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论线性规划企业利润最大化
引言
线性规划要紧用于解决生活、生产中的资源利用、人力调配、生产安排等问题,它是一种重要的数学模型.简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划,其最优解能够用数形结合方法求出。
涉及更多个变量的线性规划问题不能用初等方法解决。
线性规划问题的难点表现在三个方面:
一是将实际问题抽象为线性规划模型;二是线性约束条件和线性目标函数的几何表征;三是线性规划最优解的探求。
线性规划的进展史
法国数学家J.-B.-J.傅里叶和C.瓦莱一普森分不于
1832和1911年独立地提出线性规划的方法,但未引起注意。
1939年苏联数学家JI.B.康托罗维奇在《生产组织与打算中的数学方法》一书中提出线性规划问题,也未引起重视。
1947年美国数学家G.B.丹齐克提出线性规划的一般数学模型和求解线性规划问题的通用方法一一单纯形法,为这门学科奠定了基础。
1947年美国数学家J.von诺伊曼提出对偶理论,开创了线性规划的许多新的研究领域,扩大了它的应用范围和解题能力。
1951年美国经济学家T.C.库普曼斯把线性规划应用到经济领域,为此与康托罗维奇一起获1975年诺贝尔经济学奖。
50年代后对线性规划进行大量的理论研究,并涌现出一大批新的算法。
例如,1954年C.莱姆基提出对偶单纯形法,1954年S.加斯和T.萨迪等人解决了线性规划的灵敏度分析和参数规划问题,1956年A.塔克提出互补松弛定理,1960年G.B.丹齐克和P.沃尔夫提出分解算法等。
线性规划的研究成果还直接推动了其他数学规划问题包括整数规划、随机规划和非线性规划的算法研究。
由于数字电子计算机的进展,出现了许多线性规划软件,如MPSX,0P1IEIE,UMPIRE等,能够专门方便地求解几千个变量的线性规划问题。
1979年苏联数学家L.G.Khachian提出解线性规划问题的椭球算法,并证明它是多项式时刻算法。
1984年美国贝尔电话实验室的印度数学家N.卡马卡提出解
线性规划问题的新的多项式时刻算法。
用这种方法求解线性规划问题在变量个数为5000时只要单纯形法所用时刻的l/50o现已形成线性规划多项式算法理论。
50年代后线性规划的应用范围不断扩大。
随着经济的进展,关于线性规划在企业中的应用越来越广泛。
林海明早在1996年就立足于较强的普及性,从经济常识的角度来认知线性规划问题的解法,初步论述这一问题;熊福力、张晓东等在2004年作了《基于利润最大化的油田开发非线性规划》一文,他们依照油田开发的实际情况,将油田和利润细分为几个部分,以获得最大利润为目标,建立了油田开发的数学模型;吴海华和王志江在《关于影子价格作为企业资源配置依据的探讨》依照线性规划模型资源影子价格的经济意义,讨论了在企业以收入最大化和利润最大化两种情况下,影子价格作为企业资源配置依据时存在的问题。
胡徐胜、刘娟和汪发亮在《最优操纵在汽车企业利润最大化中的应用》一文中从汽车企业职工结构角度动身,研究在企业提供职工工资总量不超过某一限定值的情况下,如何分配汽车企业中一般职工与高级职工的比例来达到实现汽车企业利润最大化的目标。
随着经济社会的进展,线性规划在资源配置和企业治理方面发挥着独特的作用。
在企业的各项治理活动中,例如打算、生产、运输、技术等问题,从各种限制条件的组合中,通过对实际数据的分析处理和数学模型的建立,选择出最为合理的计算方法,建立线性规划模型从而求得最佳结果,给出了更多的决策参考信息。
这也将成为以后企业生产与治理的普遍方法。
不单如此,企业现现在更着重于对各种条件组合中限制条件作局部调整以达到对获得利润的一种操纵,而这恰恰也是线性规划问题中灵敏度分析所研究的对象。
本文共分为四章。
在第一章,介绍本文的背景和线性规划的进展状况;在第二章,介绍线性规划本身和一系列相关性质问题及企业利润最大化数学模型的基础知识;在第三章,介绍利用线性规划建立企业利润最大化数学模型;最后,求解模型最优解。
第2章线性规划问题
本章要紧介绍线性规划本身和一系列相关性质问题,并相应举出一些简单的例子更好的阐述了线性规划问题。
本章要紧借鉴于胡运权、郭耀煌等编著,清华大学出版社出版的《运筹学教程(第二版)》的内容。
2.1线性规划模型及标准型
2.1.1线性问题的数学模型
例1:
美佳公司打算制造I,II两种家电产品。
已知各制造一件时分不占用的设备A,B的台时、调试工序及每天可用于这两种家电的能力、各售出一件时的获利情况,如表1所示。
问该公司应制造两种家电各多少件,使猎取的利润为最大。
表1
项目
I
n
每天可用能力
设备A(h)
0
5
15
设备B(h)
6
2
24
调试工序(h)
1
1
3
利润(元)
2
1
对上例用首和分不表示美佳公司制造家电I和II的数量。
这
时此例数学模型可表示为
maxz=2x{+x2
5x2<15
6xj+2x2<24
<
%)+x2<5
Xj,x2>0
由此例能够看出,规划问题的数学模式型由三个要素组成:
⑴变量,或称决策变量,是问题中要确定的未知量,它用以表明规划中的用数量表示的方案、措施,可由决策者决定和操纵;
(2)目标函,它是决策变量的函数,按优化目标分不在那个函数前加上max或min;⑶约束条件,指决策变量取值时受到的各种资源条件的限制,通常表达为含决策变量的等式或不等式。
假定线性规划问题中含“个变量,分不用勺(J=l,表示,在目标函数中b的系数为勺(勺通常称为价值系数),亏的取值受加项资源的限制,用勺(21,)表标第i种资源的拥有量,用max(或min)z=衲+牡+…+c届表不变量厂取值为1个单位时所消耗或含有的第i种资源的数理量,通常称勺为技术系数或工艺系数。
刚上述线性规划问题的数学模型可表示为:
max(或min)z=c}x}+c2x2+•••+cnxn
4內+吗2兀2+…+细&§(或弓>)^+anx2+…+a2nxn<(或二,>)b2
••••••
a肿+am2x2+…+amnx„<(或二,>)/?
„,xHx2,---,xn>0
上述模型的简写形式为
irmx(或min)Z=工cJxj
minz=工丿用向量形式表达时,上述模型可写为:
max(或min)z=CX
工号®V(或=2)bj-i
X>0
用矩阵和向量形式来表示可写为:
max(或min)z=CX
AX<(或=,A)b
X>0
»
5如…
A称为约束方程组(约束条件)的系数矩阵。
变量©的取值一般配为非负,即x;>0;从数学意义上能够有勺wo。
又假如变量心表示第丿•种产品期内产量相关于前期产量的增加值,则厂的取值范围为称◎取值不受约束,或X,无约束。
2.1.1.2线性规划问题的标准形式
线性规是问题的标准形式如下:
n
maxz=工0內
n
DijXj=bt=加)
丹noo=i,...,“)
标准形式的线性规划模型中,目标函数为求极大值,约束条件全为等式,约束条件右端常数项勺全为非负值,变量厂的取值全为非负值。
对不符合标准形式的线笥规划问题,可分不通过下列方法化为标准形式。
1)目标函数为求微小值,即为:
/I
minz=cjxj
j-i
因为求min乙等价于求max(-z),令艺=-Z,即化为:
n
max才=_工5旺
2)约束条件的右端项勺<0时,只需将等式或不等式两端同乘
(-1),则等式右端项必大于零。
3)约束条件为不等式。
当约束条件为时,如6x1+2x2<24,
可令x3=24-6x,-2x2,得6a(+2x,+=24,显然>0o当约束条件
为“三”时,如有10^+12^>18,可令x4=10^+12^-18,得10x1+12x2-x4=18,x4>0o心和2是新加上去的变量,取值均为非负,加到原约束条中去的变量其目的是使不等式转化为等式,其中®称为松弛变量,耳一般配称为剩余变量,但也有称松弛变量的。
松弛变量或剩余变量在实际问题中分不表示未被充分利用的资源和超出的资源数,均未转化为价值和利润,因此引进模型后它们在目标函数中的系数均为零。
4)取值无约束的变量是。
假如变量x代表某产品当年打算数与上一年打算数之差,显然x的以值可能是正也可能是负,这时可令x=y-z,其中y>o,z>o,将其代入线性规划模型即可。
5)对xso的情况,令y=-x,显然eo。
2.2线性规划模型的求解
2.2.1线性规划问题的基与解
AX=h①
线性无关:
关于n维空间的一组向量PpP2Pffl,若数域F中
有一组不全为0的数山(心1,2,…肿),使alPl+a^2+...+amPm=Q成立,则称这组向量在F上线性相关。
否则称这组向量在F上线性无关。
秩:
设A是mXn矩阵。
若A的n个列向量中有r个线性无关而所有个数大于r的列向量组都线性相关,则称数r为矩阵A的列秩。
类似可定久矩阵A的行秩。
矩阵A的列秩与行秩一定相等,它也称为矩阵A的秩。
基:
已知A是约束条件的mXn系数矩阵,其秩为m。
若B是A中mXm非奇异子矩阵(即可逆矩阵,有网工0),则称B是线性规划问题的一个基,B是由A中ni个线性无关的系数列向量组成的。
基向量:
B中一列片(共m个)一基变量兀
非基向量:
B外(A中)一列P,(共n—m个)一非基变量©
可行解:
满足①、②的解
最优解:
满足③的可行解
差不多解:
令所有非基变量二0,求出的满足①的解
差不多可行解:
满足②的差不多解
最优差不多可行解:
满足③的差不多可行解
退化的差不多解:
有基变量二0的差不多解
退化的差不多可行解
退化的最优化差不多可行解
2.2.2线性规划的图解法
•适于求解二维问题
•不必化为标准型
2.2.1.1图解法步骤
例2:
maxz=2x{+3x2
Xj+2x2<8
4Xj<16
<
A->0
x2>0
1)由全部约束条件作图求出可行域2)作出一条目标函数的等值线3)平移目标函数等值线,作图得最优点,再算出最优值
最优点Q:
比=4x2=2;最优值Z:
maxz=14.
2.2.1.2从图解法看线性规划问题解的几种情况
1)有唯一最优解(一般情况)
2)有无穷多组最优解(平行;最优值相同)
对例2,修改为:
maxw=2X]+4x2
3)无可行解(可行域空集)
对例2,增加一个约束条件:
兀》5
4)无有限最优解(无界域;取决于求max依旧min?
)
对例2,去掉第一个约束条件
•线性规划的可行域为凸集,专门情况下为无界域(有有限个
顶点)或空集。
线性规划若有最优解,一定可在可行域顶点上得到。
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