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统计物理方法及其应用
统计物理方法
在复杂网络中的应用
1.3统计物理方法概貌
统计计物理方法研究的对彖是大量微观粒子组成的宏观物质系统,任务是按照物质的微观结构、微观粒子的运动特征及粒子间的相互作用,采用统计方法探求系统的宏观性质及其变化规律。
由于粒子的数量是如此之大,无法去一一求解它们所遵从的运动方程,同时,粒子间的相互作用,外界对系统的干扰,导致粒子运动状态的不完全确定性,系统运动状态呈现随机性,但在一定条件下,系统的各运动状态均以一定的概率出现。
一个宏观状态对应着瞬息万变的大量的微观运动状态,系统的某个物性的实测值是在给定条件下,各微观状态的相应量的统计平均值,统计物理学就是要找出这种统计规律性。
该学科建立起微观运动与宏观运动之间的联系,阐明宏观运动形态的微观实质和基础,并日益渗透和广泛应用于凝聚态物理、核物理、网络科学、化学、生物等诸多学科,获得了许多重大成就。
统计物理学或统计力学是用概率统计的方法,对由大
量粒子组成的宏观物体的物理性质及宏观规律作岀微观解释的理论物理学分支,它架起了从微观到宏观研究的桥梁,不仅为各种宏观复杂系统(气体
、液体、固体、等离子体等)提供理论依据,而且现在为新诞生的网络科学提供了理论基础和有力工具,发挥着重要的作用。
统计物理学分为平衡态统计物理学和非平衡态统计物理学。
平衡态统计物理学研究宏观系统处于平衡态的物理现象和物理性质。
1902年美国物理学家吉布斯(Gibbs)发表著名的《统计力学的基本原理》,建立了平衡态统计物理学体系。
其要点是:
一条基本假定一等概率原理,一个基本观点―统计平均和一种基本方法一统计系综。
统计方法分别与经典力学和量子力学相结合,形成经典统计物理学和量子统计物理学,两者在运用统计方法上是相似的,差别在于对微观状态描述的不同。
量子统计物理学是在基本统计假定下对系统采用所谓混合系综的描述方法,而基本统计假定是关于密度矩阵肖的论断。
微观粒子的全同性原理和它们对量子态占有法则的差异导致两种不同的量子统计法:
玻色-爱因斯坦(Fermi-Dirac)统计法(1926)。
量子统计物理学解决了许多经典统计物理不能解决的困难,20世纪30年代后,量子场论方法用于统计物理使之取得了更大的进展。
实际上,吉布斯首先提出了系综概念,建立了平衡态统计物理,其中对于能量和粒子数固定的孤立系统,采用微正则系综;对于可以和大热源交换能量但粒子数固定的系统,采用正则系综;对于可以和大热源交换能量和粒子的系统,采用巨正则系综。
量子统计与经典统计的研究对象和方法基本相同,系综概念也都适用。
所不同的是前者认为微观粒子的运动遵循量子力学规律而不是经典力学规律,微观运动状态具有不连续性,需用量子态而不是相宇来描述。
非平衡态分布函数及其演化方程的建立,不仅成为输运过程微观统计理论的基础,而且由它定义的
H函数及其遵循的H定理对理解宏观过程的不可逆性及趋于平衡的过程起过重要作用。
特别是,爛的统计意义的阐明,爛增加原理的微观统计解释表明:
统计理论已从平衡态向非平衡态发展,并能对热力学第二定律这样的普遍规律作出微观统计解释。
对远离平衡态的物理现象中最重要的是突变(包括涌现)和有序结构,以及20世纪60年代以后建立了著名的三论(耗散结构理论,协同学和突变理论)等,对网络科学具有参考和指导意义。
但是非平衡统计物理仍然在迅速发展中,还没有完全成熟。
上述许多理论方法与许多科学交叉,大大超出本文的综述范围,本章并不作专门详细的介绍,请读者参考有关专著和研究生的教科书.
非平衡态统计物理学研究宏观系统处于非平衡态的物理现象和物理性质。
近平衡态自发的演化趋势是趋于平衡,故其性质与平衡态相似。
涨落、弛豫和耗散(输运)是主要的近平衡过程,以昂萨格(Onsager)倒易关系、涨落耗散定理和最小爛产生原理为主要内容的线性不可逆热力学和近平衡态统计物理理论已发展成熟。
远离平衡问题的研究60年代以来广泛开展,主要有非平衡统计物理的基本理论和方法,外场驱动下耗散系统的非线性动力学,非平衡涨落和非平衡相变等。
对远离平衡的突变、有序与结构的出现,普
利高津(Prigogine)等作了宏观描述,建立了耗散结构理论。
之后,与混沌、孤子及分形等非线性问题的研究交织在一起,相互渗透和促进。
非平衡统计物理迄今尚未形成系统的理论,但它可能突破传统的物理学理论和方法的框架,通过与其他学科交叉结合,比如,与复杂网络的研究紧密结合,可以向较成熟的、更普遍的非平衡系统理论的方向发展,是一门具有很强生命力的、新兴的前沿学科。
1.4网络科学与统计物理的联系
值得注意的是,首先提出无标度网络的学者Albert和物理学家Barabasi在美国著名的“现代物理评论”(ReviewofModernPhysics)上发表了题为“复杂网络的统计力学”的长篇综述血,既系统地评述了复杂网络的研究进展,又精辟介绍了统计物理的主要理论和方法在网络科学中的应用,特别是关于网络拓扑特性及动力学的统计力学研究所取得的成果和重要进展,很好阐明了目前网络科学研究涉及到统计物理中的主要理论武器有:
主方程、
Forkker-Plank(福克-普朗克)方程,平均场理论方法,自组织理论,临界和相变理论,爛的概念,以及渗流理论等。
接着,2002年Dorogovtsev与Mendes评述了网络演化问题[13,16]o2003年Newman对复杂网络的结构与功能的研究进展
作了系统的综述泗。
2004年Park和Newman进一步把统计系综推广应用于复杂网络的平衡态研究联系厠,沟画了一种基本理论框架,这里结合我们的思路加以阐明和拓广,把它概括为图1-5所示的理论框架和基本路线图。
它具有画龙点睛作用,真正深入理解这个路线图,有助于掌握统计物理在复杂网络中应用,下面各节较为详细介绍统计物理在复杂网络中应用的主要方法。
参考ParkJ,andNevxtn^nME.J・.Ph於・Rev.E2034,70.065117
图1-5复杂网络的平衡态统计方法的理论框架和慕本路线不意图。
1.5平均场理论方法
1.5.1平均场理论方法的基本思想
统计力学和复杂网络研究中常用的一种统计物理方法是平均场理论方法。
该法通俗容懂,虽然是近似处理方法,但是结果的物理意义比较明显。
在连续介质微观力学中,有两类基于微结构信息确定非均匀介质有效性能的基本理论就是,基于物理的平均场理论和数学的渐近均匀化理论.
平均场理论,顾名思义,认定一个粒子,这个粒子受到其它粒子的相互作用,把它平均一下,看这个粒子在平均场中受到什么样的相互作用。
也就是说,平均场理论是把环境对物体的作用进行集体处理,以平均作用效果替代单个作用效果的加和的方法。
这一方法,能简化对复杂问题的研究,把一个高次、多维的难以求解的问题转化为一个低维问题,相当于把坏境对研究对象的影响进行积分后再与研究对象发生作用,多用于运动状态混乱的气体,以及结构复杂的固体、液体的研究中,并构成了能带论、现代固体理论、量子多体理论等理论的重要的基础。
尽管平均场理论带来了研究的便利,但是由于积分过程会掩盖掉环境中个别影响因素的涨落,因此在非平衡过程,强关联系统,以及瞬态过程中,平均场理论会带来比较大的误差。
平均场理论最早的是范德瓦耳斯的状态方程,后来还有很多不同的名称。
1937年朗道提出了二类相变的普遍理论。
朗道的平均场理论,拿一个具体的例子说明,单轴各向异性的铁磁体,磁化强度只能向上或者向下。
假定热力学函数是序参量的解析函数,这是一个热力学函数可以展开,有二次方和四次方项(由于反演对称,没有奇次方项),展开系数是温度的函数。
在温度T高于临界温度Tc时和低于Tc时曲线结果是不一样的,高于Tc时,最小值是Mo二0,即没有自发磁化;如果温度T低于Tc,就有不等于0的极小点。
按照平均场理论算出来,临界指数
B等于二分之一;算出与磁场的关系,在临界点上存在这样的关系,d二3。
可以算岀平常说的磁化率,和T的相对温度之间有一个关系,指数是lo还可以算比热,从低温到高温时有一个跃变,本身是一个常数。
如果铁磁体不是单轴各向异性,而是平面各向异性的,序参量会有两个分量。
我们可以拿这个曲线转一圈,最低能量态是“简并”的,所有“酒瓶底”的状态都具有最低能量,实际体系可能处于某一个位置上。
这就是对称破缺。
平均场理论是“多次被发明”的理论。
从最早的范德瓦耳斯方程,到外斯的分子场理论,描述合金有序化的布喇格一威廉姆斯理论,都说的同一回事
值得一提的是在量子力学问题中,平均场理论也是量子多体理论的零级近似•绝大多数是量子多体系统的问题包括:
量子多体系统结构的研究、量子多体系统碰撞与反应过程的研究和量子多体系统衰变性质的研究,平均场理论是进一步近似的岀发点
也是最重要的最流行的量子多体理论,因而成为量子多体理论的基础。
平均场理论所包含的物理概念:
平均场概念,是(量子)多体理论的精华,这一概念具有客观意义,它深刻反映了微观多体世界的最重要的属性。
量子力学中的平均场理论的基本思想:
存在相互作用的多粒子系统,每个粒子都受到周围其他粒子的作用,这些周围粒子的相互作用的迭加并对其粒子密度分布(粒子云)的平均,在零级近似下,将产生一个平均势场。
这个平均势场是一个单体算符,只依赖于受作用的这个粒子的坐标,但不是外界施加的外场,而是其他粒子对这个粒子相互作用迭加平均的结果。
这个平均场一般随时间变化,但在定态极限下,它是静态的。
对于全同粒子系统,特别是费米子系统,由于多体系统波函数或密度矩阵中存在着交换项,平均场相应地也包含一个非定域的交换项,它与动量相关势场等效。
对于带自旋的粒子,平均场还包含自旋一轨道力。
对于二体相互作用的多体系统,哈密顿量〃包含一体算符(只依赖一个粒子的坐标)的动能项和二体算符(只依赖两个粒子的坐标)的相互作用项。
而平均场是单体算符,它虽然可以包含二体相互作用的主要效应,但不能完全代替二体相互作用项,只能是对二体相互作用的单体近似。
这些不能用平均场概括的二体相互作用,称为剩余相互作用。
因此,考虑了平均场以后,系统有一个由平均场单体算子组成的哈密顿量,又称独立粒子近似下的哈密顿量,还有一个平均场不能包括的二体剩余相互作用。
系统总的哈密顿量应为二者之和。
产生平均场支配下的系统的独立粒子运动,类似于外场作用下产生的独立粒子运动;而剩余相互作用破坏独立粒子运动,把这些独立粒子运动耦合起来,产生各种各样的多体关联,以至于集体运动。
多体系统中粒子-粒子相互作用产生平均场的过程,对于定态问题,是一个非线性的自洽反馈的过程:
具有确定量子态的各个粒子对某个粒子相互作用的迭加并对这些粒子的密度分布求平均后,产生了一个单体平场场;这个单体的平均场反过来又产生岀各个粒子的确定的量子运动;即所有粒子的量子状态决定了平均场,而平均场又产生岀各个粒子的量子运动,这样就形成一个非线性的反馈过程。
对于定态,这个过程必须达到自洽:
产生平均场厶的各粒子的量子态应当是平均场产生的量子态,产生各量子态的平均场应当是各量子态生成的平均场。
总之,对于量子微观系统,平均场理论的基本思想概括为以下五个要点:
(1)多体系统各粒子对某一粒子相互作用的迭加和平均,产生一个平均场;
(2)这个平均是单体算符,包括非定域(动量有关)项和自旋-轨道力;(3)产生平均场的过程是一个非线性反馈的过程;对定态问题
还要求自洽;(4)平均场是对多体系统相互作用的非微扰的零级近似,对多体系统的正确描述应当是平均场加剩余相互作用;(5)平均场产生多体系统的独立粒子运动,而剩余相互作用要破坏这种独立粒子运动,引起量子态跃迁,产生粒子之间的多体关联,导致集团运动和集体运动。
1.5.2平均场理论的应用之一:
无标度模型
网络科学诞生12年来,复杂网络理论模型中度分布求解广泛地应用了平均场方法得到近似解,实际上,平均场方法在复杂网络和一些实际问题应用中已经取得了重要的成果。
平均场方法不仅适用于从连续相变和临界现象的研究,而且是网络科学研究的一种有力工具,应用范围十分广泛,凡是平均场方法的核心思想适用的问题,都可以应用它来解决各种各样的问题.
首先,Watts-Strogatz(WS)小世界模型和Barabasi-Albert(BA)无标度模型中,理论上都是以平均场解析为基础的[2324]・2000年Newman,Moore和Watts
使用平均场近似对WS小世界模型平均距离的解析推导[23]o1999年Barabasi,Albert和Jeong使用平均场近似推导BA无标度模型的度分布[24]・在这两文中,应用平均场方程估计相关量演化规律的几率,找到合适的近似,归结到一个自组织稳定临界演化方程来求解,而且这些方程都表述为微分方程的形式
・这里并没有应用序参量和驱动量的概念,以及在临界点附近把序参量展开取近似的方法。
WS小世界模型和BA无标度模型的改进模型WS小世界模型和BA无标度模型在科学界产生了深刻影响,1999年Newman和Watts讨论了WS小世界模型上信息或流行病传播的逾渗相变及其临界性质;2000年Dorogovtsev和Mendes建议在BA无标度模型中增加对节点活性随年龄衰减的考虑.2001年他们又建议在BA无标度模型中考虑节点数目加速增加的情况.这3篇论文都导出了平均场解析解。
2002年Liu和Lai等人提出在BA无标度模型中考虑新节点在选择旧节点时部分优选、部分随机选择,并且做出了平均场解析,他们用主方程方法解析了非线性优选的BA无标度模型.在2003年Li和Chen提岀了一个局域世界模型,重要的思想是优选需要网络的全局信息,而一个节点往往只可能掌握它所在附近的局域信息,因此,合理的演化机制是节点在一个局域中优选,而哪些节点构成局域世界则是随机的,也可用平均场方法作了解析.2002年Chneg>Wang和Ouyang提出了一个包含两类不同节点和两类不同边的网络演化模型,并且推导出平均场解析解.
我们下面给出平均场方法求解BA模型的度分布的例子。
以计算BA模型度分布为例,令豹)表示在t时间步节点i的度数,把豹)看作连续动力学函数,得到近似的动力学方
程:
解方程(1.5.2.1)得《(/)=〃(%)月,其中0=%称为动力学指数.
因为需要随机选择一个结点,所以匕⑴中的i必须看成服从均匀分布的随机变量•于是,由动力学方程解,网络度分
布可以推导如下
(1.5.2.2)
(1.5.2.3)
再令Ftr,因此得到网络稳定度分布(密度)为
P(k)=limP(k、f)oc2nrk~
(1.5.2.4)
其中尸i+%=3称为度(分布)指数,注意:
尽管「2厭%=1,因为式(1.5.2.4)的连续密度只是离散概率的Jnt
近似,对小度数会有较大的偏差.
该方法主要优点是简明易学,对许多增长网络模型,能够得到&⑴的明确表达式•为此,史定华小组提出了一种基于动力学方程的群集系数计算方法,与模拟结果比较,它有很高的精度,该方法的缺点是若《⑴没有明晰解,无法得到网络度分布,采用了'结点,度加1的概率为〃叮伙•)'近似。
1.5.3平均场理论的应用之二:
复杂网络中多尺度研究
2010年HanshuangChen等人在物理评论(HanshuangChen,etal.PRE,82,0111107)提岀复杂网络中临界现象(多尺度)统i致性粗粒化(NetworkCoarseGraining)模拟方法。
基于度合并的粗粒化方法可以用来处理由随机动力学描述的体系,采用了两个有代表性的模型体系,即平衡态Ising模型和非平衡SIS模型。
他们的基本思路是:
(1)基于局域平均场,提岀合并网络的方法,即得到粗粒化网络邻接矩阵;
(2)定义粗粒化变量,写出粗粒化哈密顿量和粗粒化反应速率;(3)提出统计一致性条件,对平衡态体系,这个条件是平衡态分布的一致性;对非平衡体系,这个条件是非平衡反应流的一致性;(4)提出基于度的粗粒化模拟方法,在退火网络近似下可以证明这个方法满足统计一致性条件;(5)给出不同网络下模拟结果,包括无关联和关联网络,验证了粗粒化方法的可行性。
1・5・4在复杂网络中的应用之三:
网络上传播问题
复杂网络上的传播问题,不仅有流行病的传播,而且有舆论、物质、信息、能量等的传播,这些课题都具有重要理论和实际意义•例如,流行病传播网的平均场方法求解问题。
在流行病停止流行的状态,病人的“密度〃P为零,系统相对无序;而在流行病正在流行的状态P大于零,系统相对有序.所以可以把P定义为广义的序参量.对于流行病的传播,大量的实验和理论结果都证明存在一个传播速率入的阈值入,只有在XX时,流行病才能全局传播,因此可以把入X定义为热力学驱动量.现在的问题就是利用平均场近似方法的思想,写出这类活动传播问题的平均场方程,然后在一定条件下求解.平均场方法的基本思想是把相互作用的总体效果等价于一个“平均场”,不去计算局部的、处处不同的相互作用情况.流行病的传播过程中虽然充满了基本单元周围局部信息的影响.但是平均场方法的思想就是不管这些具体细节,仅仅考虑全局的、平均的传播可能性,也就是仅考虑被看作常参量(或者是依赖于某几个全局因素的可变参量)的传播概率或者传播速率入,以及康复概率丫・这样,对于病人可治愈且终生免疫的情况,显然可感染人群、病人和治愈且终生免疫人群分别的人数变化率的最简化(线性,相当于级数展开后取一阶近似)表述就是
SIR模型;而治愈后并不能免疫,可能立即再次感染情况的最简化表述就是SIS模型.所以,传统的SIR模型或SIS模型就是流行病传播的平均场方程.它们可以用大家熟悉的微分方程解法来求解,注意这时研究超越原来决定论的牛顿第二定律的还原论方法的含意。
平均场方法的研究结果表明:
SIR模型模拟结果相当于实际数据的一种平滑化,即SIR模型模拟的结果相当于全局的、平均的结果.
又如,Kleczkowski和Grenfell在1999年首先研究了小世界网络上麻疹一类(康复后可免疫)流行病传播,给出了作为平均场近似的SIR方程,并且得到了解析解[47]•结果说明了小世界网络中的少数随机跳跃边大大加快了流行病的传播.Pastor-Satorras和Vespignani在2001年用平均场近似(SIS方程)解析地讨论了无标度网络上肺结核一类(康复后不可免疫)流行病的传播•这篇论文的平均场解析导岀了一个重要结论,即一个无标度网络上流行病传播的有效传染几率阈值为0[48].以文献[49,50]为代表的一批论文在此后热烈的讨论了这个问题,指岀了例如网络大小、网络集团结构等多种因素对流行病传播阈值的影响.文献[19]曾经对上述进展做过一个综述•在文献[51]中,Liu和Hu曾经用生成函数方法帮助求解一个他们提出的在具有群落结构的复杂网络上流行病传播的模型,这是另一个生成函数方法在复杂网络研究中应用的例子.Shi,Duan和
Chen在2008年用平均场方法
(SIS方程)解析讨论了一个有新特色的、各种拓扑结构复杂网络上流行病的传播模型,并提岀了防止流行病传播的新策略[52]・
1.6郎之万方程
本节用概率方法讨论布朗运动中的非平衡态统计力学问题。
首先了解郎之万方程的由来•随后各节讨论相关的主方程和福克和普朗克方程
1.6.1布朗运动的物理机制
布朗运动(Brownianmotion)英国植物学家R・布朗
(1773-1858)在1827年用显微镜观察到悬浮在水中的花粉时发现的。
花粉在水中受到流体分子与粒子的碰撞而发生的不停息的随机运动。
实际上,不只是花粉和小炭粒,统称“布朗粒子”对于液体中各种不同的悬浮微粒,都可以观察到布朗运动:
“布朗粒子”直径为io"〜io'厘米,处在水中每秒被粒子撞击频率为10需空气中W因此,布朗粒子的运动是无规撞击在一定时间尺度的统计效果。
如果布朗粒子相互碰撞的机会很少,可以看成是巨大分子组成的理想气体,则在重力场中达到热平衡后,其数密度按高度的分布应遵循玻耳兹曼分布。
J・B・佩兰的实验证实了这一点,并由此相当精确地测定了阿伏伽德罗常量及一系列与微粒有关的数据。
1905年A.爱因斯坦
根据扩散方程建立了布朗运动的统计理论。
布朗运动的发现、实验研究和理论分析间接地证实了分子的无规则热运动,对于气体动理论的建立以及确认物质结构的原子性具有重要意义,并且推动统计物理学特别是涨落理论的发展。
由于布朗运动代表一种随机涨落现象,它的理论对于仪表测量精度限制的研究以及高倍放大电讯电路中背景噪声的研究等有广泛应用。
布朗粒子受两种力作用:
(1)介质的宏观粘阻-卅,其中丫=6加帀。
(2)涨落剩余力
F(r)o由牛顿力学易得:
Mv=-)v+F(t)或写成:
v=+A(t)o
假如在t=0时刻,注入一束大小为%的粒子,由于他))=o,于是,仞=一呦,解得仞=岭八。
这意味着粒子的平均速度迅速衰减。
布朗运动的机制对速度没有记忆效应。
然而,统计剩余力是有时间关联的。
(a(/|)a(/2))=^(/2-/1),如2-G是偶函数,形状和高斯函数类似。
最后,由Wick定理
知:
他网2)…A©”))=工他JA©)〉…他—"(心))
并且04)4(/2”必(/2柏))三0・
1.6.2郎之万方程的求解
由上而可知方程:
V(O=voe~^+jdre^A(r),右边第一项很快
趋于零。
真正速度由第二项决定。
下面讨论速度的时间关联
函数
(叩)心)〉:
If
〈叩)叩'))=JJ〃引论
00
=j*jd勿甘叫E0(—叭
00
(1.6.2.1)
令r+/=
—/=&,积分元〃刃尸=丄呼e,并且由于处2—02
大致相当于3函数,将积分先坐一下改动不会有太大误差。
则积分
/•/
J(f)=jjclrdT’e'E'etr'_r)
00
=_Jd铲\d训⑹+-Jd铲Jd&0⑹
(1.6.2.2)
令a@)=j〃创⑹
虽然关联函数的具体形式不知道,但是假定积分时用&
代替0门引入的误差是不大的。
于是"X兰(严一1)・速度关2g
联函数〈叩)咐))三学宀T,可以看出〈巧=三,由统计力学仟半学则"空輕,可以看出,涨落&与耗散〃成正
'/2qMM・
比。
另外,直接将郎之万方程平方,也可以得到:
00
a71Q-2Q、a
aL(l_g.)QL
2§2g
(1.6.2.3)
我们来讨论粒子的扩散
t
Ax=x-x0=j〃zv(r)
0
tf
Ax=](1-)+Jd沧F
§00
(1.6.2.4)
可见(Ay)=O.
3)=jj*Jn/r,(v(r)v(r/)}
00
frtt
=—jdr'e~''j(1te~"'+牛j*dre~"'jdr'e2$()o2qoo
/[J丄(13)
J」
a2kHTkJT
^—t=—t=—t
GMg3加〃
(1.6.2.5)
可以看出:
位移平方和是与时间及温度成正比的,而是与粒子半径、介质的粘滞成反比的,这已被实验所证实
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