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整理9广义积分习题课
第九章广义积分习题课
一、主要内容
1、基本概念无穷限广义积分和无界函数广义积分敛散性的定义、绝对收敛、条件收敛。
2、敛散性判别法
Cauchy收敛准则、比较判别法、Cauchy判别法、Abel判别法、Dirichlet判别法。
3、广义积分的计算
4、广义积分与数项级数的关系
5、广义积分敛散性的判别原则和程序包括定义在内的广义积分的各种判别法都有特定的作用对象和原则,定义既是定性的――用于判断简单的具体广义积分的敛散性,也是定量的――用于计算广义积分,其它判别法都是定性的,只能用于判断敛散性,Cauchy判别法可以用于抽象、半抽象及简单的具体广义积分的敛散性,比较判别法和Cauchy判别法用于不变号函数的具体广义积分和抽象广义积分判别法,Abel判别法和Dirichlet判别法处理的广义积分结构更复杂、更一般。
对具体广义积分敛散性判别的程序:
1、比较法。
2、Cauchy法。
3、Abel判别法和Dirichlet判别法。
4、临界情况的定义法。
5、发散性判别的Cauchy收敛准则。
注、对一个具体的广义积分敛散性的判别,比较法和Cauchy法所起作用基本相同。
注、在判断广义积分敛散性时要求:
1、根据具体题型结构,分析特点,灵活选择方法。
2、处理问题的主要思想:
简化矛盾,集中统一,重点处理。
3、重点要掌握的技巧:
阶的分析方法。
二、典型例子
下述一系列例子,都是要求讨论其敛散性。
注意判别法使用的顺序
dx
例1判断广义积分Ipdxq的敛散性。
0xpxq
分析从结构看,主要是分析分母中两个因子的作用
对I1,先讨论简单情形。
pq时,p1时收敛,p1时发散。
1dx
pq,不妨设pq,则I10pdxqp,故,p0时为常义积分,
0xp(1xqp)
此时收敛。
p0时,由于
因此,I1与p积分同时敛散,即p1时收敛,p1时发散。
因此,对I1,此时广义积分的敛散性完全由分母中的低阶项决定。
上述结论也可以总结为:
min{p,q}<1时收敛,min{p,q}31时发散对I2,类似可以讨论,即pq时,p1时收敛,p1时发散。
dx
pq,不妨设pq,则I21xq(1dxxpq),由于
因此,I2与p积分同时敛散,即q1时收敛,q1时发散。
此时,广义积分I2的敛散性完全由分母中的高阶项决定。
上述结论也可以总结为:
max{p,q}>1时收敛,max{p,q}£1时发散。
综上:
p1q或q1p时收敛,其余发散。
或者为:
min{p,q}<1 1 sin(x1) 例2讨论I2 mxdx的绝对收敛和条件收敛性,其中m>0。 x 精品文档 分析积分结构中包含有正弦函数的因子,注意利用它的两个特性: 本身有界性――用于获得绝对收敛性的相关结论;积分片段的有界性――用于获得收敛性。 注意验证积分片段有界性时的配因子方法。 解: 先分析绝对收敛性,由于 sinx (1)1 |mx|1m,xx故,m>1时,广义积分绝对收敛。 当0m1时,利用配因子法验证积分片段的有界性, A1A111 |2sin(x)dx||2(122)sin(x)dx| 2dxM x 2x2xxxA11A |2sin(x)d(x)|2 2xx2 由Dirichlet判别法,广义积分收敛。 由于 对I1,由于 故,当m- limx x0 1<1,即m< m1ln(1x) m1, x 2时,I1收敛;当m2时,I1发散。 对I2, 利用已知的结论: ln(1x)0,则x 当m1时, 故I2收敛。 lim x xpln(1x) xm x 取p使得1pm,则 limxp x ln1(x)0m x 当m1时, ln(1x) m x 故I2发散。 因而, 例4 分析 当1m2时, +? 讨论I=ò0分段处理,对第一部分的无界函数广义积分,是非负函数的广义积 I收敛;m1或m2时I发散。 sinx esin2x dx的敛散性,其中l>0。 xl 分,可以用比较判别法或Cauchy判别法,对第二部分的无穷限广义积分,由于被积函数是变号函数,因此,应该用 1esinxsin2x xdx, x Abel判别法或Dirichlet判别法。 解: 记I1 I2 sinx esin2x dx x 对I1,当11,i.e2时, sinx 1esin2xlimx x0x 2e 故,I1收敛。 由于此时被积函数不变号,故又绝对收敛。 当11,i.e2时, 故,I1发散 对I2,由于 故当1时,I2(绝对)收敛 当01时,由于,对任意 A esixnsin2xd 1 且当x时,1单调递减趋于0,由Dirichlet判别法,I2收敛。 x2又,此时 ++且1dx发散, 1x1 因而,当01时,I2条件收敛。 综上,12时,I绝对收敛;01时,I条件收敛;2时,I发散。 例5讨论Ixpsinxqdx的敛散性,其中p、q非负。 分析从被积函数的结构可以发现,组成被积函数的两个因子中,较难处理的是因子sinxq,因此,处理思想就是将其简化,处理手段是变量代换。 处理技巧是先易后难。 解、先考虑最简情形: q0时的情形。 1pp 记I1(p)0xpdx,I2(p)1xpdx,此时,I1(p)、I2(p)分别是无界函数和无穷限广义积分,因此,p1时,I1(p)收敛;p1时,I1(p)发散;而对I2,p1时I2(p)时收敛,p1时I2(p)发散,故q0时,I发散 当q0时,令txq,p1q,则 q 对I1tsintdt,由于limtsin1t1,故I1与t1dt同时敛散。 因而, (1)1,ie2时,I1(绝对)收敛;2时,I1发散。 对I21tsintdt,由于tsintt,故,1时,I2绝对收敛;当 10时,由Dirichlet判别法,I2(条件)收敛 当0时,利用周期函数的积分性质,则 因而,由Cauchy收敛准则,I2发散 综上: q0时,I发散;q0时,-1p10时,I绝对收敛;q 0p11时,I条件收敛;1p1时,I发散。 qq 注、本题的证明思想: 过程: 由易到难;矛盾集中,突出重点,抓住主要矛盾。 注、也可以用配因子法处理。 下述的例子用阶的分析法。 sinx1 例6讨论I(1sinx)31dx的敛散性。 0x 分析首先将积分分段处理,记I11(1sinx)31dx, 10x 1 I2(1sin)31dx。 从被积函数结构看,被积函数形式较为复杂,处理 21x的方法一般是通过阶的分析,估计其速度,从而估计敛散性,并进一步验证。 对I1,分析奇点附近被积函数的阶。 由于 3 x3 sinxxo(x), 3! 2 sinxx2 1 sinx-3因而,(1-)3: x 2 3,从而,判断出被积函数在奇点处的奇性。 对I2,对被积函数作阶的分析,由于x充分大时 sinx <<1,因此,利 用函数展开理论得 对I1,利用L'Hosptial法则, 因而, 2lim+x3x? 0+ (-1 对I2由于 sinx 1- sinx x 2 x 1 sinx-3 )3= lim x? 0+ 1,(x1),则 1 , 6 1 1 61(3,)故,I1收敛。 其中0( 2 sinx) 2) x C , 2 x 收敛,故I2条件收敛。 1 sinx3 (1)3 x 因而ò1 2 1sinxsinx 0 (2) 3xx +¥ o(x2x 2 sinx)dx收敛,又由于1sinxdx条件 1x 因此,I条件收敛。 注、对复杂的函数结构利用函数展开理论判断广义积分的敛散性也是一个有效的方法。 例7 分析: 1 sin x 1 ln(1sinx1) xdx(0)。 1 xlncos x 这是无穷限广义积分,分析x时被积函数的性质,此时 0,故 1 又cos1 x2x 11ln(1sin)~sin x 11 12o(13), x 1,,x 1lncos x ln(1 1 2x2 1 o(3) x 1 x2 ,证明过程就是验证上述函数关系。 limx x 1 ln(1sin) x 1 x|lncos| x 1 ln(1sin)xlim1x x 1 21xlncosx 1 因而,I与广义积分12dx同时敛散。 故3时,I收敛;3时, x I发散。 下述的一个命题反映了判别敛散性的又一思想方法。 例8证明: 设f(x)、g(x)在[a,)上连续,g(x)单调且C2g(x)C10, 则f(x)dx与f(x)g(x)dx同时敛散。 aa 证明: 若f(x)dx收敛,由Abel判别法,f(x)g(x)dx收敛。 aa 若f(x)g(x)dx收敛,则 a 1 af(x)dx=af(x)g(x)1dx aag(x) 1111 仍有1单调且1110,由Abel判别法,则f(x)dx收敛。 g(x)C1g(x)C2a 注、本命题结论非常简单,但命题中体现出来的思想非常有用。 即在讨论广义积分的敛散性时,分析被积函数的结构,抓住主要因素,解决主要矛盾,略去次要因素,即将一个复杂的广义积分转化为较为简单的广义积分讨论其敛散性。 下面,通过一个例子,说明例8的作用。 xpsinx 例9讨论I1x1sixnqxdx(q0)的敛散性。 解、由于 p xsinxpq1 qxsinxq, 1xq1xq 由于1q非负单调且11q1,因此,利用例8的结论,其与siqnpxdx 1xq1xq21xqp 同时敛散。 因而,qp1时绝对收敛;0qp1时条件收敛;qp0时 精品文档发散。 面一个结论与例8具有类似的思想。 例10设函数f(x)、g(x)、h(x)定义在[a,+? )上且对任意有限的实数A>a,它们都在[a,A]上可积,证明: 若f(x)#g(x)h(x)且广义积分 分析题目类似极限的两边夹定理,但是条件较弱,证明思路是通过条件 寻找它们之间的关系,利用性质或定义或比较法进行判断。 证明: 由所给的关系式, 则 0? g(x) f(x? )h(x)f(,x 由条件和广义积分性质,则 +? ò(h(x)-f(x))dx收敛,由比较判别法,则 +? òa(g(x)-f(x))dx收敛,由于g(x)=g(x)-f(x)+f(x),再次利 +? 用积分性质,则òg(x)dx收敛。 注、例10结论表明,对待考察的广义积分的被积函数进行适当的估计,去 掉一些次要因素的影响,由此得到收敛性,体现了研究广义积分收敛性的又一 思想 注、尽管例8和例10体现的处理问题的思想类似,但是,由于例8是一个等价的转化,得到的是同敛散的结论,因此,例8的结论比例10要好。 面的命题用于处理另一类广义积分的敛散性。 例11设f(x)>0且单调递减,证明f(x)dx与f(x)sin2xdx同时敛散证明: 因为f(x)>0且单调递减,故limf(x)存在。 x 若limf(x)=0,则由Dirichlet判别法,f(x)cos2xdx收敛。 由于 xa 2 2f(x)sin2xdx=f(x)dx-f(x)cos2xdx f(x)dx与f(x)sin2xdx同时敛散。 a 若limf(x)=b>0,此时f(x)dx发散。 由极限定义,存在A>a,使得x>Axa 22 故,I2psipnxdx与sin2pxdx同时敛散,由例11,又与12pdx同 22xp(xpsinx)2x2p2x2p 时敛散,即p1时收敛,p1时发散。 22 故,I2psinxdx当p1时收敛,p1时发散。 2xpsinx22 注、这类题目的讨论技巧性高,得到的结论也深刻。 事实上,和sinpxdx 2x作对比可以发现,分母上增加因子sinx,深刻改变了其敛散性,使得收敛范围变小。 这也反映了广义积分敛散性的复杂性。 注、例12也表明了因子sinx的复杂作用,当它处在分子上时,可以充分利用其本身有界和积分片段的有界性得到一些敛散性结论;但是,当这个因子处在分母上时,其变号且非单调的性质起到了很大的作用,从而影响到了广义积分的敛散性。 也可以通过与例9的结论对比发现这些差异,例9中,分母为1xq~xq,因子1不起作用,此例中,分母中的因子sinx起到了影响敛散性的作用。 1 例13若f(x)dx收敛,f(x)在[a,)单调,则f(x)o()(x), ax即limxf(x)=0。 x? ? 分析要证明的结论表明,要研究的是被积函数的极限行为(x),即要控制当x充分大时的xf(x),而从广义积分的收敛性的条件能产生与被积函数的无穷远处的行为有关的结论就是Cauchy收敛准则,因此,建立二者的桥Aⅱ梁为Cauchy收敛准则。 因此,证明的关键就是如何从Cauchy片段òf(t)dt中分离出xf(x),因此,必须通过选择与x有关的Aⅱ,A? 达到目的,特别注意f(x)可以由被积函数产生,即从积分号下把被积函数分离出来,而系数显然要通过积分限产生。 证明: 设f(x)单调递减,由f(x)dx收敛,则f(x)0。 由Cauchy收敛a 准则,存在充分大A00,使得对任意A2A1A0,成立 òf(t)dt x对任意x2A0,取A2x,A1,则 0212 x òxf(t)dt 2 利用函数的单调性,则, xf(x)2,故,limxf(x)0。 x 1 类例: 若f(x)dx收敛,limf(x),则limxf(x)0。 0x0x注、此结论比讲义中的结论更强。 注、作为最简单的广义积分――p-积分,揭示了广义积分收敛的本质, 即x时,被积函数趋于0的速度高于一阶时,广义积分收敛。 本题说明: 在一定的条件下,上述条件还是必要的。 注、更进一步还有: 若af(x)dx收敛,xf(x)单调递减,则a limxf(x)lnx0。 事实上,对充分大的x,由Cauchy收敛准则, xx1x11f(t)dttf(t)dtxf(x)dtxf(x)lnx。 xxtxt2 0的速度还大。 1 结论说明,此时f(x)趋于0的速度比趋于 1 òxpf(x)dx收敛, xlnx 注、成立更一般的结论: 设f(x)在(0,1]单调,且 则lim+xp+1f(x)=0。 x? 0+ 例14设若f(x)在[a,)上有连续导数且f(x)单调递减趋于0(x), 证明f(x)dx收敛的充要条件是xf(x)dx收敛。 aa 分析从要证明的结论看,建立两个广义积分的联系的桥梁是分部积分法, f(x)dx=xf(x)|aA-xf¢(x)dx。 从此关系式看,要证明结论关 a AA即蝌a键是解决极限limxf(x)的存在性。 x? ? 证明: 必要性。 若f(x)dx收敛,则由例13, xlimxf(x)0, 因而, AAAxf(x)dxxf(x)|aAf(x)dxaf(a)f(x)dx, 故,xf(x)dx收敛。 a 充分性。 由于limf(x)0,下面利用xf(x)dx的收敛性研究极限limxf(x)的存在性,由于 x? ? xt(f(t))dtxtf(t)dt由axf(x)dx收敛,则limxf(x)0。 又,同样成立 因而f(x)dx收敛。 a +? 注、证明过程中,用到了结论: 若òf(x)dx收敛,则 +? 事实上,记òf(x)dx=I,则 +? A lim A? ギ 蝌fx(d)x=limI-[fxd(x=)]。 例15证明: 若f(x)在[a,)上有连续导数且f(x)dx、f(x)dx都收 敛,则limf(x)0x A f(x)dxAlim[f(A)f(a)] 证明: 由收敛性定义,对任意Aa, limf(x)0。 af(x)dx=Alima 因而,limf(x)存在,又af(x)dx收敛,则必有 注、也可以用Cauchy收敛准则证明。 但本题采用定义证明更简单,因此既 要掌握处理某一类型问题的一般原则,又要学会灵活应用。 注、此例还说明,对数项级数成立的收敛性的必要条件对广义积分并不成立,必须增加一定的条件才能保证其成立。 例16证明: 若非负函数f(x)在[1,)单调减少,则1f(x)dx与数项级数f(n)同时敛散。 n1 分析本题要求在两种不同形式间进行比较,处理这类问题的思想方法是n1 形式统一法,将积分转化为和式即f(x)dxf(x)dx,由此看出,命题 1n1n n1 的证明实际就是比较f(n)与nf(x)dx的关系。 证明: 由于f(x)0且f(x)在[1,)单调减少,故 f(n)f(x)f(n1),x[n,n1] 因而 n1n1n1 f(n)f(n)dxf(x)dxf(n1)dxf(n1)故, nn1n1f(k)f(x)dxf(k),k11k2 因而,f(x)dx与数项级数f(n)同时敛散。 1n1 例17设f(x)在任意有限区间[a,A]上可积且limf(x)0,n limf(x)dxA,证明: f(x)dx=A。 分析从条件和结论很发现证明的思路。 证明: 由limf(x)0和limf(x)dxA,则对任意0,存在N0,使得当xN和nN时, n |f(x)|,af(x)dx对任意MN1,存在n>N,使得n? Mn+1,故 MMnn f(x)dxAf(x)dxf(x)dxf(x)dxA (Mn)2 故,f(x)dx=A。 a 面给出几个广义积分的计算题目 关于广义积分的计算,基本思路和方法是利用N-L公式、分部积分、极限运算。 技巧是选择合适的变量代换。 例18(Frullani积分)证明: 若f(x)C[0,)且对任意A0,广义积分 f(x)dx收敛,则If(ax)f(bx)dxf(0)lnb Ax0xa 分析解题思想是将待计算的未知的积分转化为已知的积分,手段是利用 变量代换。 事实上,已知的是积分形式f(x)dx,待计算的量是形式 Ax òf(ax)-f(bx)dx,因此,可以利用极限将两种形式,也将已知和未 0x 知的量联系起来。 证明: 对任意的0,则 f(ax)dxtaxf(t)dt; xat 同样,f(bx)dx x tbxf(t) f(t)dt。 因而, bt Ilim 0 f(ax)f(bx)bf(x)dxlimdx0ax 利用积分中值定理, b f(0)ln。 a f(t24ab)dt, b1 Ilimf()dx 0ax b 例19证明: f(axb)dx 0x 其中a0,b0,积分有意义。 分析从证明的结论中可以发现所应该采取的方法和手段,即应该是选择 一个合适的变换,使得axbt24ab,从这一关系式中可以发现,变换不x 唯一。 由此可证明命题。 例21证明I 1x1t证明: 由于2dx12tdt 1(1x)(1x)0(1t2)(1t) 11111因而I2dx2dx2dt 0(1x2)(1x)1(1x2)(1x)01t2 故其与无关。 面讨论广义积分和无穷和的极限的关系。 例22 1 设f(x)在(0,1]单调,x=0为其奇点,广义积分f(x)dx收敛,证明: 11n 0f(x)dx=nln1 klimf()。 k1n 分析 与例16类似,将积分转化为有限和,进而考察相互的关系。 证明: 设f(x)在(0,1]单调递增,则 k
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