备战中考初中数学一轮复习考点精准导练测40讲第06讲一次方程与方程组的应用讲练版.docx
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备战中考初中数学一轮复习考点精准导练测40讲第06讲一次方程与方程组的应用讲练版
备战2019年中考初中数学一轮复习考点精准导练测40讲
第06讲一次方程与方程组的应用
【考题导向】
1.根据具体问题中的数量关系和变化规律,列出方程或方程组,解决实际问题,来考查“方程思想”,养成用方程的思想解决问题的习惯.
2.体现化归思想、转化思想和方程思想.
【考点精练】
考点1:
一元一次方程的应用
【典例】(2018•恩施州)一商店在某一时间以每件120元的价格卖出两件衣服,其中一件盈利20%,另一件亏损20%,在这次买卖中,这家商店( )
A.不盈不亏B.盈利20元C.亏损10元D.亏损30元
【同步练】(2018•通辽)一商店以每件150元的价格卖出两件不同的商品,其中一件盈利25%,另一件亏损25%,则商店卖这两件商品总的盈亏情况是( )
A.亏损20元B.盈利30元C.亏损50元D.不盈不亏
考点2:
二元一次方程组的应用
【典例】(2018•广州)《九章算术》是我国古代数学的经典著作,书中有一个问题:
“今有黄金九枚,白银一十一枚,称之重适等.交易其一,金轻十三两.问金、银一枚各重几何?
”.意思是:
甲袋中装有黄金9枚(每枚黄金重量相同),乙袋中装有白银11枚(每枚白银重量相同),称重两袋相等.两袋互相交换1枚后,甲袋比乙袋轻了13两(袋子重量忽略不计).问黄金、白银每枚各重多少两?
设每枚黄金重x两,每枚白银重y两,根据题意得( )
A.
B.
C.
D.
【同步练】有大、小两种货车,2辆大车与3辆小车一次可以运货15.5吨;5辆大车与6辆小车一次可以运货35吨.求3辆大车与5辆小车一次可以运货多少吨?
考点3:
一次方程的综合应用
【典例】(2018•咸宁)为拓宽学生视野,引导学生主动适应社会,促进书本知识和生活经验的深度融合,我市某中学决定组织部分班级去赤壁开展研学旅行活动,在参加此次活动的师生中,若每位老师带17个学生,还剩12个学生没人带;若每位老师带18个学生,就有一位老师少带4个学生.现有甲、乙两种大客车,它们的载客量和租金如表所示.
甲种客车
乙种客车
载客量/(人/辆)
30
42
租金/(元/辆)
300
400
学校计划此次研学旅行活动的租车总费用不超过3100元,为了安全,每辆客车上至少要有2名老师.
(1)参加此次研学旅行活动的老师和学生各有多少人?
(2)既要保证所有师生都有车坐,又要保证每辆客车上至少要有2名老师,可知租用客车总数为 辆;
(3)你能得出哪几种不同的租车方案?
其中哪种租车方案最省钱?
请说明理由.
【同步练】(2018•聊城)建设中的大外环路是我市的一项重点民生工程.某工程公司承建的一段路基工程的施工土方量为120万立方,原计划由公司的甲、乙两个工程队从公路的两端同时相向施工150天完成.由于特殊情况需要,公司抽调甲队外援施工,由乙队先单独施工40天后甲队返回,两队又共同施工了110天,这时甲乙两队共完成土方量103.2万立方.
(1)问甲、乙两队原计划平均每天的施工土方量分别为多少万立方?
(2)在抽调甲队外援施工的情况下,为了保证150天完成任务,公司为乙队新购进了一批机械来提高效率,那么乙队平均每天的施工土方量至少要比原来提高多少万立方才能保证按时完成任务?
【真题演练】
1.(2018•南通模拟)篮球比赛规定:
胜一场得3分,负一场得1分,某篮球队共进行了6场比赛,得了12分,该队获胜的场数是( )
A.2B.3C.4D.5
2.(2018吉林)(2.00分)我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题:
“今有鸡兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问鸡兔各几何.”设鸡x只,兔y只,可列方程组为( )
A.
B.
C.
D.
3.某年级学生共有246人,其中男生人数y比女生人数x的2倍少2人,则下面所列的方程组中符合题意的有( )
A.
B.
C.
D.
4.(2018•台州)甲、乙两运动员在长为100m的直道AB(A,B为直道两端点)上进行匀速往返跑训练,两人同时从A点起跑,到达B点后,立即转身跑向A点,到达A点后,又立即转身跑向B点…若甲跑步的速度为5m/s,乙跑步的速度为4m/s,则起跑后100s内,两人相遇的次数为( )
A.5B.4C.3D.2
5.(2018•新疆)某文具店一本练习本和一支水笔的单价合计为3元,小妮在该店买了20本练习本和10支水笔,共花了36元.如果设练习本每本为x元,水笔每支为y元,那么根据题意,下列方程组中,正确的是( )
A.
B.
C.
D.
6.一件衣服先按成本提高50%标价,再以8折(标价的80%)出售,结果获利28元,那么这件衣服的成本是_____元.
7.“绿水青山就是金山银山”,海南省委省政府高度重视环境生态保护,截至2017年底,全省建立国家级、省级和市县级自然保护区共49个,其中国家级10个,省级比市县级多5个.问省级和市县级自然保护区各个.
8.(2018•威海)用若干个形状、大小完全相同的矩形纸片围成正方形,4个矩形纸片围成如图①所示的正方形,其阴影部分的面积为12;8个矩形纸片围成如图②所示的正方形,其阴影部分的面积为8;12个矩形纸片围成如图③所示的正方形,其阴影部分的面积为 .
9.(2018•张家界)列方程解应用题
《九章算术》中有“盈不足术”的问题,原文如下:
“今有共買羊,人出五,不足四十五;人出七,不足三.问人数、羊價各幾何?
”题意是:
若干人共同出资买羊,每人出5元,则差45元;每人出7元,则差3元.求人数和羊价各是多少?
10.(2018•烟台)为提高市民的环保意识,倡导“节能减排,绿色出行”,某市计划在城区投放一批“共享单车”这批单车分为A,B两种不同款型,其中A型车单价400元,B型车单价320元.
(1)今年年初,“共享单车”试点投放在某市中心城区正式启动.投放A,B两种款型的单车共100辆,总价值36800元.试问本次试点投放的A型车与B型车各多少辆?
(2)试点投放活动得到了广大市民的认可,该市决定将此项公益活动在整个城区全面铺开.按照试点投放中A,B两车型的数量比进行投放,且投资总价值不低于184万元.请问城区10万人口平均每100人至少享有A型车与B型车各多少辆?
【拓展研究】
(2018黑龙江龙东)(10.00分)为了落实党的“精准扶贫”政策,A、B两城决定向C、D两乡运送肥料以支持农村生产,已知A、B两城共有肥料500吨,其中A城肥料比B城少100吨,从A城往C、D两乡运肥料的费用分别为20元/吨和25元/吨;从B城往C、D两乡运肥料的费用分别为15元/吨和24元/吨.现C乡需要肥料240吨,D乡需要肥料260吨.
(1)A城和B城各有多少吨肥料?
(2)设从A城运往C乡肥料x吨,总运费为y元,求出最少总运费.
(3)由于更换车型,使A城运往C乡的运费每吨减少a(0<a<6)元,这时怎样调运才能使总运费最少?
第06讲一次方程与方程组的应用(解析版)
【考题导向】
1.根据具体问题中的数量关系和变化规律,列出方程或方程组,解决实际问题,来考查“方程思想”,养成用方程的思想解决问题的习惯.
2.体现化归思想、转化思想和方程思想.
【考点精练】
考点1:
一元一次方程的应用
【典例】(2018•恩施州)一商店在某一时间以每件120元的价格卖出两件衣服,其中一件盈利20%,另一件亏损20%,在这次买卖中,这家商店( )
A.不盈不亏B.盈利20元C.亏损10元D.亏损30元
【分析】设两件衣服的进价分别为x、y元,根据利润=销售收入﹣进价,即可分别得出关于x、y的一元一次方程,解之即可得出x、y的值,再用240﹣两件衣服的进价后即可找出结论.
解析:
设两件衣服的进价分别为x、y元,
根据题意得:
120﹣x=20%x,y﹣120=20%y,
解得:
x=100,y=150,
∴120+120﹣100﹣150=﹣10(元).
故选:
C.
【同步练】(2018•通辽)一商店以每件150元的价格卖出两件不同的商品,其中一件盈利25%,另一件亏损25%,则商店卖这两件商品总的盈亏情况是( )
A.亏损20元B.盈利30元C.亏损50元D.不盈不亏
解:
设盈利的商品的进价为x元,亏损的商品的进价为y元,
根据题意得:
150﹣x=25%x,150﹣y=﹣25%y,
解得:
x=120,y=200,
∴150+150﹣120﹣200=﹣20(元).
故选:
A.
【点评】找准等量关系是解决应用题的关键.
考点2:
二元一次方程组的应用
【典例】(2018•广州)《九章算术》是我国古代数学的经典著作,书中有一个问题:
“今有黄金九枚,白银一十一枚,称之重适等.交易其一,金轻十三两.问金、银一枚各重几何?
”.意思是:
甲袋中装有黄金9枚(每枚黄金重量相同),乙袋中装有白银11枚(每枚白银重量相同),称重两袋相等.两袋互相交换1枚后,甲袋比乙袋轻了13两(袋子重量忽略不计).问黄金、白银每枚各重多少两?
设每枚黄金重x两,每枚白银重y两,根据题意得( )
A.
B.
C.
D.
【分析】根据题意可得等量关系:
①9枚黄金的重量=11枚白银的重量;②(10枚白银的重量+1枚黄金的重量)﹣(1枚白银的重量+8枚黄金的重量)=13两,根据等量关系列出方程组即可.
解析:
设每枚黄金重x两,每枚白银重y两,由题意得:
,
故选:
D.
【同步练】有大、小两种货车,2辆大车与3辆小车一次可以运货15.5吨;5辆大车与6辆小车一次可以运货35吨.求3辆大车与5辆小车一次可以运货多少吨?
解:
设大货车每辆装x吨,小货车每辆装y吨
根据题意列出方程组为:
解这个方程组得
所以3x+5y=24.5.
答:
3辆大车与5辆小车一次可以运货24.5吨.
【点评】解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件,找出合适的等量关系,列出方程组,再求解.
考点3:
一次方程的综合应用
【典例】(2018•咸宁)为拓宽学生视野,引导学生主动适应社会,促进书本知识和生活经验的深度融合,我市某中学决定组织部分班级去赤壁开展研学旅行活动,在参加此次活动的师生中,若每位老师带17个学生,还剩12个学生没人带;若每位老师带18个学生,就有一位老师少带4个学生.现有甲、乙两种大客车,它们的载客量和租金如表所示.
甲种客车
乙种客车
载客量/(人/辆)
30
42
租金/(元/辆)
300
400
学校计划此次研学旅行活动的租车总费用不超过3100元,为了安全,每辆客车上至少要有2名老师.
(1)参加此次研学旅行活动的老师和学生各有多少人?
(2)既要保证所有师生都有车坐,又要保证每辆客车上至少要有2名老师,可知租用客车总数为 辆;
(3)你能得出哪几种不同的租车方案?
其中哪种租车方案最省钱?
请说明理由.
【分析】
(1)设出老师有x名,学生有y名,得出二元一次方程组,解出即可;
(2)根据汽车总数不能小于
=
(取整为8)辆,即可求出;
(3)设租用x辆乙种客车,则甲种客车数为:
(8﹣x)辆,由题意得出400x+300(8﹣x)≤3100,得出x取值范围,分析得出即可.
解析:
(1)设老师有x名,学生有y名.
依题意,列方程组为
,
解之得:
,
答:
老师有16名,学生有284名;
(2)∵每辆客车上至少要有2名老师,
∴汽车总数不能大于8辆;
又要保证300名师生有车坐,汽车总数不能小于
=
(取整为8)辆,
综合起来可知汽车总数为8辆;
故答案为:
8;
(3)设租用x辆乙种客车,则甲种客车数为:
(8﹣x)辆,
∵车总费用不超过3100元,
∴400x+300(8﹣x)≤3100,
解得:
x≤7,
为使300名师生都有座,
∴42x+30(8﹣x)≥300,
解得:
x≥5,
∴5≤x≤7(x为整数),
∴共有3种租车方案:
方案一:
租用甲种客车3辆,乙种客车5辆,租车费用为2900元;
方案二:
租用甲种客车2辆,乙种客车6辆,租车费用为3000元;
方案三:
租用甲种客车1辆,乙种客车7辆,租车费用为3100元;
故最节省费用的租车方案是:
租用甲种客车3辆,乙种客车5辆.
【同步练】(2018•聊城)建设中的大外环路是我市的一项重点民生工程.某工程公司承建的一段路基工程的施工土方量为120万立方,原计划由公司的甲、乙两个工程队从公路的两端同时相向施工150天完成.由于特殊情况需要,公司抽调甲队外援施工,由乙队先单独施工40天后甲队返回,两队又共同施工了110天,这时甲乙两队共完成土方量103.2万立方.
(1)问甲、乙两队原计划平均每天的施工土方量分别为多少万立方?
(2)在抽调甲队外援施工的情况下,为了保证150天完成任务,公司为乙队新购进了一批机械来提高效率,那么乙队平均每天的施工土方量至少要比原来提高多少万立方才能保证按时完成任务?
解:
(1)设甲队原计划平均每天的施工土方量为x万立方,乙队原计划平均每天的施工土方量为y万立方,
根据题意得:
,
解得:
.
答:
甲队原计划平均每天的施工土方量为0.42万立方,乙队原计划平均每天的施工土方量为0.38万立方.
(2)设乙队平均每天的施工土方量比原来提高a万立方才能保证按时完成任务,
根据题意得:
110×0.42+(40+110)×(0.38+a)≥120,
解得:
a≥0.112.
答:
乙队平均每天的施工土方量至少要比原来提高0.112万立方才能保证按时完成任务.
【真题演练】
1.(2018•南通模拟)篮球比赛规定:
胜一场得3分,负一场得1分,某篮球队共进行了6场比赛,得了12分,该队获胜的场数是( )
A.2B.3C.4D.5
【分析】设该队获胜x场,则负了(6﹣x)场,根据总分=3×获胜场数+1×负了的场数,即可得出关于x的一元一次方程,解之即可得出结论.
【解答】设该队获胜x场,则负了(6﹣x)场,
根据题意得:
3x+(6﹣x)=12,
解得:
x=3.
答:
该队获胜3场.
故选:
B.
2.(2018吉林)(2.00分)我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题:
“今有鸡兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问鸡兔各几何.”设鸡x只,兔y只,可列方程组为( )
A.
B.
C.
D.
【分析】根据题意可以列出相应的方程组,从而可以解答本题.
【解答】由题意可得,
,
故选:
D.
3.某年级学生共有246人,其中男生人数y比女生人数x的2倍少2人,则下面所列的方程组中符合题意的有( )
A.
B.
C.
D.
【分析】此题中的等量关系有:
①某年级学生共有246人,则x+y=246;
②男生人数y比女生人数x的2倍少2人,则2x=y+2
【解答】根据某年级学生共有246人,则x+y=246;
②男生人数y比女生人数x的2倍少2人,则2x=y+2.
可列方程组为
.故选B.
4.(2018•台州)甲、乙两运动员在长为100m的直道AB(A,B为直道两端点)上进行匀速往返跑训练,两人同时从A点起跑,到达B点后,立即转身跑向A点,到达A点后,又立即转身跑向B点…若甲跑步的速度为5m/s,乙跑步的速度为4m/s,则起跑后100s内,两人相遇的次数为( )
A.5B.4C.3D.2
【分析】可设两人相遇的次数为x,根据每次相遇的时间
,总共时间为100s,列出方程求解即可.
【解答】设两人相遇的次数为x,依题意有
x=100,
解得x=4.5,
∵x为整数,
∴x取4.
故选:
B.
5.(2018•新疆)某文具店一本练习本和一支水笔的单价合计为3元,小妮在该店买了20本练习本和10支水笔,共花了36元.如果设练习本每本为x元,水笔每支为y元,那么根据题意,下列方程组中,正确的是( )
A.
B.
C.
D.
【分析】等量关系为:
一本练习本和一支水笔的单价合计为3元;20本练习本的总价+10支水笔的总价=36,把相关数值代入即可.
【解答】设练习本每本为x元,水笔每支为y元,
根据单价的等量关系可得方程为x+y=3,
根据总价36得到的方程为20x+10y=36,
所以可列方程为:
,
故选:
B.
6.一件衣服先按成本提高50%标价,再以8折(标价的80%)出售,结果获利28元,那么这件衣服的成本是_____元.
【分析】结合销售问题找到等量关系即可解答.
【解答】设这件衣服的成本是x元,根据题意得:
x(1+50%)×80%﹣x=28,
解得:
x=140.
答:
这件衣服的成本是140元;
故答案为:
140.
7.“绿水青山就是金山银山”,海南省委省政府高度重视环境生态保护,截至2017年底,全省建立国家级、省级和市县级自然保护区共49个,其中国家级10个,省级比市县级多5个.问省级和市县级自然保护区各个.
【分析】设市县级自然保护区有x个,则省级自然保护区有(x+5)个,根据国家级、省级和市县级自然保护区共49个,即可得出关于x的一元一次方程,解之即可得出结论.
【解答】设市县级自然保护区有x个,则省级自然保护区有(x+5)个,
根据题意得:
10+x+5+x=49,
解得:
x=17,
∴x+5=22.
答:
省级自然保护区有22个,市县级自然保护区有17个.
8.(2018•威海)用若干个形状、大小完全相同的矩形纸片围成正方形,4个矩形纸片围成如图①所示的正方形,其阴影部分的面积为12;8个矩形纸片围成如图②所示的正方形,其阴影部分的面积为8;12个矩形纸片围成如图③所示的正方形,其阴影部分的面积为 44﹣16
.
【分析】图①中阴影部分的边长为
=2
,图②中,阴影部分的边长为
=2
;设小矩形的长为a,宽为b,依据等量关系即可得到方程组,进而得出a,b的值,即可得到图③中,阴影部分的面积.
【解答】由图可得,图①中阴影部分的边长为
=2
,图②中,阴影部分的边长为
=2
;
设小矩形的长为a,宽为b,依题意得
,
解得
,
∴图③中,阴影部分的面积为(a﹣3b)2=(4
﹣2
﹣6
)2=44﹣16
,
故答案为:
44﹣16
.
9.(2018•张家界)列方程解应用题
《九章算术》中有“盈不足术”的问题,原文如下:
“今有共買羊,人出五,不足四十五;人出七,不足三.问人数、羊價各幾何?
”题意是:
若干人共同出资买羊,每人出5元,则差45元;每人出7元,则差3元.求人数和羊价各是多少?
【分析】可设买羊人数为未知数,等量关系为:
5×买羊人数+45=7×买羊人数+3,把相关数值代入可求得买羊人数,代入方程的等号左边可得羊价.
【解答】设买羊为x人,则羊价为(5x+45)元钱,
5x+45=7x+3,
x=21(人),
5×21+45=150(员),
答:
买羊人数为21人,羊价为150元.
10.(2018•烟台)为提高市民的环保意识,倡导“节能减排,绿色出行”,某市计划在城区投放一批“共享单车”这批单车分为A,B两种不同款型,其中A型车单价400元,B型车单价320元.
(1)今年年初,“共享单车”试点投放在某市中心城区正式启动.投放A,B两种款型的单车共100辆,总价值36800元.试问本次试点投放的A型车与B型车各多少辆?
(2)试点投放活动得到了广大市民的认可,该市决定将此项公益活动在整个城区全面铺开.按照试点投放中A,B两车型的数量比进行投放,且投资总价值不低于184万元.请问城区10万人口平均每100人至少享有A型车与B型车各多少辆?
【分析】
(1)设本次试点投放的A型车x辆、B型车y辆,根据“两种款型的单车共100辆,总价值36800元”列方程组求解可得;
(2)由
(1)知A、B型车辆的数量比为3:
2,据此设整个城区全面铺开时投放的A型车3a辆、B型车2a辆,根据“投资总价值不低于184万元”列出关于a的不等式,解之求得a的范围,进一步求解可得.
【解答】
(1)设本次试点投放的A型车x辆、B型车y辆,
根据题意,得:
,
解得:
,
答:
本次试点投放的A型车60辆、B型车40辆;
(2)由
(1)知A、B型车辆的数量比为3:
2,
设整个城区全面铺开时投放的A型车3a辆、B型车2a辆,
根据题意,得:
3a×400+2a×320≥1840000,
解得:
a≥1000,
即整个城区全面铺开时投放的A型车至少3000辆、B型车至少2000辆,
则城区10万人口平均每100人至少享有A型车3000×
=3辆、至少享有B型车2000×
=2辆.
【拓展研究】
(2018黑龙江龙东)(10.00分)为了落实党的“精准扶贫”政策,A、B两城决定向C、D两乡运送肥料以支持农村生产,已知A、B两城共有肥料500吨,其中A城肥料比B城少100吨,从A城往C、D两乡运肥料的费用分别为20元/吨和25元/吨;从B城往C、D两乡运肥料的费用分别为15元/吨和24元/吨.现C乡需要肥料240吨,D乡需要肥料260吨.
(1)A城和B城各有多少吨肥料?
(2)设从A城运往C乡肥料x吨,总运费为y元,求出最少总运费.
(3)由于更换车型,使A城运往C乡的运费每吨减少a(0<a<6)元,这时怎样调运才能使总运费最少?
【分析】
(1)根据A、B两城共有肥料500吨,其中A城肥料比B城少100吨,列方程或方程组得答案;
(2)设从A城运往C乡肥料x吨,用含x的代数式分别表示出从A运往运往D乡的肥料吨数,从B城运往C乡肥料吨数,及从B城运往D乡肥料吨数,根据:
运费=运输吨数×运输费用,得一次函数解析式,利用一次函数的性质得结论;
(3)列出当A城运往C乡的运费每吨减少a(0<a<6)元时的一次函数解析式,利用一次函数的性质讨论,得结论.
【解答】
(1)设A城有化肥a吨,B城有化肥b吨
根据题意,得
解得
答:
A城和B城分别有200吨和300吨肥料;
(2)设从A城运往C乡肥料x吨,则运往D乡(200﹣x)吨
从B城运往C乡肥料(240﹣x)吨,则运往D乡(60+x)吨
如总运费为y元,根据题意,
则:
y=20x+25(200﹣x)+15(240﹣x)+24(60+x)
=4x+10040
由于函数是一次函数,k=4>0
所以当x=0时,运费最少,最少运费是10040元.
(3)从A城运往C乡肥料x吨,由于A城运往C乡的运费每吨减少a(0<a<6)元,
所以y=y=(20﹣a)x+25(200﹣x)+15(240﹣x)+24(60+x)
=(4﹣a)x+10040
当0<a≤4时,∵4﹣a≥0
∴当x=0时,运费最少;
当4<a<6时,∵4﹣a<0
∴当x=240时,运费最少.
所以:
当0<a≤4时,A城化肥全部运往D乡,B城运往C城240吨,运往D乡60吨,运费最少;
当4<a<6时,A城化肥全部运往C乡,B城运往C城40吨,运往D乡260吨,运费最少.
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