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中考压轴题综合复习一
例1.如图1,在RtAABC中,ZC=90,AC=4,BC=5,。
是BC边上一点,CD=3,点、P
在边AC上(点F与A、C不重合),过点F作PEHBC,交AD于点£□(★★★★)
(1)设DE=y,求〉关于x的函数解析式,并写出x的取值范围;
(2)当以PE为半径的。
E与为半径的。
。
外切时,求QPE的正切值;
(3)将△ABQ沿直线翻折,得到AABD,联结BC.如果ZACE=ZBCB/,求AF的值。
【参考教法】可参考以下教法引导学生分析问题、解决问题
1.寻找题目中的已知量和特殊条件:
1.哪些边已知?
哪些边存在特殊关系?
提示:
AC=4,BC=5,CD=3;PEIIBC
2.角的关系?
提示:
ZC=90
3.特殊图形?
提示:
FE//BC形成相似基本图形"A字型”
2.求解函数关系式,用相似基本图形可直接求得。
3.两圆外切时,根据条件得BE=BD+PE,再计算求解。
注意连结DP后,ZDPE=ZPD.
4.图形翻折后,会产生很多相等的量(边和角):
1.画出翻折后的图形,让学生画图看看;
2.翻折后有哪些相等的边和相等的角?
提示:
引导学生寻找翻折前后的相等量,从边和角人手;
3.添加辅助线,构造相似基本图形求解;延长延长AQ交88'于F,则AF±BB;
4.再找找题目中的相似三角形?
提示:
从翻折前后图形人手,AACD-ABFD,AACE-A5CBZ
5.怎么计算?
提示:
用边之比计算求解,先求解83’=—,再求解AE=—,最后得
5…
25
AP=竺。
125
6,小题回顾总结。
【满分解答】
APAE
(1)..•在RtAABC中,AC=4fCD=3,「.AO二5,•:
PEIIBC,:
.——=——
ACAD
AE-—X,DE=5-—%,即y=5——x,(0 44-4 (2)当以FE为半径的。 E与Q8为半径的。 。 外切时,有 ....5335 DE=PE+BD,即5x——x+2,解之得x=—,PC—— 22 53 4'4 : PEIIBC,・・・PDPE二ZPDC, 在RtAPCZ)中,tanZPDC==—=— PC55 2 则AF1BB, ⑶延长AO交耶/于F, : .ZACD=ZBFD, 又ZADC=ZFDB, : .tanZDPE=- 5 ・.・ZCAD=ZFBD /.AACD〜ABFD, 16 y 64256 /ZACE=ZBCB/,ZCAE=ZCBB/,: .AACE〜ABCB1,: .AE=——,/.AP=—— 25125 Gy巩si旬依 4I3W 1.如图2,已知在正方形ABCD中,AB=2,F是边BC上的任意一点,E是边3C延长线上一点,联结AP.过点P作PF1AP,与ZDCE的平分线CF相交于点F.联结AF,与边以)相交于点G,联结PG。 (★★★★) (1)求证: APAF—45;(4分) 试证明。 F与。 G外切;(5分) (2)QP.QG的半径分别是PB和GD, (图2〉 (备用图) (3)当8P取何值时,FG//CF。 (5分) 【解法点拨】可以参考以下方法引导学生分析问题、解决问题 1.寻找题目中的已知量和特殊条件: 1.边: AB=BC=2,PFLAP; 2.角: CF平分ZDCE,ZB=/APF=90; 3.特殊图形: 正方形A3CQ。 2.证明ZPAF=45,即证明PA=PF: 方案一.在边A3上截取线段AH,使AH=PC,联结PH,证明△AHP#4PCF即可;方案二.过点尸作FMLBC于点肱,贝\\AABP^APMF,设BP=a,FM=b,用比例式可证明a=b,则AABPdPMF; 3.证明量圆外切,即证明PG=BP+DG,证明线段和差关系,用“截长补短”证明; 4.PG//CF时,可得ACPG为等腰直角三角形,则PG=®PC,再结合PG=BP+DG可求得3F长。 【满分解答】 (1)证明: 在边AB上截取线段AH,使AH=PC,联结PH. 由正方形ABCD,得ZB=ZBCD=ZD=90°,AB=BC=AD.(1分) VZAPF=9Q°,: .ZAPF=ZB. ': ZAPC=ZB+ZBAP=ZAPF+ZFPC, : .ZPAH=ZFPC.(1分) 又-BCD=/DCE=90。 CF平分ZDCE,: .ZFCE=45。 . : .ZPCF=135°. XVAB=BC,AH=PC,: .BH=BP,即得ZBPH=ZBHP=45°. : .ZAHP=135°,即得ZAHP=ZPCF.(1分) 在和APCF中,ZPAH=ZFPC,AH=PC,ZAHP=ZPCF,: .AAHP^/\PCF. : .AP=PF,即ZPAF=45(1分) (2)解: 延长CB至点M,使BM=DG,联结AM. 由AB=AD,ZABM=ZD=90°,BM=DG, 得左ADG^AABM,即得AG=AM,ZMAB=ZGAD.(1分) ': AP=FP,ZAPF=90°,: .ZPAF=45°. VABAD=90°,: .ZBAP+ZDAG=45°,即得ZMAP=ZPAG=45°.(1分)于是,由AM=AG,ZMAP=ZPAG,AP=AP,得左APM^AAPG.: .PM=PG. BPWPB+DG=PG.: .QP与。 G两圆外切.(1分) (3)解: 由PG//CF,得ZGPC=ZFCE=45°.(1分) 于是,由匕BCD=90°,得ZGPC=ZPGC=45。 . : .PC=GC.即得£)G=BP.(1分) 设BP=x,则DG=x.由AB=2,得PC=GC=2-x. ': PB+DG=PG,: .PG=2x.在RtAPGC中,ZPCG=90°,得sinZGPC=—=.即得三=2解得x=2y/2-2.(1分) PG22x2 ..•当即=(2很—2)时,PG//CF.(1分) K题 中考压轴题综合复习二 争此号$切 1.培养学生挖掘信息的能力,并能从题目中寻找有利条件; 2.培养学生分析问题解决问题的能力; 3.让学生学会把难题分解,从而分段击破; 4.培养学生动态数学思维能力和综合能力。 例1.如图,已知在△A3C中,A3=4,BC=2,以点3为圆心,线段长为半径的孤交边AC于点且/DBC=ZBAC,P是边延长线上一点,过点P作PQ±BP, 交线段时的延长线于点Q.设CP=x,DQ=y.(★★★★) (1)求CQ的长; (2)求y关于工的函数解析式,并写出它的定义域; (3)当ZDAQ=2ZBAC时,求CF的值。 【参考教法】可参考以下教法引导学生分析问题、解决问题 1.寻找题目中的已知量和特殊条件: 1.哪些边已知? 哪些边存在特殊关系? 提示: AB=4,BC=2,PQLBP,BC=BD; 2.哪些角存在特殊关系? 提示: ZDBC=ZBAC,ZQBP=90。 3.特殊图形: ABCD、AABC均为等腰三角形,ABCD^AABC„ 5.用ABCD^AABC得到饿比例式可以直接求解CD的长度; 6.求解函数关系式: 1.分析x和y分别代表的量? 提示: CP=x,DQ=y,都表示边的长度; 2.从图中观察,X与》是否有直接关系? 提示: 没有,因此需要添加辅助线,构造基本图形使得X与y有联系; 3.分别过点A、。 作AHLBC,DELBC,则由相似基本图形可以求解相关线段的长度,继而求解很熟关系式; 4.注意求解函数定义域。 7.当ZDAQ=2ZBAC时,为“当题目中的量满足一种特殊关系时,求解相关量”: 1.由ZDAQ=2ZBAC可得到那些角度相等? 提示: 得到ZABQ=ZAQB最为关键; 2.等腰三角形画底边上的高线,用勾股定理求解。 【满分解答】 (1)': ADB(=ABAC,ZBCD=Z.ACB,J.^BDC^^ABC.. BDAB (2)VAB=4,BC=BD=2,: .CD=l. (2)': BOBD,: .ZBCD=ZBDC. VZDBOZBAC,ZBCAZACB,: .AABC=ZBDC.: .ZABC=AACB.: .AC=AB=4. 鉴AHYBC,垂足为点习.: .B申CM. CFCDCF1 忤DE^BC,垂足为点瓦可得DE//AH.: .——=——,即——=—. CHCA14 1 X-I •1口口_7刀.."〃s.DQ_EP0ny_'4 ・・CE=—,BE——.乂.・DE//PQ,・・=,Bp— 44BDBE27 4 整理,得y=—x+—.定义域为x>0. 77 (3).: 匕DBC+ZDCAZDAQ^ZDQA,/DCB^ZABIKZDBC, ZBAOZDBC,: .ZABD=Z y—2 DF=—• 2 4545 解得尤==,gpCP=—. 1616 : .2ZDBC+ZABD=ZDA^-ZDQA.,: ZDAQ=2ZBAQ DQA.二4.作力牡因,垂足为点可得Q尸=二^, ・・.32—(工尸=42_(整)2.解得y=7..・.§"2=7. 222772 1.已知: 如图,在左ABC中,AB=AC=4,BC=-AB,P是边AC±的一个点,AP=-PD,22 ZAPD=ZABC,联结QC并延长交边AB的延长线于点矶(★★★★) (1)求证: AD//BC; (2)设AP=x,BE=y,求〉关于x的函数解析式,并写出它的定义域; (3)联结BP,当△CDF与△C3E相似时,试判断BF与QE的位置关系,并说明理由。 D 【解法点拨】可参考以下方法引导学生分析问题、解决问题 1.寻找题目中的已知量和特殊条件: “11 1.边: AB=AC=4,BC=-AB,AP=—PD; 22 2.角: ZAPD=ZABC; 3.特殊图形: △APDsMBC 2.用相似三角形对应角相等即可证明AD//BC. 3.求解函数关系式: 1.AP=x,BE=y,都表示边的长度; 2.用第一小问得到的平行线,产生了相似基本图形"A字型”,—,可求得函数关 AEAD 系式; 3.注意求解定义域。 4.当△CZ5F与△CBE相似时: 1.用角度关系,证明相似是唯一存在的; 2.用边之比,计算相关线段的长度,再由线段关系得到BP//DE. 【满分解答】 11Ap (1)证明: VBC=-AB,AP=—PD,: ——(1分) 22ABPD XVZAPD=ZABC,: .AAPD^AABC.(1分) ZDAP=ZACB.(1分) : .AD//BC.(1分) (2)解: •: AB=AC,/.ZABC=ZACB. : .ZDAP=ZDPA. : .AD=PD.(1分) \'AP=x,.'.AD=2x.(1分) VBC=-AB,AB=4,: .BC=2.2 •: AD//BC,艮|]旦二=2.(1分) AEADy+42.r 整理,得y关于x的函数解析式为)=二」.(1分) X—1 定义域为l (3)解: 平行.(1分) 证明: VZCPD=ZCBE,ZPCD>ZE, .•.当/XCDP与/XCBE相似时,ZPCD=ZBCE.(1分) .BEDP„„y_2x (1分) >・一,国J— 把y=—代入,整理得『=4. BCPC24-x x-1 .*.x=2,x=-2(舍去).(1分) ・・y=4. : .AP=CP,AB=BE.(1分) : .BP//CE,艮PBP//DE. d题 中考压轴题综合复习三 号句杼、 ♦培养学生挖掘信息的能力,并能从题目中寻找有利条件; 2.培养学生分析问题解决问题的能力; 3.让学生学会把难题分解,从而分段击破; 4.培养学生动态数学思维能力和综合能力。 【备注】引导学生对中考压轴题进行一下概述,为后面讲解铺垫好基础,大概5分钟左右。 -.中考压轴题命题方向: nA 二.动点产生的分类讨论类型: 动点产生的分类讨论类型 2.等膜用题: 1弱逐三鬲形中是否"0等角 2楚否直接利用边和等求解 3如不能则面底边上的高线,利用三角比求辟 4注意利用好题 ③注意利用好题目牛的 3.圆的相切问题: ①分别求解两■圆半径夺 ②K分内切彩那切讨论,计算; 例1.如图9,在平面直角坐标系中,。 为坐标原点,二次函数图像经过A(l,-2)、3(3,-2)和C(O,1)三点,顶点为F。 (★★★★) (1)求这个二次函数的解析式,并写出顶点F的坐标; (2)联结PC、BC,求ZBCP的正切值; (3)能否在第一象限内找到一点Q,使得以Q、C、A三点为顶点的三角形与以C、P、8三点为顶点的三角形相似? 若能,请确定符合条件的点Q共有几个,并请直接写出它们的坐标;若不能,请说明理由。 1_ IIIIIIIIIII. -1012x -1 图9 【参考教法】可参考以下教法引导学生分析问题、解决问题 1.寻找题目中的已知量和特殊条件: 1.哪些点的坐标已知? 提示: A(l,-2)、5(3,-2)和。 (0,1)三点; 2.二次函数解析式和顶点坐标可以求解。 2.求解函数解析式,用待定系数法即可求解。 3.求解三角比的值: 1.先让学生计算出3PBC的三边长度; 2.通过观察三边的关系,你能得到什么结论吗? 提示: /CBP=90。 即ACBP为直角三角形; 3.计算tanZBCP的值。 4.当△QCA与APBC相似时: 1.AQCA有什么特殊性质没有? 提示: 为直接三角形; 2.怎么分类讨论计算? 提示: 分以下三大类计算求解 4 1.若匕4CQ=90,过A、Q两点作y轴垂线,用相似可求得。 点坐标为(1,了或(9,4); 2.若ZAQC=90,则可直接的Q点坐标为(1,1); 3.若ZQAC=90,过。 点作尤轴垂线,可求的Q点坐标为(10,1); 3.所求Q点坐标有4个,分别计算求解。 【满分解答】 (1)设所求二次函数解析式为y二④? +/zx+c(3"0) a+b+c=-2[a=\ 由题意,得: <9。 +3/? +。 二—2食牟得: <8=—4 c=l\c=l 因此,所求二次函数的解析式为y=]2—4x+l,顶点F坐标为(2,-3). (2)联结BP.C(0,l),3(3,—2),P(2,-3) BC=3a/2,BP=皿,PC=2a/5 DpJO1 BC2+BP2=PC2: .ZCBP=90°/.tanZBCP=——=-^=- BC3也3 4 (3)能,条件的Q点符合共有4个,它们分别是(1,了或(9,4)或(1,1)或(10,1)o Q寸巩S)旬佑. i\xtr0D20 4 1.如图,RtAABO在直角坐标系中,ZABO=90°,点A(-25,0),ZA的正切值为一,直线3 A3与y轴交于点。 。 (★★★★) (1)求点B的坐标; (2)将△A30绕点。 顺时针旋转,使点B落在x轴正半轴上的B处。 试在直角坐标系中画出旋转后的AABO,并写出点A'的坐标; (3)在直线上是否存在点Q,使△(%>£>与△AOB相似,若存在,求出点Z)的坐标;若不存在,请说明理由。 【参考教法】可参考以下教法引导学生分析问题、解决问题 一.寻找题目中的已知量和特殊条件: 1.点的坐标: A(-25,0); 4 2.角: ZABO=90,tanZA=一。 3 7.求解点B的坐标,过点3画x轴垂线,用三角比即可求解。 8.旋转后注意“点B落在x轴正半轴上的3'处”,又因为ZABO=9Q,则A‘在3’的正上方, 利用旋转前后对应边相等可直接写出A'的坐标; 9.当△COZ)与ZkAOB相似时: 1.注意点。 在直线Q4'上; 2.可以得到NCOD为直角三角形; 3.分类讨论计算: 100 “COAOj ①当一=—时: ODAB ~T~25 即-^-=—,解得x=16。 515 —x 4 100 ②当 CO 0D AB午 =时: AO …If,解得I 【满分解答】 4 (1)过点B作BH±AO于H,由 tanA=一,设BH=4k,AH=3k,贝JAB=5k 3 4 .*.AB=15 在RtAABO中,VtgA=y,AO=25, AH=9,.\OH=16 AB(-16,12) (2)正确画图。 A(20,15), xA4100 (3)在RtAAOC中,AO=25,tgA=y,.*.OC=—- 33设OA‘的解析式为y=kx,则15=20k,则k=—,/•y=—x 44 AABO旋转至△A^O,.IZAOB=ZA^B7, VZAOB+ZA=90°,ZCOA‘+ZA/()B/=90°,.\ZA=ZCOA/ 35在直线OA,上存在点D符合条件,设点D的坐标为(x,—x),则OD=—X 44 100 1。 当—=—即_^_=至,也即x=16时,△(20。 与左AOB相似, ODAB515 —x 4 此时D(16,12) 100 2。 当—即卫_=七,也即x=—时△COD与ZWOB相似, ODAO5259 —x 4 …400100 此时D(——,一) 93 A.•• K题 中考压轴题综合复习四 争此号$切 1.培养学生挖掘信息的能力,并能从题目中寻找有利条件; 2.培养学生分析问题解决问题的能力; 3.让学生学会把难题分解,从而分段击破; 4.培养学生动态数学思维能力和综合能力。 【备注】引导学生对中考压轴题进行一下概述,为后面讲解铺垫好基础,大概5分钟左右。 中考压轴题命题方向: nA 二.动点产生的分类讨论类型: 动京产生的分类讨论类型 2.等膜用题: 1弱逐三鬲形中是否"0等角 2楚否直接利用边和等求解 3如不能则面底边上的高线,利用三角比求辟 4注意利用好题 ③注意利用好题目牛的 3.圆的相切问题: ①分别求解两■圆半径夺 ②K分内切彩那切讨论,计算; 例1.已知ZVIBC中,AB=4,BC=6,AOAB,点D为AC边上一点,且DC=AB,E为BC边的中点,联结Z5E,设AD=x。 (★★★★) 4.当DE±BC时(如图1),求x的值; 5.设S四边形峥=y,求>关于*的函数关系式,并写出定义域; S&CDE 6.取AD的中点联结并延长交&4的延长线于点F,以A为圆心AM为半径作。 A,试问: 当AD的长改变时,点F与。 A的位置关系变化吗? 若不变化,请说明具体的位置关系,并证明你的结论;若变化,请说明理由。 (图1)(备用图) 【参考教法】可参考以下教法引导学生分析问题、解决问题 1.寻找题目中的已知量和特殊条件: 1哪些边已知? 哪些边存在特殊关系? 提示: AB=4,BC=6,AC>AB,DC=AB 2.当DEA.BC时,求解线段的长度: 1.得到了什么特殊条件? 提示: 结合“E为BC边的中点”得到“DE为BC边中垂线”; 2.计算求解,通过中垂线联想到连结BD,则得到AB=BD-再联想到等腰三角形画底边上的高线,即“过点3作AZ)垂线”,再用勾股定理求解。 二.求解面积比: S四边形仙"=yq- %CDE 1.分别表示哪些图形的面积? 提示: 四边形ABED和八CDE。 2.面积比怎么求解? 提小: 方案一.分别求出两个图形的面积,再求解比值; 方案二.用面积转化求解比值。 qAr>x 本题,用“方案二”较简单,连结BD,贝上S^DE=SDEC,坐翊=—=- S^cDC4 所以SwD=三,SaABD=三,所以y=Smb/SaBDE=S^ABD+1=三+" 2SXCDE4S^CDE2S^CDE\CDE 五.证明点与圆的位置关系: 1.点与圆的位置关系有几种? 提示: 点在圆外、点在圆上、点在圆内; 2.求解“点与圆的位置关系”等价于求解什么? 提示: 等价于比较线段的大小; 3.找找该题的圆心、半径r、点到圆心的距离d。 提示: r=AM,d=AP 4.该题转化为比较AAf与AP的大小,怎么添加辅助线? 提示: 作AQ//BC或EN//AB,都可以证明AM=AP. 【满分解答】 解: (1)联结BD,过点B作BH±AC于H, VDE±BC,E为BC中点,.,.BD=DC,VAB=DC,...ABuBD,jXX .*.AH=BH=-x,VAB2-AH2=BC2-CH2,A16-(-)2=36-(4+-)2, X=1 (2)连BD,•..点E为BC中点,.IS®de=Sy VIVV ・y_丁S£DE__|_] S^CDESmdE S/XABD_4・S^BD_gnS*BD_尤 Sadbc42Sxcde4S^cde2 JQ y=—1(0 2 (3)点P在OA±o 4+尤证明: 取AC中点N,贝! jAN=, 2 4+xx•「M为AD中点,.・・MN==2 22 VE为BC中点,..・NE//AB,且EN=2, ・.・MN=EN, APAMVNE//AB,...——=,...AP=AM NEMN ..•点P在OA±. 3 1.如图,已知梯形ABCD,AD//BC,AB=AD=5,tanZDBC=~.E为射线BD上4 q 一动点,过点F作EF//DC交射线3C于点尸.联结EC,设BE=x,=y。 S—BDC (1)求BO的长; (2)当点E在线段3。 上时,求y关于x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围; (3)联结DF,若△BOF与△BDA相似,试求
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