中考数学压轴题100题精选及答案解析.docx
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中考数学压轴题100题精选及答案解析
【001】如图,已知抛物线y=a(x-1)2+33(a≠0)经过点A(-2,0),
抛物线的顶点为D,过O作射线OM∥AD.过顶点D平行于x轴的直线交射线OM于点C,B在x轴正半轴上,连结BC.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)若动点P从点O出发,以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动,
设点P运动的时间为t(s).问当t为何值时,四边形DAOP分别为平行四边形?
直角梯形?
等腰梯形?
(3)若OC=OB,动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发,分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动,当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动.设它们的运动的时间为t(s),
连接PQ,当t为何值时,四边形BCPQ的面积最小?
并求出最小值及此
时PQ的长.
yM
DC
P
A
OQBx
【002】如图16,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,AB=5.点P从点C出
发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动,到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回;点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点
B匀速运动.伴随着P、Q的运动,DE保持垂直平分PQ,且交PQ于点D,交折线QB-BC-CP于点E.点P、Q同时出发,当点Q到达点B时停止运动,点P也随之停止.设点P、Q运动的时间是t秒(t>0).
(1)当t=2时,AP=,点Q到AC的距离是;
(2)在点P从C向A运动的过程中,求△APQ的面积S与
t的函数关系式;(不必写出t的取值范围)
(3)在点E从B向C运动的过程中,四边形QBED能否成为直角梯形?
若能,求t的值.若不能,请说明理由;
(4)当DE经过点C时,请直.接.写出t的值.B
EQ
D
APC
图16
【003】如图,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的三个顶点B(4,0)、
C(8,0)、D(8,8).抛物线y=ax2+bx过A、C两点.
(1)直接写出点A的坐标,并求出抛物线的解析式;
(2)动点P从点A出发.沿线段AB向终点B运动,同时点Q从点C出发,沿线段CD
向终点D运动.速度均为每秒1个单位长度,运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E,①过点E作EF⊥AD于点F,交抛物线于点G.当t为何值时,线段EG最长?
②连接EQ.在点P、Q运动的过程中,判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形?
请直接写出相应的t值。
【004】如图,已知直线l1:
y=
2x+8与直线l:
y=-2x+16相交于点
332
C,l1、l2分别交x轴于A、B两点.矩形DEFG的顶点D、E分别在直线l1、l2上,顶点F、G都在x轴上,且点G与点B重合.
(1)求△ABC的面积;
(2)求矩形DEFG的边DE与EF的长;
(3)若矩形DEFG从原点出发,沿x轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移,
设移动时间为t(0≤t≤12)秒,矩形DEFG与△ABC重叠部分的面积
为S,求S关
t的函数关系式,并写出相应的t的取值范围.
y
l2
l1
ED
C
AOF(G)Bx
(第4题)
【005】如图1,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,E是AB的中点,过点E作EF∥BC交CD于点F.AB=4,BC=6,∠B=60︒.
(1)求点E到BC的距离;
(2)点P为线段EF上的一个动点,过P作PM⊥EF交BC于点M,过M作MN∥AB交折线ADC于点N,连结PN,设EP=x.
①当点N在线段AD上时(如图2),△PMN的形状是否发生改变?
若不变,求出△PMN的周长;若改变,请说明理由;
②当点N在线段DC上时(如图3),是否存在点P,使△PMN为等腰三角形?
若存在,请求出所有满足要求的x的值;若不存在,请说明理由.
ADANDADN
EFEP
BCB
M
FEPF
CBCM
图1图2图3
AD(第25题)AD
EFEF
BC
图4(备用)
BC
图5(备用)
【006】如图13,二次函数y=x2+px+q(p<0)的图象与x轴交于A、
5
B两点,与y轴交于点C(0,-1),ΔABC的面积为。
4
(1)求该二次函数的关系式;
(2)过y轴上的一点M(0,m)作y轴的垂线,若该垂线与ΔABC的
外接圆有公共点,求m的取值范围;
(3)在该二次函数的图象上是否存在点D,使四边形ABCD为直角梯形?
若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由。
【007】如图1,在平面直角坐标系中,点O是坐标原点,四边形ABCO是
菱形,点A的坐标为(-3,4),
点C在x轴的正半轴上,直线AC交y轴于点M,AB边交y轴于点H.
(1)求直线AC的解析式;
(2)连接BM,如图2,动点P从点A出发,沿折线ABC方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动,设△PMB的面积为S(S≠0),点P的运动时间为t秒,求S与t之间的函数关系式(要求写出自变量t的取值范围);
(3)在
(2)的条件下,当t为何值时,∠MPB与∠BCO互为余角,并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值.
【008】如图所示,在直角梯形ABCD中,∠ABC=90°,AD∥BC,AB=BC,
E是AB的中点,CE⊥BD。
(1)求证:
BE=AD;
(2)求证:
AC是线段ED的垂直平分线;
(3)△DBC是等腰三角形吗?
并说明理由。
【009】一次函数y=ax+b的图象分别与x轴、y轴交于点M,N,与反
k
比例函数y=的图象相交于点A,B.过点A分别作AC⊥x轴,AE⊥y
x
轴,垂足分别为C,E;过点B分别作BF⊥x轴,BD⊥y轴,垂足分别为F,D,AC与BD交于点K,连接CD.
(1)若点A,B在反比例函数y=k的图象的同一分支上,如图1,试
x
证明:
①S四边形AEDK=S四边形CFBK;
②AN=BM.
(2)若点A,B分别在反比例函数y=k的图象的不同分支上,如图2,
x
则AN与BM还相等吗?
试证明你的结论.
y
NA(x1,y1)
E
B(x2,y2)
DK
y
EA(x1,y1)
N
FM
OCFMx
OCx
DK
B(x3,y3)
(第25题图1)
(第25题图2)
【010】如图,抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于A,B两点,与y轴交
于C点,且经过点(2,-3a),对称轴是直线x=1,顶点是M.
(1)求抛物线对应的函数表达式;
(2)经过C,M两点作直线与x轴交于点N,在抛物线上是否存在这样的点P,使以点P,A,C,N为顶点的四边形为平行四边形?
若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)设直线y=-x+3与y轴的交点是D,在线段BD上任取一点E(不与B,D重合),经过A,B,E三点的圆交直线BC于点F,试判断
△AEF的形状,并说明理由;
(4)当E是直线y=-x+3上任意一点时,(3)中的结论是否成立?
(请直接写出结论).
y
AO1Bx
-3C
M
(第10题图)
【011】已知正方形ABCD中,E为对角线BD上一点,过E点作EF⊥BD交
BC于F,连接DF,G为DF中点,连接EG,CG.
(1)求证:
EG=CG;
(2)将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º,如图②所示,取DF中点G,连接EG,CG.问
(1)中的结论是否仍然成立?
若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
(3)将图①中△BEF绕B点旋转任意角度,如图③所示,再连接相应的线段,问
(1)中的结论是否仍然成立?
通过观察你还能得出什么结论?
(均不要求证明)
ADADADG
GF
EEFE
BFC
第24题图①
BC
第24题图②
BC
第24题图③
【012】如图,在平面直角坐标系xOy中,半径为1的圆的圆心O在坐标
原点,且与两坐标轴分别交于A、B、C、D四点.抛物线y=ax2+bx+c
与y轴交于点D,与直线y=x交于点M、N,且MA、NC分别与圆O
相切于点A和点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)抛物线的对称轴交x轴于点E,连结DE,并延长DE交圆O于F,求EF的长.
(3)过点B作圆O的切线交DC的延长线于点P,判断点P是否在抛物线上,说明理由.
y
DN
E
AOCx
FM
B
【013】如图,抛物线经过A(4,0),B(1,0),C(0,-2)三点.
(1)求出抛物线的解析式;
(2)P是抛物线上一动点,过P作PM⊥x轴,垂足为M,是否存在P点,使得以A,P,M为顶点的三角形与△OAC相似?
若存在,请求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)在直线AC上方的抛物线上有一点D,使得△DCA的面积最大,求出点D的坐标.
y
OB1
4Ax
-2
C
(第26题图)
【014】在平面直角坐标中,边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分
别在y轴、x轴的正半轴上,点O在原点.现将正方形OABC绕O点顺时针旋转,当A点第一次落在直线y=x上时停止旋转,旋转过程中,AB边
交直线y=x于点M,BC边交x轴于点N(如图).
(1)求边OA在旋转过程中所扫过的面积;
(2)旋转过程中,当MN和AC平行时,求正方形
OABC旋转的度数;
(3)设∆MBN的周长为p,在旋转正方形OABC
的过程中,p值是否有变化?
请证明你的结论.
y
y=x
A
M
B
ONx
C
(第26
【015】如图,二次函数的图象经过点D(0,7
9
3),且顶点C的横坐标为
4,该图象在x轴上截得的线段AB的长为6.
⑴求二次函数的解析式;
⑵在该抛物线的对称轴上找一点P,使PA+PD最小,求出点P的坐标;
⑶在抛物线上是否存在点Q,使△QAB与△ABC相似?
如果存在,求出点Q的坐标;如果不存在,请说明理由.
【016】如图9,已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点A(3,3).
(1)求正比例函数和反比例函数的解析式;
(2)把直线OA向下平移后与反比例函数的图象交于点B(6,m),求m的值和这个一次函数的解析式;
(3)第
(2)问中的一次函数的图象与x轴、y轴分别交于C、D,求过A、
B、D三点的二次函数的解析式;
(4)在第(3)问的条件下,二次函数的图象上是否存在点E,使四边形
2
OECD的面积S1与四边形OABD的面积S满足:
S1=
的坐标;若不存在,请说明理由.
S?
若存在,求点E
3
y
A
3
B
O3C6x
D
【017】如图,已知抛物线y=x2+bx+c经过A(1,0),B(0,2)两点,顶
点为D.
(1)求抛物线的解析式;
(2)将△OAB绕点A顺时针旋转90°后,点B落到点C的位置,将抛
物线沿y轴平移后经过点C,求平移后所得图象的函数关系式;
(3)设
(2)中平移后,所得抛物线与y轴的交点为B1,顶点为D1,若点N在平移后的抛物线上,且满足△NBB1的面积是△NDD1面积的2倍,
求点N的坐标.
y
B
OADx
(第26题)
【018】如图,抛物线y=ax2+bx-4a经过A(-1,0)、C(0,4)两点,与x
轴交于另一点B.
(1)求抛物线的解析式;
(2)已知点D(m,m+1)在第一象限的抛物线上,求点D关于直线BC对称的点的坐标;
(3)在
(2)的条件下,连接BD,点P为抛物线上一点,且∠DBP=45°,
求点P的坐标.
y
C
ABx
O
【019】如图所示,将矩形OABC沿AE折叠,使点O恰好落在BC上F处,
以CF为边作正方形CFGH,延长BC至M,使CM=|CF—EO|,再以
CM、CO为边作矩形CMNO
(1)试比较EO、EC的大小,并说明理由
(2)令m=
S四边形CFGH
,请问m是否为定值?
若是,请求出m的值;若不
S四边形CNMN;
是,请说明理由
1
(3)在
(2)的条件下,若CO=1,CE=
3
2
,Q为AE上一点且QF=
3
,抛物线
y=mx2+bx+c经过C、Q两点,请求出此抛物线的解析式.
(4)在(3)的条件下,若抛物线y=mx2+bx+c与线段AB交于点P,试问在直线BC上是否存在点K,使得以P、B、K为顶点的三角形与△AEF相似?
若存在,请求直线KP与y轴的交点T的坐标?
若不存在,请说明理由。
【020】如图甲,在△ABC中,∠ACB为锐角,点D为射线BC上一动点,
连结AD,以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF。
解答下列问题:
(1)如果AB=AC,∠BAC=90°,①当点D在线段BC上时(与点B不重合),如图乙,线段CF、BD之间的位置关系为,数量关系为。
②当点D在线段BC的延长线上时,如图丙,①中的结论是否仍然成立,为什么?
(2)如果AB≠AC,∠BAC≠90°点D在线段BC上运动。
试探究:
当△ABC满足一个什么条件时,CF⊥BC(点C、F重合除外)?
画出相应图形,并说明理由。
(画图不写作法)
(3)若AC=42,BC=3,在
(2)的条件下,设正方形ADEF的边DE
与线段CF相交于点P,求线段CP长的最大值。
2010年中考数学压轴题100题精选答案
【001】解:
(1)抛物线y=a(x-1)2+33(a≠0)经过点A(-2,0),
∴0=9a+33∴a=-
3
···············································································1分
3
∴二次函数的解析式为:
y=-
3x2+23x+83············································3分
333
(2)D为抛物线的顶点∴D(1,33)过D作DN⊥OB于N,则
DN=33,
AN=3,∴AD=
OM∥AD
32+(33)2=6
∴∠DAO=60°·············································4分
yMD
①当AD=OP时,四边形DAOP是平行四边形C
∴OP=6∴t=6(s)··········································5分
②当DP⊥OM时,四边形DAOP是直角梯形过O作OH⊥AD于H,AO=2,则AH=1
PH
A
OENQBx
(如果没求出∠DAO=60°可由Rt△OHA∽Rt△DNA求AH=1)
∴OP=DH=5
t=5(s)·················································································6分
③当PD=OA时,四边形DAOP是等腰梯形
∴OP=AD-2AH=6-2=4
∴t=4(s)
综上所述:
当t=6、5、4时,对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形.·····································································································7分
(3)由
(2)及已知,∠COB=60°,OC=OB,△OCB是等边三角形
则OB=OC=AD=6,OP=t,BQ=2t,∴OQ=6-2t(0 过P作PE⊥OQ于E,则PE= 3t································································8分 2 ∴S=1⨯6⨯33-1⨯(6-2t)⨯ 3t= 3⎛t-3⎫ +633····························9分 BCPQ 222 2ç2⎪8 363 当t=时,SBCPQ的面积最小值为 28 ⎝⎭ 3··························································10分 ∴此时OQ=3,OP=3,OE=3 ∴QE=3-3=9 PE=33 24444 ∴PQ= PE2+QE2= ⎛33⎫ 22 +⎛9⎫ =33···············································11分 ç4⎪ ç4⎪2B ⎝⎭⎝⎭ 【002】解: (1)1,8; 5 E (2)作QF⊥AC于点F,如图3,AQ=CP=t,∴AP=3-t.Q B 由△AQF∽△ABC,BC= 52-32=4, D AFPC 得QF=t.∴QF=4t.∴S=1(3-t)⋅4t, E图3 455 即S=-2t2+6t. 55 (3)能. ①当DE∥QB时,如图4. 25 Q D APC 图4B ∵DE⊥PQ,∴PQ⊥QB,四边形QBED是直角梯形.此时∠AQP=90°. 由△APQ∽△ABC,得AQ=AP,Q ACAB E 即t=3-t.解得t=9.D 358 APC ②如图5,当PQ∥BC时,DE⊥BC,四边形QBED是直角梯形.图5 此时∠APQ=90°.B 由△AQP∽△ABC,得AQ=AP, ABAC 即t=3-t.解得t=15.QG 538 第22页共49页 D C(E) P 图6B QG (4)t=5或t=45. 214 【注: ①点P由C向A运动,DE经过点C.方法一、连接QC,作QG⊥BC于点G,如图6. PC=t,QC2=QG2+CG2=[3(5-t)]2+[4-4(5-t)]2. 55 由PC2=QC2,得t2=[3(5-t)]2+[4-4(5-t)]2,解得t=5. 552 方法二、由CQ=CP=AQ,得∠QAC=∠QCA,进而可得 55 ∠B=∠BCQ,得CQ=BQ,∴AQ=BQ=2.∴t=2. ②点P由A向C运动,DE经过点C,如图7. (6-t)2=[3(5-t)]2+[4-4(5-t)]2 55 t=45 ,14】 【003】解. (1)点A的坐标为(4,8)…………………1分将A(4,8)、C(8,0)两点坐标分别代入y=ax2+bx 8=16a+4b 得 0=64a+8b 1 解得a=-2,b=4 1 ∴抛物线的解析式为: y=-2x2+4x…………………3分 PEBC PE4 (2)①在Rt△APE和Rt△ABC中,tan∠PAE=AP=AB,即AP=8 11 ∴PE=2AP=2t.PB=8-t. 1 ∴点E的坐标为(4+2t,8-t). 1111 ∴点G的纵坐标为: -2(4+2t)2+4(4+2t)=-8t2+8.…………………5 分 1
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