等差数列前n项和的性质.ppt
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第二章数列,2.3等差数列前n项和的性质,【知识复习】,1.等差数列通项公式是什么?
结构上它有什么特征?
在结构上是关于n的一次函数.,ana1(n1)danam(nm)d,anpnk.,2.等差数列前n项和的两个基本公式是什么?
思考1:
将等差数列前n项和公式看作是一个关于n的函数,这个函数有什么特点?
当d0时,Sn是常数项为零的二次函数.,知识探究
(一)等差数列与前n项和的关系,【知识探究】,思考2:
一般地,若数列an的前n和SnAn2Bn,那么数列an是等差数列吗?
(教材例3)若SnAn2BnC呢?
(教材45页探究),数列an是等差数列SnAn2Bn,数列an的前n项和是SnAn2BnC,则:
若C0,则数列an是等差数列;,若C0,则数列an从第2项起是等差数列。
知识探究
(二)等差数列前n项和的性质,思考1:
在等差数列an中,每连续k项的和组成的数列,即数列a1a2ak,ak+1ak+2a2k,a2k+1a2k+2a3k,是等差数列吗?
性质:
若数列an是等差数列,那么数列Sk,S2kSk,S3kS2k,仍然成等差数列,公差为k2d,想一想:
在等差数列an中,Sn,S2n,S3n三者之间有什么关系?
S3n3(S2nSn),思考2:
若an为等差数列,那么是什么数列?
数列an是等差数列为等差数列,即等差数列an的前n项的平均值组成的数列仍然是等差数列,且公差是数列an的公差的一半。
性质:
【题型分类深度剖析】,题型1:
等差数列前n项和性质的简单应用,例1:
(1)若一个等差数列前3项的和为34,最后3项的和为146,且所有项的和为390,则该数列有()项。
A.13B.12C.11D.10,变式探究,1.已知等差数列an满足a1+a2+a3+a101=0,则有()A.a1+a1010B.a2+a1000C.a3+a99=0D.a51=51,2.等差数列an前n项和Snan2(a1)na2,则an.,3.等差数列an中,已知S42,S87,则S12=_;,4.等差数列an的前m项的和为30,前2m项的和为100,则它的前3m项的和为()A.130B.170C.210D.260,5.等差数列an中,Sn是其前n项和,a12011,则S2011的值为()A.0B.2011C.2011D.20112011,思考3:
在等差数列an中,记奇数项的和为S奇,偶数项的和为S偶.则S偶S奇与等于什么?
思考4:
设等差数列an、bn的前n项和分别为Sn、Tn,则等于什么?
例4:
Sn,Tn分别是等差数列an、bn的前n项的和,,且,则,.,1.已知两个等差数列an和bn的前n项和分别为An和Bn,且,则使得为整数的正整数n的个数是()A2B3C4D5,变式探究,思考5:
在等差数列an中,若a10,d0,则Sn是否存在最值?
如何确定其最值?
当ak0,ak10时,Sk为最大.,题型2:
等差数列最值问题,例2:
等差数列an中,a10,S9S12,该数列前多少项的和最小?
又nN*,n10或n11时,Sn取最小值,小结:
求等差数列an前n项和Sn的最值常用方法:
方法1:
二次函数性质法,即求出Sn=an2+bn,讨论二次函数的性质,方法2:
讨论数列an的通项,找出正负临界项。
(1)若a10,d0,则Sn有大值,且Sn最大时的n,满足an0且an+10;,
(2)若a10,则Sn有小值,且Sn最小时的n,满足an0且an+10;,变式探究,1.首项为正数的等差数列an,它的前3项和与前11项和相等,则此数列前_项和最大?
2.等差数列an前n项和Sn中,以S7最大,且|a7|0的n的最大值为_,3.设等差数列an的前n项和为Sn,若a112,S120,S130.
(1)求数列an公差d的取值范围;
(2)指出S1,S2,S3,S12中哪一个值最大。
4.数列an首项为23,公差为整数的等差数列,且第六项为正,第七项为负.
(1)求数列an的公差d;
(2)求前n项和Sn的最大值;(3)当Sn0时,求n的最大值;,例4:
已知数列an的前n项和Sn12nn2,求数列|an|的前n项和Tn.,当n1时,a1S1121211;当n2时,anSnSn112nn212(n1)(n1)2132n.n1时适合上式,an的通项公式为an132n.由an132n0,得n,即当1n6(nN*)时,an0;当n7时,an0.,解析:
题型4:
求等差数列的前n项的绝对值之和,
(1)当1n6(nN*)时,Tn|a1|a2|an|a1a2an12nn2.,
(2)当n7(nN*)时,Tn|a1|a2|an|(a1a2a6)(a7a8an)(a1a2an)2(a1a6)Sn2S6n212n72.,变式探究,1数列an中,a18,a42,且满足an22an1an0,nN*.
(1)求数列an的通项;
(2)设Sn|a1|a2|an|,求Sn.,
(1)由an22an1an0得,2an1anan2,所以数列an是等差数列,d2,an2n10,nN*.,解析:
当n6,nN*时,,题型5:
等差数列的综合应用,22得4anan2an122an2an1,即(anan1)(anan12)0.an0,anan10,anan12,数列an是首项为1,公差为2的等差数列,an1(n1)22n1.,变式探究,
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