完整word版高中数学函数的凸凹性例讲.docx
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完整word版高中数学函数的凸凹性例讲
高中数学函数的凸凹性例讲
函数凹凸性问题是高考中的一种新题
型.这种题情景新颖、背景公平,能考查学
生的创新能力和潜在的数学素质.
①掌握增量法解决凹凸曲线问题
②函数的凹凸性定义及图像特征
、凸凹函数定义:
设函数f为定义在区间I上的函数,若对(a,b)上任意两点x1、x2,恒有:
(1)f(x1x2)f(x1)f(x2),则称f为(a,b)上的下凸函数;
(2)f(x1x2)f(x1)f(x2),则称f为(a,b)上的上凸函数。
22
、凹凸函数的几何特征:
1.形状特征
图1(下凸函数)
图2(上凸函数)
下凸函数的形状特征是:
其函数曲线任意两点A1与A2之间的部分位于弦A1A2的下方;
上凸函数的形状特征是:
其函数曲线任意两点A1与A2之间的部分位于弦A1A2的上方。
2切线斜率特征
下凸函数的切线斜率特征是:
切线的斜率y
上凸函数的切线斜率特征是:
切线的斜率y
f(x)随x增大而增大;
f(x)随x增大而减小;简记为:
斜.率.凹.增.凸.减.
3增量特征:
图5(下凸函数)
图6(凸函数)
下凸函数的增量特征是:
yi越来越大;
简记为:
增.量.下.大.上.小.
上凸函数的增量特征是:
yi越来越小;
弄清了上述两类凸函数及其图象的本质区别和
变化的规律,就可准确迅速、简捷明了地解决有关凸的曲线问题.
三、凸函数与导数的关系
定理1(可导函数与凹凸函数的等价命题):
1)设f(x)为区间I上的可导函数,则:
f(x)为I上的下凸函数
f(x)为I上的增函数;
2)设f(x)为区间I上的可导函数,则:
f(x)为I上的上凸函数
f/(x)为I上的减函数;
定理2(可导函数与二阶导数的关系):
(1)设f(x)为区间I上的可导函数,则:
f(x)为I上的下凸函数任一子区间上恒为零.
(2)设f(x)为区间I上的可导函数,则:
f(x)为I上的上凸函数
f(x)0且f(x)不在I上的
f(x)0且f(x)不在I上的
任一子区间上恒为零
四、函数凹凸性的应用
◇题目:
题型1:
图形与图像问题
高为H满缸水量为V的鱼缸的截面如图7所示,其底部碰了一个小洞,满缸水从洞中流出.若
).
鱼缸水深为h时水的体积为V,则函数Vf(h)的大致图象可能是图8中的(
图7
解:
据四个选项提供的信息(h从O→H),我们可将水“流出”设想成“流入”,这样,每当h增加一个单位增量Δh时,根据鱼缸形状可知V的变化开始其增量越来越大,但经过中截面后则越来越小,故V关于h的函数图象是先凹后凸的,因此,选B.
练一练:
◇题目:
向高为H的水瓶中注水,注满为止,如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图9所示,那么
).(1998年全国高考题)
解:
因为容器中总的水量(即注水量)V关于h的函数图象是凸的,即每当h增加一个单位增量Δh,V的相应增量ΔV越来越小.这说明容器的上升的液面越来越小,故选B.
讲一讲:
◇题目:
在某种金属材料的耐高温实验中,温度随着时间变化的情况由微机记录后再显示的图象如下图所示.现给出下面说法:
①前5分钟温度增加的速度越来越快;
③5分钟以后温度保持匀速增加;
其中正确的说法是().
解:
因为温度y关于时间t的图象是先上凸后平行直线,即5分钟前每当t增加一个单位增量Δt,则y相应的增量Δy越来越小,而5分钟后是y关于t的增量保持为0,故选B.
注:
本题也选自《中学数学教学参考》2001年第1~2合期的《试题集绵》,用了增量法就反成了“看图说画”.
练一练:
AB的长为
◇题目:
(06重庆理)如下图所示,单位圆中弧x,f(x)表示弧AB与弦AB所围成的弓形面积
的2倍,则函数y=f(x)的图象是(
A
图17C
解:
易得弓形AxB的面积的2倍为f(x)=x-sinx.由于y1=x是直线,每当x增加一个单位增量Δx,y1的对应增量Δy不变;而y2=sinx是正弦曲线,在[0,π]上是上凸的,在[π,2π]上是下凸的,故每当x增加一个单位增量Δx时,y2对应的增量i(i=1,2,3,⋯)在[0,π]上
越来越小,在[π,2π]上是越来越大,故当x增加一个单位增量Δx时,对应的f(x)的变化,在x
∈[0,π]上其增量Δf(x)i(i=1,2,3,⋯)越来越大,在x∈[π,2π]上,其增量Δf(x)i则越来越小,故f(x)关于x的函数图象,开始时在[0,π]上是下凸的,后来在[π,2π]上是上凸的,故选D.
◇题目:
(07江西)四位好朋友在一次聚会上,他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、
A.h2>h1>h4B.h1>h2>h3C.h3>h2>h4D.h2>h4>h1
为V1(h)、V2(h)、
的图象可为上右图.
解:
设内空高度为H,剩余酒的高度关于酒杯中酒的体积函数从左到右依次
V3(h)、V4(h),根据酒杯的形状可知函数V1(h)、V2(h)、V4(h)
因为函数V1(h)、V2(h)为下凸函数,V1(h)当h从O→H,Δh增加一个单位增量,ΔVi(i
=1,2,3,⋯)增大,则h1>0.5H=h4;同理V2(h)当h从O→H,Δh增加一个单位增量,Δ
Vi(i=1,2,3,⋯)增大,则h2>0.5H=h4;所以h1>h4、h2>h4;
由V1(h)、V2(h)图象可知,h从H→h2,ΔV1(h)>ΔV2(h),而0.5V1(h)>ΔV1(h),Δ
V2(h)=0.5V2(h),则当ΔV1(h)=0.5V1(h)时h1>h2,所以答案为A.
题型2:
函数与图像问题
◇题目:
在y2x,y
log2x,y
2
x,y
cos2x这四个函数中
当0x1x2时,
f(x1x2)
f(x1)
f(x2)
恒成立的函数的个数是
().
2
2
A.0
B.1
C.2
D.3
分析】:
运用数形结合思想,考察各函数的图象.注意到对任意x1,x2∈I,且x1 f(x1x2)f(x1)f(x2)时,函数f(x)在区间I上的图象是“上凸”的,由此否定22 y=2x,y=x2,y=cos2x,应选B。 本小题主要考查函数的凹凸性,试题给出了四个基本初等函数,要求考生根据函数的图像研究函数的性质---凸性,对试题中的不等关系式: x1x2f(x1)f(x2) f(12)12,既可以利用函数的图像直观的认识,也可以通过代数式的不等关22 系来理解。 考查的重点是结合函数的图像准确理解上下凸的含义. 练一练: ◇题目1: (05北京卷理13)对于函数f(x)定义域中任意的x1,x2(x1x2)有如下结论: ①f(x1x2)f(x1)f(x2);②f(x1x2)f(x1)f(x2); ③f(x1)f(x2)0;④f(x1x2)f(x1)f(x2). x1x222 当f(x)lgx时,上述结论中正确结论的序号是(②③. 【分析】: 本题把对数的运算(①②)、对数函数的单调性(③)、对数函数图像的凹凸性(④)等知识 有机的合成为一道多项填空题,若对函数的性质有较清楚的理解便不会有困难,而靠死记硬背的 考生就会有问题。 看一看 通过以上的例子可以看出在高三复习时,有必要留意以高等数学知识为背景的创新题与信息题,也有必要让学生了解简单高等数学与初等数学结合的知识,这样既可以达到简化运算、避免易错点的目的,还可以突破难点,找到规律性的解题途径,更为高等数学的学习打下良好的基础。 同时使学生们认识到知识学的越多、越深入,解决起问题来越有规律性、越简单。 从而使他们渴望学习,渴望积累,更进一步的增加分析问题,解决问题的能力。 ◇题目2: 如下图所示,半径为2的⊙M切直线AB于O,射线OC从OA出发绕着O点顺时针旋转到O =f(x),那 B.旋转过程中,OC交⊙M于P.记∠PMO为x、弓形PnO的面积为S 解: 易得弓形PnO的面积为S=2(x-sinx).由于y1=x是直线,每当x增加一个单位增量Δx,y 1的对应增量Δy不变;而y2=sinx是正弦曲线,在[0,π]上是凸的,在[π,2π]上是凹的, 故每当x增加一个单位增量Δx时,y2对应的增量Δyi(i=1,2,3,⋯)在[0,π]上越来越小,在 [π,2π]上是越来越大,故当x增加一个单位增量Δx时,对应的S的变化,开始时在x∈[0,π]上 其增量ΔSi(i=1,2,3,⋯)越来越大,经过OC⊥AB后,即在x∈[π,2π]上,则越来越小, 故S关于x的函数图象,开始时在[0,π]上是下凸的,后来在[π,2π]上是凸的,故选A. ◇题目3: 如下图所示,液体从球形漏斗漏入一圆柱形烧杯中,开始时漏斗中盛满液体,经过3分钟漏完, 已知烧杯中液面上升的速度是一个常量,H是漏斗中液面下落的距离,则H与下落时间t(分) 解: 同前例分析一样可知,每当t增加一个单位增量Δt,H的变化开始增量ΔH越来越小,经过中截成 后越来越大,故H关于t的函数图象是先上凸后下凸,因此选D. 1x1x2 即12f(x1)f(x2)f(x12x2); x1x21x1x2 当0a1时,有loga(x1x2)loga(x12x2),即21f(x1)f(x2)f(x12x2) 当且时仅当x1x2时取“=”号) 1 ◇题目5: 在f1(x)x2,f2(x) x2,f3(x)2x,f4(x) log1x四个函数中,当x1 2 x21时,使 1 12f(x1)f(x2) f(x1x2)成立的函数是( 22 B.f2(x)xC.f3(x)2
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