(2)请在AB上找一点P,使得线段CP平分△ABC的面积,在图上作出线段CP;
(3)请在图中画出过点C且平行于AB的直线CM.
17.在正方形网格中,每个小正方形的边长均为1个单位长度,△ABC的三个顶点的位置如图所示.现将△ABC平移,使点A变换为点D,点E、F分别是B、C的对应点.
(1)请画出平移后的△DEF;
(2)若连接AD、CF,则这两条线段之间的关系是 ;
(3)在图中找出所有满足S△ABC=S△QBC的格点Q(异于点A),并用Q1、Q2表示.
18.画图并填空:
如图,每个小正方形的边长为1个单位,每个小正方形的顶点叫格点.
(1)将△ABC向左平移8格,再向下平移1格.请在图中画出平移后的△A′B′C′;
(2)利用网格在图中画出△ABC的中线CD,高线AE;
(3)△A′B′C′的面积为 .
(4)在平移过程中线段BC所扫过的面积为 .
(5)在右图中能使S△PBC=S△ABC的格点P的个数有 个(点P异于A).
19.在正方形网格中,每个小正方形的边长均为1个单位长度,△ABC的三个顶点的位置如图所示.现将△ABC平移,使点A平移到点D,点E、F分别是B、C的对应点.
(1)请画出平移后的△DEF,并求△DEF的面积= ;
(2)在AB上找一点M,使CM平分△ABC的面积;
(3)在网格中找格点P,使S△ABC=S△BCP,这样的格点P有 个.
20.如图,在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A′B′C,图中标出了点B的对应点B′.根据下列条件,利用网格点和三角板画图:
(1)补全△A′B′C;
(2)画出AB边上的中线CD;
(3)画出AC边上的高线BE;
(4)平移过程中,线段AB扫过的面积为 .
21.在正方形网格中,每个小正方形的边长均为1个单位长度,△ABC的三个顶点的位置如图所示,现将△ABC平移,使点A变换为点A′,点B′、C′分别是B、C的对应点.
(1)请画出平移后的△A′B′C′,并求△A′B′C′的面积;
(2)在图中找出格点D,使△ACD的面积与△ABC的面积相等.
22.如图,网格中每个小正方形边长为1,△ABC的顶点都在格点上.将△ABC向左平移2格,再向上平移3格,得到△A′B′C′.
(1)请在图中画出平移后的△A′B′C′;
(2)画出平移后的△A′B′C′的中线B′D′
(3)若连接BB′,CC′,则这两条线段的关系是
(4)△ABC在整个平移过程中线段AB扫过的面积为
(5)若△ABC与△ABE面积相等,则图中满足条件且异于点C的格点E共有 个
(注:
格点指网格线的交点)
23.如图所示,在8×8的网格中,△ABC是格点三角形(顶点是网格的交点),若点A坐标为(﹣1,3),按要求回答下列问题:
(1)建立符合条件的平面直角坐标系,并写出点B和点C的坐标;
(2)将△ABC先向下平移2个单位长度,再向右平移3个单位长度,得到△DEF,请在图中画出△DEF,并求出线段AC在平移过程中扫过的面积.
24.如图,每个小正方形的边长为1,在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A′B′C′,图中标出了点B的对应点B′.根据下列条件,利用网格点和三角板画图:
(1)补全△A′B′C′
(2)画出AB边上的中线CD;
(3)画出BC边上的高线AE;
(4)△A′B′C′的面积为 .
25.如图,△ABC的顶点都在方格纸的格点上,将△ABC向左平移1格,再向上平移3格,其中每个格子的边长为1个长度单位.
(1)在图中画出平移后的△A′B′C′;
(2)若连接AA′,CC′,则这两条线段的关系是 ;
(3)作直线l,将△ABC分成两个面积相等的三角形.
参考答案与试题解析
一.解答题(共25小题)
1.如图,在10×10的正方形网格中,每个小正方形的边长为1个单位长度.△ABC的顶点都在正方形网格的格点上,且通过两次平移(沿网格线方向作上下或左右平移)后得到△A'B'C',点C的对应点是直线上的格点C'.
(1)画出△A'B'C';
(2)在BC上找一点P,使AP平分△ABC的面积;
(3)试在直线l上画出所有的格点Q,使得由点A'、B'、C'、Q四点围成的四边形的面积为9.
【分析】
(1)根据平移的性质画出图形即可;
(2)根据三角形中线的性质解答即可;
(3)根据面积公式解答即可.
【解答】解:
(1)如图所示:
△A'B'C'即为所求;
(2)如图所示:
点P即为所求;
(3)如图所示:
点Q即为所求.
【点评】此题主要考查了平移变换以及三角形面积求法,正确得出对应点位置是解题关键.
2.在正方形网格中,每个小正方形的边长均为1个单位长度,△ABC的三个顶点的位置如图所示,现将△ABC平移,使点A变换为点A′,点B′、C′分别是B、C的对应点.
(1)请画出平移后的△A′B′C′;
(2)若连接AA′,CC′,则这两条线段之间的关系是 相等且平行 .
(3)作直线MN,将△ABC分成两个面积相等的三角形.
【分析】
(1)作出A、B、C的对应点A′、B′、C′即可;
(2)根据平移的性质可知,线段AA′,CC′这两条线段之间的关系是相等且平行;
(3)构造平行四边形ABCD,对角线BD所在的直线即为所求的直线MN.
【解答】解:
(1)平移后的△A′B′C′如图所示.
(2)根据平移的性质可知,线段AA′,CC′这两条线段之间的关系是相等且平行,
故答案为相等且平行.
(3)构造平行四边形ABCD,对角线BD所在的直线即为所求的直线MN.
【点评】本题考查平移变换、平移变换的性质、平行四边形的判定和性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.
3.如图:
在正方形网格中有一个△ABC,按要求进行下列作图(只能借助于网格).
(1)画出△ABC中BC边上的高AH和BC边上的中线AD.
(2)画出将△ABC向右平移5格又向上平移3格后的△A′B′C′.
(3)△ABC的面积为 3 .
(4)若连接AA′,CC′,则这两条线段之间的关系是 AA′=CC′且AA′∥CC′ .
【分析】
(1)根据三角形的中线和高的定义作图即可得;
(2)根据平移变换的定义作出变换后的对应点,再顺次连接即可得;
(3)直接利用三角形的面积公式计算可得;
(4)根据平移变换的性质可得答案.
【解答】解:
(1)如图所示,AH和AD即为所求;
(2)如图所示,△A′B′C′即为所求;
(3)△ABC的面积为
×3×2=3,
故答案为:
3;
(4)由平移的性质知AA′=CC′且AA′∥CC′,
故答案为:
AA′=CC′且AA′∥CC′.
【点评】本题主要考查作图﹣平移变换,解题的关键是熟练掌握平移变换的定义和性质,并据此得出变换后的对应点.
4.正方形网格中的每个小正方形的边长均为1个单位长度,△ABC各顶点的位置如图所示.将△ABC平移,使点A移到点D,点E、F分别是B、C的对应点.
(1)画出平移后的△DEF;
(2)在AB上找一点P,使得线段CP平分△ABC的面积;
(3)利用网格画△ABC的高BH;
(4)连接AD、CF,AD与CF的关系是 AD=CF,AD∥CF .
【分析】
(1)作出B,C的对应点E,F即可解决问题.
(2)取AB中点P,连接CP即可.
(3)取格点T作射线BT交AC于H,线段BH即为所求.
(4)根据平移的性质即可解决问题.
【解答】解:
(1)△DEF如图所示.
(2)线段CP即为所求.
(3)取格点T作射线BT交AC于H,线段BH即为所求.
(4)AD=CF,AD∥CF.
故答案为:
AD=CF,AD∥CF.
【点评】本题考查平移变换,三角形的中线,高等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.
5.如图,三角形ABC的顶点A,B,C都在格点(正方形网格线的交点)上,将三角形ABC向左平移2格,再向上平移3格,得到三角形A'BC“(设点A、B、C分别平移到A′、B′、C′)
(1)请在图中画出平移后的三角形A'B′C′;
(2)若连接BB′、CC′,则这两条线段的位置关系是 BB′∥CC′ .数量关系是 BB′=CC′
(3)若BB'与AC相交于点P,则∠A'B'P,∠B'PA与∠PAB三个角之间的数量关系为 C
A.∠A'B'P+∠B'PA+∠PAB=180°
B.∠A'B'P+∠B'PA+∠PAB=360°
C.∠A'B'P+∠B'PA﹣∠PAB=180°
D.∠A'B'P+∠B'PA﹣∠PAB=360°
【分析】
(1)利用网格特点和平移的性质画出A、B、C的对应点A′、B′、C′即可;
(2)根据平移的性质求解;
(3)根据平行线的性质和三角形外角性质解答.
【解答】解:
(1)如图所示:
△A'B'C'即为所求:
(2)根据平移的性质可得:
BB′∥CC′,BB′=CC′;
故答案为:
BB′∥CC′;BB′=CC′;
(3)由图可知:
∠A'B'P+∠B'PA﹣∠PAB=180°
故答案为:
C
【点评】本题考查了作图﹣平移变换:
确定平移后图形的基本要素有两个:
平移方向、平移距离.作图时要先找到图形的关键点,分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后,再顺次连接对应点即可得到平移后的图形.
6.在正方形网格中,每个小正方形的边长均为1个单位长度,△ABC的三个顶点的位置如图所示.现将△ABC平移,使点C变换为点D,点A、B的对应点分别是点E、F.
(1)在图中请画出△ABC平移后得到的△EFD;
(2)在图中画出△ABC的AB边上的高CH;
(3)若点P在格点上,且S△PBC=S△ABC(点P与点A不重合),满足这样条件的P点有 4 个.
【分析】
(1)作出A,B的对应点,E,F即可.
(2)根据高的定义画出图形即可.
(3)利用等高模型解决问题即可.
【解答】解:
(1)△DEF如图所示.
(2)线段CH如图所示.
(3)如图所示满足条件的点P有4个.
故答案为4
【点评】本题考查作图﹣平移变换,三角形的面积等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.
7.如图,每个小正方形的边长为1个单位,每个小方格的顶点叫格点.
(1)画出△ABC向右平移4个单位后得到的△A1B1C1;
(2)画出△ABC中AB边上的中线CM;
(3)图中△ABC的面积是 8 .
【分析】
(1)根据平移的定义作出变换后的对应点,再顺次连接即可得;
(2)根据中线的概念作图可得;
(3)利用割补法求解可得.
【解答】解:
(1)如图所示,△A1B1C1即为所求.
(2)如图所示,CM即为所求;
(3)△ABC的面积是
×5×7﹣
×2×6﹣
×(2+5)×1=8,
故答案为:
8.
【点评】本题考查了利用平移变换作图,熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键.
8.如图,每个小正方形的边长为1,在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A′B′C′,图中标出了点B的对应点B′.根据下列条件,利用网格点和直尺画图:
(1)补全△A′B′C′;
(2)作出△ABC的中线CD;
(3)画出BC边上的高线AF;
(4)若△ABC与△ABE面积相等,则图中满足条件且异于点C的格点E共有 6 个.
(注:
格点指网格线的交点)
【分析】
(1)由点B及其对应点B′的位置得出平移方向和距离,据此将点A、C按照相同方式平移得到对应点,再顺次连接即可得;
(2)根据中线的概念作图可得;
(3)根据高线的概念求解可得;
(4)根据共底等高及平行线间的距离处处相等作图可得.
【解答】解:
(1)如图所示,△A′B′C′即为所求.
(2)如图所示,CD即为所求;
(3)如图所示,AF即为所求;
(4)如图所示,中满足条件且异于点C的格点E共有6个,
故答案为:
6.
【点评】本题主要考查作图﹣轴对称变换,解题的关键是掌握轴对称变换的定义和性质及中线、高线的概念、平行线间的距离处处相等.
9.画图(只能借助于网格)并填空:
如图,每个小正方形的边长为1个单位,每个小正方形的顶点叫格点.
(1)将△ABC向左平移4格,再向上平移1格,请在图中画出平移后的△A′B′C′;
(2)△A′B′C′的面积为 4 ;
(3)利用网格在图中画出△ABC的中线AD,高线AE;
(4)在右图中能使S△PBC=S△ABC的格点p的个数有 7 个(点P异于A).
【分析】
(1)根据图形平移的性质画出平移后的△A′B′C′即可;
(2)利用三角形的面积公式即可得出结论;
(3)根据格点的特点△ABC的中线CD,高线AE即可;
(4)过点A作直线BC的平行线,此直线与格点的交点即为P点.
【解答】解:
(1)如图所示:
(2))△A′B′C′的面积=
,
故答案为:
4;
(3)如图所示:
AD,AE即为所求;
(4)能使S△PBC=S△ABC的格点p的个数有7个,
故答案为:
7
【点评】本题考查的是作图﹣平移变换,熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键.
10.画图并填空:
如图,方格纸中每个小正方形的边长都为1.在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A′B′C′,图中标出了点B的对应点B′.
(1)在给定方格纸中画出平移后的△A′B′C′;
(2)画出AB边上的中线CD和BC边上的高线AE;
(3)线段AA′与线段BB′的关系是:
平行且相等 ;
(4)求四边形ACBB′的面积.
【分析】
(1)根据图形平移的性质画出△A′B′C′即可;
(2)取线段AB的中点D,连接CD,过点A作AE⊥BC的延长线与点E即可;
(3)根据图形平移的性质可直接得出结论;
(4)根据S四边形ACBB′=S梯形AFGB+S△ABC﹣S△BGB′﹣S△AFB′即可得出结论.
【解答】解:
(1)如图所示;
(2)如图所示;
(3)由图形平移的性质可知,AA′∥BB′,AA′=BB′.
故答案为:
平行且相等;
(4)S四边形ACBB′=S梯形AFGB+S△ABC﹣S△BGB′﹣S△AFB′
=
(7+3)×6+
×4×4﹣
×1×7﹣
×3×5
=30+8﹣
﹣
=27.
【点评】本题考查的是作图﹣平移变换,熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键.
11.如图,在边长为1个单位的正方形网格中,△ABC经过平移后得到△A′B′C′,图中标出了点B的对应点B′.根据下列条件,利用网格点和无刻度的直尺画图并解答相关的问题(保留画图痕迹):
(1)画出△A′B′C′;
(2)画出△ABC的高BD;
(3)连接AA′、CC′,那么AA′与CC′的关系是 平行且相等 ,线段AC扫过的图形的面积为 10 .
【分析】
(1)根据平移的定义和性质作出点A、C平移后的对应点,顺次连接即可得;
(2)根据三角形高的定义作图即可得;
(3)根据平移变换的性质可得,再利用割补法求出平行四边形的面积.
【解答】解:
(1)如图所示,△A′B′C′即为所求;
(2)如图所示,BD即为所求;
(3)如图所示,AA′与CC′的关系是平行且相等,
线段AC扫过的图形的面积为10×2﹣2×
×4×1﹣2×
×6×1=10,
故答案为:
平行且相等、10.
【点评】此题主要考查了平移变换以及平行四边形面积求法等知识,根据题意正确把握平移的性质是解题关键.
12.画图并填空:
如图,方格纸中每个小正方形的边长都为1.在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A′B′C′,图中标出了点B的对应点B′.利用网格点和三角板画图或计算:
(1)在给定方格纸中画出平移后的△A′B′C′;
(2)画出AB边上的中线CD;
(3)画出BC边上的高线AE;
(4)△A′B′C′的面积为 8 .
(5)点F为方格纸上的格点(异于点B),若S△ACB=S△ACF,则图中这样的格点F共有 7 个.
【分析】
(1)根据图形平移的性质画出平移后的△A′B′C′即可;
(2)画出AB边上的中线CD即可;
(3)过点A向BC的延长线作垂线,垂足为点E即可;
(4)利用三角形的面积公式求解即可;
(5)过点B作BF∥AC,直线BF与格点的交点即为所求,还有AC下方的一个点.
【解答】解:
(1)如图,△A′B′C′即为所求;
(2)如图,线段CD即为所求;
(3)如图,线段AE即为所求;
(4)S△A′B′C′=
×4×4=8.
故答案为:
8;
(5)如图,共有7个格点.
故答案为:
7.
【点评】本题考查的是作图﹣平移变换,熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键.
13.如图,网格中每个小正方形边长为1,△ABC的顶点都在格点上.将△ABC向左平移2格,再向上平移3格,得到△A′B′C′.
(1)请在图中画出平移后的△A′B′C′;
(2)若连接BB′,C
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- 三角形格点与面积 三角形 面积 专题