宏观经济复习题.docx
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宏观经济复习题
复习题
1.假设生产函数是柯布一道格拉斯形式,例如,Y=K1~a(AL)ar在索洛模型中:
1)求出稳态时的k*,y*和c*(提示,稳态时的k*,y*和c*是s,n,6和a的函数)
2)资本k的黄金律水平是多少?
3)产生资本黄金律水平紿所需要的储蓄率是多少?
解:
1)C-D生产函数的紧凑形式为y=kl~a,其中y=Y/AL,k=K/ALo在索洛模型中,总量
资本的动态方程为K=sY-SK,化为紧凑形式后变为:
k=sy-{6+g+n)k,其中g=A/A,n=L/L
在稳态时有k=^-(3+g+n)k=09将y=A^ak^代入,则得到均衡时的单位有效劳
动资本存量:
Ifa
k*=
因此,
2)根据%=y-c一(5+g+n)k=0
c=y-(5+g+n)k=kl~a一(5+g+〃)R当c最人时,有dc/dk=Q,即(l-a)A[~ak~a=S+g+n
I-a
6+g+n
厂"11/Ct
3)因为c=(1-s)k^a=k^a-^+g+n)k9所以
skl~a=(S+g+n)k,即s=(6+g+n)ka
$w=(5+g+〃)
这正好等于产出的资本弹性。
在C・D生产函数中,这意味着当储蓄率等于资本在产出中的份
额时,才能达到黄金律水平。
2.考虑一个带技术进步、但不存在人口增长的经济。
初始状态位于均衡增长路径上,假设出现了新工人,导致工人数量发生了一次性“跳跃式”增加。
分析下面的问题:
1)在“跳跃”发生时,有效劳动的人均产出如何变化,为什么?
2)当新工人出现时,有效劳动人均产出发生了初始变化后,有效劳动人均产出是否会有进一步的变化,为什么?
3)一旦经济达到了一个新的均衡增长路径,新的均衡有效劳动的人均产出与原来相比有什么变化?
解:
1)假设在时间t。
时,工人数量突然向上“跳跃”,L増加。
这将会使得有效劳动人均资本存量均衡值k*下降到新的水平—由于y=f(k),并且k与y呈正向关系,因此,有
效劳动人均产出水平y*均值也卞降。
2)
"伙,")>(g+3)R”c「这意味着该点上投资水平高于收支相抵的投资水平,因而净投资
增加,有效劳动人均资本存量升高,从匕“升高到R*。
随着k的升高,y也会回到原来的水平厂。
3)最终,有效劳动人均产出回到原来的水平。
3.在拉姆齐模型中,给出单位有效劳动消费的欧拉方程—咛也,其中,】(t)表示实际CC7
利率,在没有折旧的情况r(t)=f(fc),在有折旧6的情况下r(t)=f(fc)-50p表示时间偏好,&表示效用函数中的边际效应替代率,g表示技术进步率。
单位有效劳动人均资本的动态方程为"=/(fc)—c—(7i+0)4其中,n表示劳动L增长率。
下列参数和变量的变化如何。
=0和«=0曲线,从而如何影响平衡增长路径上的c和k的值。
1)e升高
2)生产函数向下移动
3)6折旧率从零变为正值
解:
根据单位有效消费C和单位有效资本存量k的动态方程分别为:
k=f(k)-c-e十g)k
(2)
相位图为:
图1
1)8的升高意味着消费的跨期替代弹性(I/O)较小,意味着家庭将消费从现在推迟到未来的意愿越小,也意味着当消费升高时,消费的边际效应下降的更快。
从方程
(1)来看,曲线C=0向左移动,而方程
(2)显示,k=0曲线不受影响。
因此,新的相位图2表
示为:
图2
首先,&的升高使得当前消费升高,即均衡点从E移动到A点,增长重新位于鞍路径之上,沿着新的鞍路径,经济由A点向F移动,重新回到新大稳态均衡点。
由于/'伙=*)=/?
+改
变人,并且/"伙)V0,因此在新的稳态均衡点,单位有效劳动的资本存量k下降,根据
=k璟的下降也是的新均衡点的单位有效劳动的消费广下降。
2)生产函数/伙)向下移动意味着k=0向卞移动,因而在不变的k上,产出/伙)更
低,并且广(灯也下降。
给定k,由于c(t)/c(t)=[f伙)一。
一砂]/&,广伙)变小意味着
C=0向左移动。
如图3所示,稳态下疋和T都变小。
3)当折旧率5为正,资本积累方程为k=f(k)-c7i+g+§)k;相对于5=0时的资本积累方程"=f(k)-c-(n+g)k,5为正意味着«=0曲线下降。
当5为正时,消费动态方程为:
型=/lk)_6_p-纵,"/)=广伙)_洪这意味
c(r)0
着相对5等零时的消费动态方程空」E-P—纵向左移动。
这意味着在更高的折旧
如e
率5上,广伙)=5+0+改升高,这意味着k下降。
因此,新的相位图表示为图4:
图4
在新的均衡点,k和c更低。
这里暗示,更高的折旧率5意味着为了维持原来的人均资本存量水平,收支相抵水平的投资更高,因而需要更高的消费。
这导致人均消费下降。
由于更多投资用于资本的广化,因而新均衡下的资本存量更低。
4.考虑两个经济体(泛,2),生产函数是x=«(『)&,资本的动态方程为:
KerW),并且,&>1。
假设两个经济体具有初始的资本存量但是必>$「证明,YJY^高。
证明:
人/乙升高,意味着在任何时间上两个比重的增长率都是正的。
由Y,=(i=l,2)
可以得到土=虽,两边取自然对数In,并对时间t求导数,得到:
人iK■,丿
其中,g;和g;分别为心和©的增长率。
由于&>1,如果证明g;>g;,则可以说明YJY.的增长率是升高的。
根据^(0=^(0和生产函数,可知国家i(l和2)资本的增长率为:
g;=qK严,
所以'£=(0—l)(g;)2‘由于8>1,所以’g;处于递增状况。
如下图:
根据g;=s,KjT,由于两个国家的初始资本存量相同,并以国家1的资本增长率会高于国家2的资本增长率,即g;—=—s’Kj1〉。
。
因此得证。
5.假设世界上存在两个国家,北方和南方。
北方的生产函数为YN=A.(t)(l-aL)LNt其中A为知识存量水平,且Av(t)=aLLNAN(t)o南方没有研发活动,仅仅使用北方转让的技术。
假设南方国家的技术水平落后于北方国家r年,因此,南方的生产函数为电(f)=As(t)Ls,且As=AN(t-r).如果北方国家人均产出年增长率为3%,并且如果仪趋近于0,问r值是多少才能使得北方国家的人均产出是南方国家人均产出的10倍?
解:
首先,根据生产函数给出北方国家和南方国家的人均产出,分别为:
yN=YN/厶V=AnQ)(1-al)
ys=Ys/Ls=As(t)
由于人=Am,则ys=A,v(r-r)o
根据北方国家人均产出的函数,人均产出增长率为:
由于gj=3%,则g;=3%o根据An(/)=cilLnAn(t),可得出:
g:
=An(f)/An(t)==3%,由于LN是
正的,可以认为勺.接近于Oo这意味着,北方国家技术进步率是正的,且是不变的。
假设初始的技术水平为Av(o),则有:
Av(0=4v(0)"乳和Av(r-r)=Av(。
)用宀
因此,北方和南方的人均产出分别可以表示为:
yN=AN(0)e^(l-aL)
ys=A^0)e^-r)
如果北方国家的人均产出是南方国家的10倍,则有:
丘必(1一业)=10幺必1,可以令勺广0,并且g:
=3%,因此,0.03r=lnl0a2.3,所以,r«77(年)。
即经过77年,北方国家的人均产出是南方国家的10倍。
6・假设生产函数为=tH(t)=BaHH(t)和K(/)=s")。
假设
0vavl,0<0vl和a+0〉l。
1)H的增长率是多少?
2)经济是否收敛到一个均衡增长路径?
如果是的,在均衡增长路径上K和Y的增长率是多少?
解:
(1)根据=H的增长率为gH=H(t)/H{t)=BaH
⑵根据生产函数和K的动态方程,可以得到:
gK=K/K=sKa[(l-aH)H{t)y
两边取自然对数In,并对t求导数:
劭仏=©一1皿+0滋
相位图为:
因此,经济收敛于一个均衡增长路径。
均衡时,有gH=0和gK=0,由于g/=BciH为常数,因此,得到K在均衡路径上的增长率为:
2*=如
收入Y在均衡路径上的增长率为:
7.假定生产函数中的要素包括劳动L、资本K和土地X,且生产函数具有不变规模报酬和不变替代弹性的性质:
Y=A[a(Kal}~aY+(1-a)X。
严
其中,X>0,a>0,0<«<1且卩<1。
不存在技术进步,L以不变速度11>0增长,
土地数量固定。
折旧率为0。
收入现在包括了地租和对资本以及劳动的报酬。
1)证明对要素的竞争性报酬分光了总产出
2)当卩为什么值时,人均产出水平y在稳态中不变?
当°为什么值时,人
均产出水平y在长期中平稳下降?
8.考虑一个带额外技术冲击的RBC模型,经济中存在无限存活的个人,人口数量不变。
代表性个人的目标是使无限寿命内期望效应最大,工二u(G)/(l+QT,p>0,i氏CJ=C’—8C;,&>0,并且假设C总是在/(C)>0的范围内。
生产函
数为X=AK,+弓。
资本没有折旧,因此心]=«+匕-匚,利率是A。
假设,A=p,弓=031+吕,其中-1V0V1,岂是独立同分布的冲击,均值为0。
求:
(1)关于C,和Cw的欧拉方程;
(2)假设消费的函数形式为:
C严an仏,给出K出关于K,和《的函数形式;
(3)如果
(1)中的欧拉方程对于所有的K,和◎值都满足,参数a、0和厂应满足什么条件?
(4)名上的一次冲击将如何影响Y、K和C的路径?
9考虑下面的收入决定模型。
消费取决于上一期的收入C,=a+bX;意愿的资本存量或存货存量与上一期的产出成正比:
K;=cY,_l:
投资等于意愿资本存量与上一期资本存量之差:
政府购买是常数G,=G;并且有Y,=Ct+It+GtO
(1)将乙表示成牟八牟2以及其他参数的函数;
(2)假设"0.9和20.5。
假设政府购买上存在一次性扰动,即在t期,有
G,=G+lf在其他时期G,=Gf这个扰动对产出的影响随时间如何变化?
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