完整word版上海初二八年级上数学知识点详细总结.docx
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完整word版上海初二八年级上数学知识点详细总结
《数学》(八年级上册)知识点总结
第一章实数
、实数的概念及分类
1、实数的分类
2、无理数:
无限不循环小数叫做无理数。
在理解无理数时,要抓住“无限不循环”这一时之,归纳起来有四类:
(1)开方开不尽的数,如•..7,32等;
n
(2)有特定意义的数,如圆周率n,或化简后含有n的数,如一+8等;
3
(3)有特定结构的数,如0.1010010001…等;
(4)某些三角函数值,如sin600等
二、平方根、算数平方根和立方根
1、算术平方根:
一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x就
叫做a的算术平方根。
特别地,0的算术平方根是0。
表示方法:
记作“Va",读作根号a。
性质:
正数和零的算术平方根都只有一个,零的算术平方根是零。
2、平方根:
一般地,如果一个数x的平方等于a,即x2=a,那么这个数x就叫做a的
平方根(或二次方根)。
表示方法:
正数a的平方根记做“扁”,读作“正、负根号a”。
性质:
一个正数有两个平方根,它们互为相反数;零的平方根是零;负数没有平方根。
开平方:
求一个数a的平方根的运算,叫做开平方。
注意:
•.a的双重非负性:
3、立方根
一般地,如果一个数x的立方等于a,即x3=a那么这个数x就叫做a的立方根(或三
次方根)。
表示方法:
记作Va
性质:
一个正数有一个正的立方根;一个负数有一个负的立方根;零的立方根是零。
注意:
3a3、a,这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
三、二次根式计算
1、含有二次根号“”;被开方数a必须是非负数。
2、性质:
(1)(.a)2a(a0)
-a(a0)
(2)VO2aY
Ia(a0)
(3).、ab、a?
、.b(a0,b0)(•、a?
..b.、ab(a0,b0))
(4)、a'a(a0,b0)(a、a(a0,b0))
3、化简二次根式:
把二次根式被开方数的完全平方因式移到根号外。
例:
1823232。
(字母因式由根号内移到根号外时,必须考虑字母因式隐含的符号)
4、最简二次根式:
化简后的二次根式需同时符合以下两个条件:
⑴被开方数中各因式的指数都为1;⑵被开方数不含分母。
这样的二次根式叫做最简二次根式。
将一个二次根式化成最简二次根式,有以下两种情况:
⑴如果被开方数是分式或分数(包括小数),先利用商的自述平方根的性质把它写成分
式的形式,然后再分母有理化;
⑵如果被开方数是整式或整数,先将它分解因式或分解质因数,然后把能开方的因式或
因数开出来,从而将式子化简。
化二次根式为最简二次根式的步骤:
⑴把被开方数分解质因数,化为积的形式;
⑵把根号内能开方的的因数移到根号外;
⑶化去根号内的分母,若被开方数的因数中有带分数要化成假分数,小数化成分数。
5、同类二次根式:
几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,那么这几
个二次根式是同类二次根式。
例:
18、2.、2、1,2。
(判断是不是同类二次根式:
首先,
2
要看它们是不是最简二次根式;其次,看这些最简二次根式的被开方数是否相同)
6、二次根式的加法、减法:
⑴化简,化成最简二次根式;⑵合并同类二次根(即将被开方数相同的二次根式的系数进行合并)
7、二次根式的乘法、除法:
⑴先完成根号内乘除,再化简二次根式;⑵小数化分数,
带分数化假分数;⑶字母需考虑取值范围(不要忽视隐含条件)。
8、分母有理化:
把分子和分母都乘以一个适当的代数式,使分母不含根号,这种计算
叫做分母有理化。
第二章一元二次方程
一、定义:
只含有一个未知数,且未知数最高次数是二次的整式方程。
二、一般式:
aX2bXc0(a0)三、一元二次方程的解法:
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1、开平方法:
一般来说,形如X2d、aX2c0(a0)的一元二次方程可以用开平
方法。
(三种情况:
有两个不相等的实数根,等于0,没有实数根)
2、因式分解法:
提取公因式、公式法(平方差、完全平方公式)、十字相乘法、分组分解法。
3、配方法:
⑴移常数项;⑵化二次项系数为1;⑶配方,在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方;⑷用开平方法求解;⑸结论。
4、公式法:
⑴先把方程化为一般形式;⑵写出方程各项的系数a、b、c的值(要注意它们
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的符号);⑶计算b4ac;⑷当b4ac0时,将a、b、c的值代入求根公式,求出方程的两个根;⑸当b4ac (开平方法、因式分解法一般适用于特殊形式的方程,而配方法、公式法是使用最普遍的方法,适用任意方程,其中: 公式法计算较繁琐。 ) 四、一元二次议程根的判别式 1、定义: b24ac叫做一元二次方程aX2bXc0(a0)的根的判别式,通常用符号“△”来表示,即△=b24aco 2、一元二次方程aX2bXc0(a0)的根的情况与△的关系: 2 ⑴厶=b4ac0方程有两个不相等的实数根。 ⑵厶=b4ac0方程有两个相等的实数根。 ⑶厶=b4ac0方程没有实数根。 3、由方程的情况求字母系数的值或取值范围 ⑴如果说方程有实数根,那么b24ac0;⑵注意: 因为是一元二次方程,不要遗漏隐含条件a0。 五、一元二次议程的应用 1、二次三项式的概念: 形如(a、b、c都不为0)的多项式称为二次三项式。 2、二次三项式的因式分解: ⑴首先考虑能否提取公因式;⑵能否运用十字相乘法;⑶最后考虑用公式法。 3、列一元二次方程解应用题的一般步骤: ⑴审题⑵设元⑶列方程⑷解方程⑸检验⑹写答案 4、根据题意列方程时,必须同时满足以下四个条件: ⑴方程两边意义相同;⑵方程两边单位一致;⑶方程两边数值相等;⑷方程全面地反映了题中所有数量之间的关系。 5、列一元二次方程解题的类型: ⑴几何类问题(利用几何定理、面积公式等作解题依据,列出一元两次方程,解题); ⑵增长(降低)率问题: 如设基数为a,平均增长率为x,则第一次增长后为a(1+x),第二 次增长后为a(1+x)2; ⑶利润(销售)问题: 常用等量关系有: 利润=售价-进价(成本)、总利润=每件的利润X总 注意: 解应用题时一定不要忘记检验所求的根是否符合实际问题的要求。 第三章一次函数 一、函数: 一般地,在某一变化过程中有两个变量x与y,如果给定一个x值,相应地就确定了一 个y值,那么我们称y是x的函数,其中x是自变量,y是因变量。 二、自变量取值范围 使函数有意义的自变量的取值的全体,叫做自变量的取值范围。 一般从整式(取全体 (4)若解析式由上述几种形式综合而成,须先求出各部分的取值范围,然后再求其公共范 围,即为自变量的取值范围。 (5)对于与实际问题有关系的,自变量的取值范围应使实际问题有意义。 三、函数的三种表示法及其优缺点 (1)关系式(解析)法 两个变量间的函数关系,有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示,这种表示法叫做关系式(解析)法。 (2)列表法 把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系,这种表示法叫做列表法。 (3)图象法 用图象表示函数关系的方法叫做图象法。 四、函数图像 函数图象的定义: 一般的,对于一个函数,如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标,那么在坐标平面内由这些点组成的图形,就是这个函数的图象. 用描点法画函数的图象的一般步骤: 1、列表(表中给出一些自变量的值及其对应的函数值。 )注意: 列表时自变量由小到大,相差一样,有时需对称。 2、描点: (在直角坐标系中,以自变量的值为横坐标,相应的函数值为纵坐标,描出表格中数值对应的各点。 3、连线: (按照横坐标由小到大的顺序把所描的各点用平滑的曲线连接起来)。 五、正比例函数和一次函数 1、正比例函数和一次函数的概念 一般地,若两个变量x,y间的关系可以表示成ykxb(k,b为常数,k0)的形式,则称y是x的一次函数(x为自变量,y为因变量)。 特别地,当一次函数ykxb中的b=0时(即ykx)(k为常数,k0),称y是x的正比例函数,是一次函数的特例。 2、一次函数的图像: 所有一次函数的图像都是一条直线 3、一次函数、正比例函数图像的主要特征: 一次函数ykxb的图像是经过点(0,b)的直线;正比例函数ykx的图像是经 过原点(0,0)的直线。 k的符号 b的符号 函数图像 图像特征 k>0 b>0 y / k / 图像经过一、二、三象限,y 随x的增大而增大。 0/x b<0 y k 图像经过一、三、四象限,y 随x的增大而增大。 0x / / K<0 b>0 y \ I \r 图像经过一、二、四象限,y 随x的增大而减小 0x \ b<0 y」 \ I 图像经过二、三、四象限,y 随x的增大而减小。 0、%、 1 \ 注: 当b=0时,一次函数变为正比例函数,正比例函数是一次函数的特例。 4、正比例函数的性质 一般地,正比例函数ykx有下列性质: (1)当k>0时,图像经过第一、三象限,y随x的增大而增大; (2)当k<0时,图像经过第二、四象限,y随x的增大而减小。 5、一次函数的性质 一般地,一次函数ykxb有下列性质: (1)当k>0时,y随x的增大而增大 (2)当k<0时,y随x的增大而减小 6、正比例函数和一次函数解析式的确定 确定一个正比例函数,就是要确定正比例函数定义式ykx(k0)中的常数k。 确 定一个一次函数,需要确定一次函数定义式ykxb(k0)中的常数k和b。 解这类问 题的一般方法是待定系数法。 待定系数法: 先设出函数解析式,再根据条件确定解析式中未知的系数,从而具体写出这个式子的方法。 (1)一次函数与一元一次方程: 从数”的角度看x为何值时函数y=ax+b的值为0。 (2)求ax+b=0(a,b是常数,a丰0的解,从形"的角度看,求直线y=ax+b与x轴交点的横坐标。 (3)一次函数与一元一次不等式: 解不等式ax+b>0(a,b是常数,a丰0)。 从数"的角度看,x为何值时函数y=ax+b的值大于0。 ⑷解不等式ax+b>0(a,b是常数,a丰0)从形"的角度看,求直线y=ax+b在x轴上方的部分(射线)所对应的的横坐标的取值范围。 7、一次函数与一元一次方程的关系: 任何一个一元一次方程都可转化为: kx+b=0(k、b为常数,k工0)的形式.而一 次函数解析式形式正是y=kx+b(k、b为常数,k丰0).当函数值为0时,? 即kx+b=0就与一元一次方程完全相同. 结论: 由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=0(k、b为常数,k工0)的形式.所以 解一元一次方程可以转化为: 当一次函数值为0时,求相应的自变量的值. 从图象上看,这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值. 7、反比例函数 定义: 一般地,形如y—(k为常数,ko)的函数称为反比例函数。 y— xx 还可以写成ykx1 反比例函数解析式的特征: ⑴等号左边是函数y,等号右边是一个分式。 分子是不为零的常数k(也叫做 比例系数k),分母中含有自变量x,且指数为1. ⑵比例系数k0 ⑶自变量x的取值为一切非零实数。 ⑷函数y的取值是一切非零实数。 反比例函数的图像 ⑴图像的画法: 描点法 1列表(应以0为中心,沿0的两边分别取三对或以上互为相反的数) 2描点(有小到大的顺序) 3连线(从左到右光滑的曲线) ⑵反比例函数的图像是双曲线,yk(k为常数,k0)中自变量X0,函 X 数值y0,所以双曲线是不经过原点,断开的两个分支,延伸部分逐渐靠近坐标轴,但是永远不与坐标轴相交。 ⑶反比例函数的图像是是轴对称图形(对称轴是yx或yx)。 kk ⑷反比例函数yk(k0)中比例系数k的几何意义是: 过双曲线y- XX (k0)上任意引X轴y轴的垂线,所得矩形面积为k0 反比例函数性质如下表: k的取值 图像所在象限 函数的增减性 ko 一、三象限 在每个象限内,y值随x的增大而减小 ko 二、四象限 在每个象限内,y值随x的增大而增大 反比例函数解析式的确定: 利用待定系数法(只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出k) “反比例关系”与“反比例函数”: 成反比例的关系式不一定是反比例函数 k 但是反比例函数y-中的两个变量必成反比例关系。 X 第四章几何证明 一、几何证明中常用的证明方法: 1、证明两直线平行一一利用平行线的性质和判定,利用平行线的判断定理及其推论来证明,这是证明两直线平行最基本的方法,关键是找出同位角、内错角的相等关系或同旁内角的互补关系。 2、证明两线段相等一一利用三角形全等的性质和判定、利用等腰三角形的性质和判定 (1)如果两线段分别在两个三角形中,那么可证这两个三角形全等,有时可能缺少直接条件,要证明两次全等; (2)有时两线段分别在两个三角形中,但这两个三角形不全等,那么可添辅助线构造全等三 角形来证。 常添的辅助线有: 平行线、垂线、中线、连结线段等。 (3)如果两线段是一个三角形的两边,可证它们所对的角相等、等角对等边; (4)证明两条线段都等于第三条线段,即以第三条线段为媒介。 3、证明两角相等一一利用三角形全等的性质和判定、利用等腰三角形的性质和判定。 4、证明两直线互相垂直一一利用垂直的定义、利用等腰三角形三线合一的性质。 *5、证一线段等于另一线段的2倍或一半一一利用加倍法或拆分法常常要作辅助线。 添辅助线: 由于证明的需要,可以在原来的图上添画一些线,即添加辅助线来完成一些 几何证明,辅助线通常画成虚线。 三角形证明题中常见在辅助线做法: 利用三角形的主要 线段构造全等三角形。 二、全等三角形 1、定义: 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形。 2、全等三角形有哪些性质 (1): 全等三角形的对应边相等、对应角相等。 (2): 全等三角形的周长相等、面积相等。 (3): 全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。 3、全等三角形的判定 边边边: 三边对应相等的两个三角形全等(可简写成“SSS) 边角边: 两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等(可简写成“SAS) 角边角: 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可简写成“ASA) 角角边: 两角法指引角的对边对应相等的两个三角形全等(可简写成“AAS) 斜边•直角边: 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可简写成“HL”) 4、证明两个三证形全等个三角形全等的基本思路: 找第三边(SSS) 找夹角(SAS) 找是否有直角(HL) 找这边的另一个邻角(ASA) 找这个角的另一个边(SAS)找这边的对角(AAS) 找一角(AAS) 已知角是直角,找一边(HL) 找两角的夹边 (ASA) L找夹边外的任意边(AAS) 练习 三、勾股定理 1、勾股定理的定义 直角三角形两直角边a,b的平方和等于斜边c的平方,即a2b2c2 2、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a,b,c有关系a2b2c2,那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股数: 满足a2b2c2的三个正整数,称为勾股数。 (3): 已知两角--千 几何主要定义: (1)角 角平分线的性质: 角平分线上的点到角的两边距离相等,角的内部到两边距离相等的点在角平分线上。 (2)相交线与平行线 同角或等角的补角相等,同角或等角的余角相等;对顶角的性质: 对顶角相等 垂线的性质: 1过一点有且只有一条直线与已知直线垂直; 2直线外一点有与直线上各点连结的所有线段中,垂线段最短; 线段垂直平分线定义: 过线段的中点并且垂直于线段的直线叫做线段的垂直平分线; 线段垂直平分线的性质: 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等, 到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线; 平行线的定义: 在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线; 平行线的判定: 1同位角相等,两直线平行; 2内错角相等,两直线平行; 3同旁内角互补,两直线平行; 平行线的特征: 1两直线平行,同位角相等; 2两直线平行,内错角相等; 3两直线平行,同旁内角互补; 平行公理: 经过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线。 (3)三角形三角形的三边关系定理及推论: 三角形的两边之和大于第三边,两边之差小于第三边; 三角形的内角和定理: 三角形的三个内角的和等于; 三角形的外角和定理: 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个的和;三角形的外角和定理推理: 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内 角;角形的三条角平分线交于一点(内心);三角形的三边的垂直平分线交于一点(外心); 三角形中位线定理: 三角形两边中点的连线平行于第三边,并且等于第三边的一半; 全等三角形的判定: 1边角边公理(SAS 2角边角公理(ASA 3角角边定理(AAS 4边边边公理(SSS 5斜边、直角边公理(HL) 等腰三角形的性质: 1等腰三角形的两个底角相等; 2等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(三线合一等腰三角形的判定: 有两个角相等的三角形是等腰三角形; 直角三角形的性质: 1直角三角形的两个锐角互为余角; 2直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半; 3直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方(勾股定理); 4直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半;直角三角形的判定: 1有两个角互余的三角形是直角三角形; 2如果三角形的三边长a、b、c有下面关系,那么这个三角形是直角三角形(勾股定理的逆定理。 公式: 1、长方形的周长=(长+宽)X2 C=(a+b)X2 2、正方形的周长=边长X4 C=4a 3、长方形的面积=长乂宽 S=ab 4、正方形的面积=边长X边长 S=a.a=a 5、三角形的面积=底乂高*2 S=ah*2 6平行四边形的面积=底乂高 S=ah 7、梯形的面积=(上底+下底)X高*2 S=(a+b)Xh*2 8、圆的周长=圆周率x直径=圆周率x半径X2 c=nd=2nr 9、圆的面积=圆周率X半径X半径 S=nr2 10、菱形面积=对角线乘积的一半 S=(aXb)*2 11、弧长计算公式: L=n兀R/180 12、扇形面积公式: S扇形=n兀R/360=LF/2
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