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矢量与坐标
第1章向量与坐标
§1.1向量的概念
1.下列情形中的向量终点各构成什么图形?
(1)把空间中一切单位向量归结到共同的始点;
(2)把平行于某一平面的一切单位向量归结到共同的始点;
⑶把平行于某一直线的一切向量归结到共同的始点;
(4)把平行于某一直线的一切单位向量归结到共同的始点
[解]:
(1)单位球面;
(3)直线;
(2)单位圆
(4)相距为2的两点A
2.设点0是正六边形ABCDE的中心,
在向量0A、OB、0C、0d、0E、
C
图1-1
BC、
OF、
AB、
CD、
DE、EF
[解]:
如图1-1,在正六边形詁—TT
量和互为相反向量的向量:
T_T
AB、CD;
(2)AE
(1)
CG;(3)AC、EG;
BE、
AD、GF;
CH.
[解]:
相等的向量对是
(2)、(3)和(5);
图1—3
和FA中,哪些向量是相等的?
ABCDEF中,相等的向量对是:
TT7TT0A和EF;0B和FA;0C和AB;0E和CD;OF和DE.
3.设在平面上给了一个四边形ABCD,点K、L、M、N分别是边AB、BC、CD、DA的中点,求证:
KL.
当ABCD是空间四边形时,这等式是否也成立?
4J
证:
如图1-2,连结AC,则在厶BAC中,KL=」AC.KL与AC方向相同;在:
DAC
2
中,NM=1AC.NM与AC方向相同,从而KL二NM且KL与NM方向相同,所以
2
KL=nM.
4.如图1-3,设ABCDEFGH是一个平行六面体,在下列各对向量中,找出相等的矢
互为反向量的向量对是
(1)和(4)
§1.3数量乘向量
1.要使下列各式成立,向量a,b应满足什么条件?
4H4444444^4
(1)|ab|二|a-b|;
(2)|ab|二|a||b|;(3)|ab|二|a|—|b|;
H/、彳呻呻4
(4)|a-bh|a||b|;(5)|a—b卜|a|—|b|;
[解]:
(1)a,b所在的直线垂直时有a芥a-b|;;
(2)a,b同向时有|ab|=|a||b|;
(3)|a||b|且a,b反向时有|ab|=|a|-|b|;
■I4444
(4)a,b反向时有|a-b卜|a||b|;
(5)a,b同向,且|a||b|时有|a-b|=|a|-|b|;
2.设L、MN分别是△ABC勺三边BCCAAB的中点,证明:
三中线向量AL,BM
CN可以构成一个三角形.
一1一——-1—-————-1—一
[证明]:
AL(ABAC),BM(BABC),CN(CACB)
1-
.ALBMCN(ABACBABCCACB^0
2
从而三中线向量AL,BM,CN构成一个三角形。
3.设L、MN是厶ABQ的三边的中点,0是任意一点,证明
OAOB+OC=OL+OM+0N.OC=0NNC
OaObO^^olomOn(lambnc)
=OlOMOn'-(ALBMCN)
由上题结论知:
ALBMCN=0,■OAOBOC=OLOMON
4.用向量法证明,平行四边行的对角线互相平分.
[证明]:
如图1-4,在平行四边形ABCD中,O是
对角线AC,BD的交点
AD
=OD-OA,
BC=OC-OB
AD二BC
Od-Oa=Oc-Ob,但
OAOC
OD
OB
由于(OAOC)//AC,(OBOD)//BD,而AC不平行于BD,
.OAOC=ODOB=0,从而OA=O,OB=OD
5.如图1-5,设M是平行四边形ABCD勺中心,O是
任意一点,证明
OA+OB+OC+OD=4OM.
[证明]:
因为OM=丄(OA+OC),OM=1(OB+OD),
22
图1-7
所以2OM=!
(OA+OB+OC+OD)
2
所以Oa+OB+oC+OD=4OM.
6.设点O是平面上正多边形AA…A的中心,证
明:
OA+OA+…+OA=0.
图1-5
[证明]:
因为OA’+OA=■OA2,
OA+OA=&0人,OAn丄+OA=九OA,
OA+OA=OA1,所以2(OA+OA+…+OA)
='(0A1+OA++OA),
所以('—2)(OA+OA?
+…+OA)=0.
显然■工2,即■—2工0.所以OA+OA+…+OA=0.
§1.4向量的线性关系与向量的分解
1.设一直线上三点A,B,P满足AP=PB(“—1),0是空间任意一点,求证:
0P=
OA0B
1■■■■
[证明]:
如图1-7,因为
AP=OP—OA,PB=OB—OP,所以OP—OA='(OB―OP),(1+)OP=OA+'OB,
从而Op二0A°B.
1+九
2.在厶ABC中,设AB=e,Ac=e,AT是角A的平分线(它与BC交于T点),试
将AT分解为e,6的线性组合.
[解]:
因为=宜
|TC|丨E|
且BT与TC方向相同,
所以BT=创TC.由上题结论有
61
|6i|-
ei-e2
AT
1切
1•宜
61
3.
1e21e^+|e-1e2
|e-||e2|
用向量法证明:
P是厶ABC重心的充要条件是
PA+PB+PC-0
[证明]:
”若PABC的重心,则
CP=2PE=PA+PB,从而PA+PB—CP=0,即PA+PB+PC=0.“二”若PA+PB+PC=0,
图1-9
则PA+PB=—PC=CP,取E,F,G分别为AB,BC,CA之中点,则有PE=-(PA+PB).
2
从而CP=2PE.同理可证BP=2PG,AP=2PF.故PABC的重心.
4.证明三个向量a=一e1+3e2+2e3,b=4ei—6e?
+2e3,c=—3ei+12e2+11e3共
面,其中a能否用b,c线性表示?
如能表示,写出线性表示关系式.
[证明]:
由于向量e,e2,e3不共面,即它们线性无关.
考虑表达式’a+^b+vc=0,即’(—e1+3e2+2&)+」(4&—
F—►IPIta*
6e2+2e3)+v(—3e+12e2+11e3)=0,或(一’+乍—3v)c+(3'—61+12v)e2+(2+2l+11v)e3=0.由于e,e2,
|冷一4丄一3\/=0,
e3线性无关,故有3'—6-i+12v=0,,解得'=—10,—1,
旷+汕Wv"
11-
v=2.由于,=一10=0,所以a能用b,c线性表示a=一一bH—c.
105
5.如图1-10,OA,OB,OC是三个两两不共线的向量,且OC=•OA+lOB,试证
AB,C三点共线的充要条件是■+一1.
[证明]:
”因为A,B,C共线,从而有AC//CB,且有m-1,使AC=mCB,
OC-
OA=m(OB
-OC),(1+
mOC—OA+mOB,
OC=
1OA+
mOB.但已知OC—OA+JOB
.由OC对OA,
OB分解的唯一性可
1m1m
得■=
1,
m,从而
+L—1+m—
1.
1m
1m
1+m1+m
“_”
设,+•—1.
则有OC—
rto*
=OA+」OB—OA+(1-)OB=OB+(OA
—OB),
OC-
OB-(OA-
-OB),所以
BC—■BA,,从而
BC//BA.故
A,B,
C三点共线.
§1.5标架与坐标
1.在空间直角坐标系{O,1,j,k}下,求P(2,—3,-1),M(a,b,c)关于
(1)坐标平面;
(2)坐标轴;(3)坐标原点的各个对称点的坐标.
[解]:
M(a,b,c)关于xOy平面的对称点坐标为(a,b,-c),
M(a,b,c)关于yOz平面的对称点坐标为(-a,b,c),
M(a,b,c)关于xOz平面的对称点坐标为(a,-b,c),
M(a,b,c)关于x轴平面的对称点坐标为(a,-b,-c),
M(a,b,c)关于y轴的对称点的坐标为(-a,b,-c),
M(a,b,c)关于z轴的对称点的坐标为(-a,-b,c).
类似考虑P(2,-3,-1)即可.
2.
已知向量a,b,
c的分量如下:
(1)
a—{0,-1,2}
b—{0,2,—4},c—{1,2,
-1};
⑵
a—{1,2,3},
b—{2,—1,0},c—{0,5,6}.
试判别它们是否共面?
能否将c表成a,b的线性组合?
若能表示,写出表示式
0-12
[解]:
(1)因为02-4=0,所以a,b,c三向量共面,
12-1
又因为a,b的对应坐标成比例,即a〃b,但ca,
故不能将c表成a,b的线性组合.
123
⑵因为2-10=0,所以a,b,c三向量共面.
056
又因为a,b的对应坐标不成比例,即ab,故可以将c表成a,b的线性组合.设c=a+・b亦即{0,5,6}={1,2,3}+叫2,-1,0}
0+2卩=0,
从而2,--0,解得■=2,"=—1,所以c=2a—b.
3■=6.
3.证明:
四面体每一个顶点与对面重心所连的线段共点,且这点到顶点的距离是它到
对面重心距离的三倍.用四面体的顶点坐标把交点坐标表示出来.
[证明]:
设四面体AAAA,A对面重心为G,欲证AG交于一点(i=1,2,3,4).
在AG上取一点R,使乖二3甩,从而OPf二°人+3OGi,
1+3
X2X3X4
I3
y2+y3+y4z?
+Z3+乙]q
3,3/
设A(Xi,yi,Zi)(i=1,2,3,4),则
i‘X1+X3+X4y1+y3+y4乙+Z3+Z4
,,
I333丿
G&*2+X4
3,
y1y2y4
3
乙+Z2+Z4':
■qI'X+X2+
3,3
X3%十丫2十丫3K+Z^+Zs]
55J
33丿
X2X3X4
X1+3■c
所以P1(3
1+3
y2y3y4Z2Z3Z4
y13Z13c
33
13'13
p(X1X2X3X4
4
同理得P2于3出书,所以AG交于一点P,且这点到顶点距离等于这点到对面重心距离的三倍.
§1.6向量在轴上的射影
1、已知向量AB与单位向量e的夹角为1500,且|AB|=10,求射影向量:
AB与射影;AB,又如果e=-e,求射影向量^AB与射影=AB.
FT坤T0厂
解:
射影;AB=|AB|cos(e,AB)=10cos150°一5.3,
1
射影向量^aB--53,
H4■T0T
■■■e--e(e,AB)=180°-(e,AB)=30°
.射影eAB=|AB|cos(BAB)=10cos300°=5、、3,
射影向量^aB=5、、3.
2试证明:
射影i(■a1^/.a2+…+■nan)=■1射影ia1+-2射影ia2+…+■n射影ian.
[证明]:
用数学归纳法来证•
当n=2时,有射影1(■1a^■'2a2)=射影丄人a)+射影i('2&2)—'1射影ial+'2射影ia2.假设当n=k时等式成立,即有射影i(g亠•亠'i射影iai+…+■k射影iak.欲证当n=k+1时亦然.事实上射影i(2•Zk•)=射影
i[('禺一…「•*)+'k凤1]=射影i(射影i(r.iak1)
='1射影iat+•••+■k射影iak+'k+1射影iak1故等式对自然数n成立.
§1.7两向量的数性积
1.证明在平面上如果mm2,且ami=bmi(i=1,2),则有a=b.
[证明]:
因为mXm2,所以,对该平面上任意向量c=km+卩m2,
(a—b)c=(a—b)(+~mt)='m^a—b)+.Lm2(a—b)=(am^—
bm^)+"(a
m2
图1-11
C
—bm2)=0,故(a—b)_c.由c的任意性知a—b=0.从而a=b.
2.已知向量a,b互相垂直,向量c与a,b的夹角都是60°,且|a冃||b?
=|
■2
(1)(ab);
(2)(ab)(a-b);(3)(3a-2b).(b-3c);⑷(a2b-c)
2222
[解]:
(1)(ab)2=a2a.bb=1202-5;
222
(2)(ab)(a-b)二ab1-22二-3;
2'
(3)(3a-2b).(b-3c)=3a.b-2b-9a.c6b.c
7
8-93.cos60623cos60二-;
2
2%2可
(4)(a2b-c)=a4ab-2ac-4bc4bc
OO99
=1-23cos60-423cos6042232=11
3.用向量法证明以下各题:
(1)三角形的余弦定理a2=b2+c2—2bccosA
(2)三角形各边的垂直平分线共点且这点到各顶点等距.
证明:
(1)如图1-21,△ABC中,设AC=b,AB=c,BC=a,且|a|=a,|b|=b,|c|
2-」2_2-・22・2
=c.贝Ua=b—c,a=(b—c)=b+c—2bc=b+c—2|b||c|cosA此即a2=b2+c2—2bccosA.
⑵如图1-22,设ABBC边的垂直平分线PD)PE相交于P,
BC=
D,E,F为AB,BC,CA的中点,设PA=a,PB=b,PC=c,则AB=b—a
PE=1(c+b).
2
因为
*■■PD_AB,
PE_BC,
所以
1-
1(a+b)(
2
_1_2
b—a)=(b-
2
-a2)=
=0,
1--1(b+c)(
2
-12
c—b)=-(c—
2
b2)=
0,
从而有
-2」2
a=b
=c2,即|a|
|2=1b
2-■2
1=1c|
所以
1--—(c+a)
(a—c)=1(a2
—J:
=0,
1
c—b,CA=a—c,PD=(a+b),
2
22
亠■It—fc-—fc"
所以PF_CA,且|a|=|b|=|c|.
故三角形各边的垂直平分线共点且这点到各顶点等距
§1.8两向量的失性积
-才-才
1.证明(ab)乜a2b2,并说明在什么情形下等号成立•
[证明]:
(:
b)2=|ab|2=|a|2|b12sin2(a,|a12|b12=a2b2.
要使等号成立,必须sinZ(a,b)=1,从而sinN(a,b)=1,故N(a,b)=-,即当
2
a_b时,等号成立.
2.证明如果a+b+c=0,那么ab=bc=ca,并说明它的几何意义.
[证明]:
由a+b+c=0,有(a+b+c)c=0c=0,但cc=0,
于是ac+bc=0,所以bc=ca.
同理由(a+b+c)a=0,有ca=ab,
从而ab=bc=ca.
其几何意义是以三角形的任二边为邻边构成的平行四边形的面积相等.
3.如果非零向量r(i=1,2,3)满足「1=「2「3,「2=「3「1,「3=「1「2,那么「1,「2,「3
是彼此垂直的单位向量,并且按这次序构成右手系.
[证明]:
由矢性积的定义易知ri,r;,b彼此垂直,且构成右手系.下证它们均为单位向
量.因为ri=r;「3,r;=gri,所以|ri|=|r;||b|,|r;|=|b||ri|,
所以IA|=|B门r;|.
由于丨ri|-0,从而|i,1r3|=i.
同理可证|r;|=i,|ri|=i.
从而ri,r;,r3都是单位向量.
4.用向量方法证明:
图i-i3
(i)三角形的正弦定理
a_b_c
sinAsinBsinC
(;)三角形面积的海伦(Heron)公式,即三斜求积公式:
也2_p(p-a)(p-b)(p-c).式中p_-(a+b+c)是三角形的半周长,也为三角形的面积.2
且|a|
_a,|
b|_b,|c|_c,则
所以
|b
c|_
|ca|_|
ab|,
于疋-
a
b
c
sinA
sinB
sinC
⑵
同上题图,
△ABC的面积为
:
_丄|
2
ab|,
所以2_:
(
';
ab)
所以「
;_丄[
4
■;;
ab
-(ab);].
由于
所以a
b_;(
-;c—
a;-b;)_
i/;
2(c"
故有厶;
_丄[a
;b;-
i/2;
(c—a
-b;);]
;2、
a—b),
a+b+c_0,从而有bc_ca_ab,
bcsinA_casinB_absinC
.因为(ab);+(ab);_a;b;,
/:
";■;
a+b+c_0,从而a+b_-c,(a+b)_c,
_丄[;ab-(c;-a;-b)][2ab+(c;-a;-b;)]i6
[证明]:
(i)如图i-i3,在△ABC中,设BC_a,CA_b,AB_c,
_丄[(a+b);-c][c2-(a—b);]_—(a+b+c)(a+b-c)(c+a—b)(c—a+b)16i6
1;
_—2p(2p-2c)(;p-2b)(2p-;a).所以=p(p-a)(p-b)(p-c),16
或=p(p-a)(p-b)(p-c).
§i.9三向量的混合积
1.设a,b,c为三个非零向量,证明
⑴(a,b,c+a+M)=(a,b,c);
(2)(a+b,b+c,c+a)=2(a,b,c).
[证明]:
(i)左端=(ab)(c+‘a+:
b)=(ab)c+(ab)(‘a)+(ab)(.二b)
+—mi+air———————i———*
=(ab)c+■(ab)a+」(ab)b=(abc)+■(aba)^l(abb)=(abc)=右端.
(2)左端=[(b+c)(c+a)](a+b)=[bc+ba+ca](a+b)
=(bc)a+(ba)a+(ca)a+(bc)b+(ba)b+(ca)b
f-fr—I-f—B--b-t
=(bca)+(cab)=2(abc)=右端.
2、设径矢OA二ri,OB=D,OC二r,证明R=(rip)+(ad)+(“ri)垂直于ABC
平面•
]—H»—b-
[证明]:
由于ABR=(「2-rj[(r「2)(「2「3)(「3ri)]
E»—b-to**■b5-4-b-—I->—b-—bir=—b-trb-―B-tr—*■—*■fe――irb-―b-=(7叨(DD“)U-(A*D)—(A…)-(…口)=(*$叨-(也R)=0,
所以
3.
试证明
AB_R.同理可证AC_R.所以R_平面ABC
u=aiei+bie2+cie3,v=a2e+b2e2+c2e3,w=a3e+b3e2+c3e3,
aibc,
(u,v,w)=a2b2c2
a3bsC3
[证明]:
a〔bi—
b(&
h1
c,a〔
uXv=
.(e^e2)+
(^8)+
a2b2
b2c2
c?
a2
(e3ei)
a,bi
〜一
b,c,
—
C3(e,汉q)a+
a3(qx&)e,+
a2b2
b2c
.(u,v,w)=(uv)w
a〔|
5(&e)q
a2
ia,b,
.b,c,
c十
ao+
c1a1
呃b2
3.
b2c2
a3
c2a2
b3(eie2)
a
a2
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