江苏省无锡经开区学年七年级下学期期中数学试题.docx
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江苏省无锡经开区学年七年级下学期期中数学试题
江苏省无锡经开区2020-2021学年七年级下学期期中数学试题
学校:
___________姓名:
___________班级:
___________考号:
___________
一、单选题
1.下列运算正确的是()
A.a+2a=3a2B.a3·a2=a5C.(a4)2=a6D.a3+a4=a7
2.“碧玉妆成一树高,万条垂下绿丝绦”.每到春天,人们流连于柳绿桃红之间的同时也被漫天飞舞的柳絮所烦扰.据测定,柳絮纤维的直径约为0.0000105m,该数值用科学记数法表示为()
A.1.05×105B.1.05×10-5C.-1.05×105D.105×10-7
3.下列整式乘法中,能运用平方差公式进行运算的是()
A.(2a+b)(2b-a)B.(-x-b)(x+b)C.(a-b)(b-a)D.(m+b)(-b+m)
4.如图,是我们学过的用直尺和三角尺画平行线的方法示意图,画图的原理是()
A.同位角相等,两直线平行B.内错角相等,两直线平行
C.两直线平行,同位角相等D.两直线平行,内错角相等
5.一个多边形的内角和是900°,这个多边形的边数是()
A.10B.9C.8D.7
6.如图,将△ABC沿BC方向平移3cm得到△DEF,若△ABC的周长为20cm,则四边形ABFD的周长为( )
A.20cmB.22cm
C.24cmD.26cm
7.如图,将一个含有45°角的直角三角尺放在两条平行线m、n上,已知∠α=120°,则∠β的度数是()
A.45°B.60°C.65°D.75°
8.有5根小木棒,长度分别为2cm、3cm、4cm、5cm、6cm,任意取其中的3根小木棒首尾相接搭三角形,可搭出不同的三角形的个数为()
A.5个B.6个C.7个D.8个
9.比较255、344、433的大小()
A.255<344<433B.433<344<255C.255<433<344D.344<433<255
10.在数学中,为了书写简便,18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“
”.如记
=1+2+3+…+(n﹣1)+n,
=(x+3)+(x+4)+…+(x+n);已知
,则m的值是()
A.﹣62B.﹣38C.﹣40D.﹣20
二、填空题
11.若am=5,an=3,则am+n=_____________.
12.已知x2+x=2020,则代数式(x+2)(x-1)的值为_____________.
13.如图,已知AB∥CD,∠1=130°,则∠2=___________.
14.把一副常用的三角尺按如图所示的方式拼在一起,则
=_________°.
15.若
,则
_________.
16.若多项式a2-(k-2)a+4是完全平方式,则k的值为_____________.
17.如图,若干全等正五边形排成环状.图中所示的是前3个五边形,要完成这一圆环还需_____个五边形.
18.如图,四边形ABCD中,E、F、G、H依次是各边中点,O是形内一点,若四边形AEOH、四边形BFOE、四边形CGOF的面积分别为4、5、7,四边形DHOG面积为_____________.
三、解答题
19.计算或化简:
(1)(-1)2021-2-1+(π-3.14)0;
(2)(x+2)2-x(x-3);
(3)a8÷a2-(-3a2)3;(4)(a-b)(a+b)-(a-2b)2.
20.先化简,再求值:
4(x﹣1)2﹣(2x+3)(2x﹣3),其中x=﹣1.
21.画图并填空:
如图,方格纸中每个小正方形的边长都为1.在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A′B′C′,图中标出了点D的对应点D′.
(1)根据特征画出平移后的△A′B′C′;
(2)利用网格的特征,画出AC边上的高BE;
(3)若连接AA′,CC′,则这两条线段之间的关系是.
22.如图,BE是△ABC的角平分线,DE∥BC,交AB于点D,∠A=126°,∠DEB=14°,求∠BEC的度数.
23.
(1)计算:
(x-1)(x2+x+1)=__________;
(2x-3)(4x2+6x+9)=_________;
(3x-4y)(9x2+12xy+16y2)=_________;
归纳:
(a-b)(_________)=__________;
(2)应用:
27m3-125n3=(_________)(_________)
24.如图,
分别是四边形
(四条边不相等)的内角平分线,
交于点
交于点
.
(1)猜想
与
有怎样的数量关系,并说明理由.
(2)
与
有没有可能相等?
若能相等,四边形
的边有何特殊要求?
若不能相等,请说明理由.
25.
(1)教材在探索平方差公式时利用了面积法,面积法可以帮助我们直观地推导或验证公式,俗称“无字证明”,例如,著名的赵爽弦图(如图①,其中四个直角三角形较大的直角边长都为a,较小的直角边长都为b,斜边长都为c),大正方形的面积可以表示为c2,也可以表示为4×
ab+(a-b)2,所以4×
ab+(a-b)2=c2,即a2+b2=c2.由此推导出重要的勾股定理:
如果直角三角形两条直角边长为a,b,斜边长为c,则a2+b2=c2.图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”,请你利用图②推导勾股定理.
(2)试用勾股定理解决以下问题:
如果直角三角形ABC的两直角边长为3和4,则斜边上的高为.
(3)试构造一个图形,使它的面积能够解释(a-2b)2=a2-4ab+4b2,画在上面的网格中,并标出字母a,b所表示的线段.
26.
(1)光线从空气中射入水中会产生折射现象,同时光线从水中射入空气中也会产生折射现象,如图1,光线a从空气中射入水中,再从水中射入空气中,形成光线b,根据光学知识有∠1=∠2,∠3=∠4,请判断光线a与光线b是否平行,并说明理由.
(2)光线照射到镜面会产生反射现象,由光学知识,入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等,如图2有一口井,已知入射光线a与水平线OC的夹角为36°,问如何放置平面镜MN,可使反射光线b正好垂直照射到井底?
(即求MN与水平线的夹角)
(3)如图3,直线EF上有两点A、C,分别引两条射线AB、CD.∠BAF=110°,∠DCF=50°,射线AB、CD分别绕A点,C点以1度/秒和3度/秒的速度同时顺时针转动,设时间为t,在射线CD转动一周的时间内,当t=______________,使得CD与AB平行.
参考答案
1.B
【分析】
根据合并同类项法则、同底数幂的乘法、幂的乘方分别计算各项后判断即可.
【详解】
解:
选项A,根据合并同类项法则可得a+2a=3a,选项A错误;
选项B,根据同底数幂的乘法可得a3·a2=a5,选项B正确;
选项C,根据幂的乘方可得(a4)2=a8,选项C错误;
选项D,不是同类项,不能够合并,选项D错误.
故选B.
【点睛】
本题考查了幂的运算和合并同类项,熟记运算法则是解题的关键.
2.B
【分析】
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示,一般形式为a×10−n,与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂,指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.
【详解】
0.0000105=1.05×10-5.
故选:
B.
【点睛】
本题考查用科学记数法表示较小的数,一般形式为a×10−n,其中1≤|a|<10,n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.
3.D
【解析】
【分析】
利用平方差公式特征判断即可.
【详解】
解:
能用平方差公式运算的是(m+b)(-b+m),
故选:
D.
【点睛】
本题考查平方差公式,熟练掌握平方差公式的结构特征是解本题的关键.
4.A
【分析】
由已知可知∠DPF=∠BAF,从而得出同位角相等,两直线平行.
【详解】
∵∠DPF=∠BAF,
∴AB∥PD(同位角相等,两直线平行).
故选A.
【点睛】
此题主要考查了基本作图与平行线的判定,正确理解题目的含义是解决本题的关键.
5.D
【详解】
解:
根据多边形的内角和公式可得:
(n-2)×180°=900°,
解得:
n=7.
故选D
6.D
【解析】
平移不改变图形的形状和大小,对应线段平行且相等,平移的距离等于对应点的连线段的长,则有AD=BE=3,DF=AC,DE=AB,EF=BC,所以:
四边形ABFD的周长为:
AB+BF+FD+DA
=AB+BE+EF+DF+AD
=AB+BC+CA+2AD
=20+2×3
=26.
故选D.
点睛:
本题考查了平移的性质,理解平移不改变图形的形状和大小,只改变图形的位置,对应线段平行(或在同一条直线上)且相等,平移的距离即是对应点的连线段的长度是解题的关键,将四边形的周长作相应的转化即可求解.
7.D
【分析】
根据两直线平行,同位角相等可得∠1=∠α,再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠2,然后根据对顶角相等解答.
【详解】
如图,∵m∥n,
∴∠1=∠α=120°,
∵∠1=∠2+45°,
∴∠2=∠1−45°=120°−45°=75°,
∴∠β=∠2=75°.
故选:
D.
【点睛】
本题考查了平行线的性质,三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质,对顶角相等的性质,熟记性质并准确识图是解题的关键.
8.C
【分析】
根据三角形形成的条件:
任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边进行判断.
【详解】
可搭出不同的三角形为:
2cm、3cm、4cm;2cm、4cm、5cm;2cm、5cm、6cm;3cm、4cm、5cm;3cm、4cm、6cm;3cm、5cm、6cm;4cm、5cm、6cm共7个.
故选C.
【点评】
考查三角形的边时,要注意三角形形成的条件:
任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边;当题目指代不明时,一定要分情况讨论,把符合条件的保留下来,不符合的舍去.
9.C
【分析】
根据幂的乘方的知识,可得255=(25)11=3211,344=(34)11=8111,433=(43)11=6411,再比较底数的大小,即可得结论.
【详解】
解:
∵255=(25)11=3211,344=(34)11=8111,433=(43)11=6411,
又∵32<64<81,
∴255<433<344.
故选C.
【点睛】
本题考查了幂的乘方,解题的关键是根据幂的乘方的公式,转化为底数相同的幂.
10.B
【分析】
利用题中的新定义计算即可得到m的值.
【详解】
根据题意得
,
∵
∴n=5,即
=x2+x−6+x2+x−12+x2+x−20=
=
则m=−38.
故选:
B.
【点睛】
此题考查了整式的乘法,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
11.15
【分析】
根据幂的运算公式即可求解.
【详解】
∵am=5,an=3,
∴am+n=am×an=5×3=15
故答案为:
15.
【点睛】
此题主要考查幂的运算,解题的关键是熟知同底数幂的逆运算.
12.2018
【分析】
先算乘法,再合并同类项,最后变形后代入求出即可.
【详解】
(x+2)(x-1)=x2-x+2x-2=x2+x-2
∵x2+x=2020,
∴原式=2020-2=2018
故答案为:
2018.
【点睛】
本题考查了整式的混合运算和求值的应用,能正确运用法则进行化简是解此题的关键,用了整体代入思想.
13.50°
【详解】
解:
如图:
∵∠1=130°,
∴∠3=180°﹣∠1=180°﹣130°=50°,
∵AB∥CD,
∴∠2=∠3=50°
故答案为:
50°.
【点睛】
本题考查平行线的性质.
14.75
【解析】
∵∠ABC+∠C+∠BAD=180º,
∴∠ABC=180º-60º-45º=75º.
故答案为:
75.
15.-6
【解析】
【分析】
根据平方差公式可以求得题目中所求式子的值.
【详解】
∵2a+b=-3,2a-b=2,
∴4a2-b2=(2a+b)(2a-b)=(-3)×2=-6,
故答案为:
-6.
【点睛】
考查平方差公式,解答本题的关键是明确题意,利用平方差公式解答.
16.6或−2
【分析】
利用完全平方公式的结构特征求出k的值即可.
【详解】
∵多项式a2-(k-2)a+4是完全平方式,
∴k−2=±4,
解得:
k=6或k=−2.
故答案为:
6或−2.
【点睛】
此题考查了完全平方式,熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.
17.7
【分析】
延长正五边形的相邻两边交于圆心,求得该圆心角的度数后,用360°除以该圆心角的度数即可得到正五边形的个数,减去3后即可得到本题答案.
【详解】
延长正五边形的相邻两边,交于圆心,
∵正五边形的外角等于360°÷5=72°,
∴延长正五边形的相邻两边围成的角的度数为:
180°-72°-72°=36°,
∴360°÷36°=10,
∴排成圆环需要10个正五边形,
故排成圆环还需7个五边形.
故答案为7.
【点睛】
本题考查了正五边形与圆的有关运算,属于层次较低的题目,解题的关键是正确地构造圆心角.
18.6
【分析】
连接OC,OB,OA,OD,易证S△OBF=S△OCF,S△ODG=S△OCG,S△ODH=S△OAH,S△OAE=S△OBE,所以S四边形AEOH+S四边形CGOF=S四边形DHOG+S四边形BFOE,所以可以求出S四边形DHOG.
【详解】
连接OC,OB,OA,OD,
∵E、F、G、H依次是各边中点,
∴△AOE和△BOE等底等高,
∴S△OAE=S△OBE,
同理可证,S△OBF=S△OCF,S△ODG=S△OCG,S△ODH=S△OAH,
∴S四边形AEOH+S四边形CGOF=S四边形DHOG+S四边形BFOE,
∵S四边形AEOH=4,S四边形BFOE=5,S四边形CGOF=7,
∴4+7=5+S四边形DHOG,
解得,S四边形DHOG=6.
故答案为:
6.
【点睛】
本题考查了三角形的面积.解决本题的关键将各个四边形划分,充分利用给出的中点这个条件,证得三角形的面积相等,进而证得结论.
19.
(1)
;
(2)7x+4;(3)28a6;(4)4ab-5b2
【分析】
(1)根据实数的性质化简即可求解;
(2)根据整式的乘法公式即可求解;
(3)根据幂的运算公式即可求解;
(4)根据整式的乘法公式即可求解.
【详解】
(1)(-1)2021-2-1+(π-3.14)0
=-1-
+1
=
(2)(x+2)2-x(x-3)
=x2+4x+4-x2+3x
=7x+4
(3)a8÷a2-(-3a2)3
=a6+27a6
=28a6
(4)(a-b)(a+b)-(a-2b)2
=a2-b2-(a2-4ab+4b2)
=a2-b2-a2+4ab-4b2
=4ab-5b2.
【点睛】
此题主要考查实数与整式的运算,解题的关键是熟知其运算法则.
20.化简结果:
-8x+13,值为21.
【解析】
分析:
根据整式的混合运算法则将所给的整式化简后,再代入求值即可.
详解:
原式=4(x2-2x+1)-(4x2-9)=4x2-8x+4-4x2+9=-8x+13
当x=-1时,原式=21
点睛:
本题是整式的化简求值,考查了整式的混合运算,解题时注意运算顺序以及符号的处理.
21.
(1)见解析;
(2)见解析;(3)平行且相等
【分析】
(1)根据图形平移的性质画出△A′B′C′即可;
(2)根据网格中矩形的特征,连接BH,交AC于E点,即为所求;
(3)利用平移变换的性质得出答案.
【详解】
(1)如图所示,△A′B′C′即为所求;
(2)如图所示,AC,BH交于E点,由网格的特点可知△BD’H≌△AFC,
∴∠HBD’=∠CAF,又∠AGD’=∠BGE,
∵BD⊥AF
∴∠AGD’+∠GAF=90°
∴∠BGE+∠HBD’=90°
∴BE⊥AC,故BE即为所求;
(3)如图,连接AA′,CC′,
根据平移变换的性质可得AA′,CC′平行且相等
故答案为:
平行且相等.
【点睛】
本题考查的是作图−平移变换,熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键.作图时要先找到图形的关键点,分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后,再顺次连接对应点即可得到平移后的图形.
22.140°
【分析】
根据平行线性质得出∠CBE=14°,求出∠ABE=14°,根据三角形外角性质得出∠BEC=∠A+∠ABE,代入求出即可.
【详解】
∵BE是∠CBA的平分线,
∴∠CBE=∠EBD,
∵DE∥BC,
∴∠DEB=∠CBE,
∴∠DEB=∠EBD=14°
∴∠BEC=∠A+∠CBA=140°.
【点睛】
本题考查了三角形外角性质,角平分线定义,平行线的性质的应用,注意:
两直线平行,内错角相等,题目比较好,难度适中.
23.
(1)x3-1,8x3-27,27x3-64y3,a2+ab+b2,a3-b3;
(2)3m-5n,9m2+15mn+25n2
【分析】
(1)根据整式的乘方运算法则即可求解,再归纳出运算规律;
(2)根据规律即可求解.
【详解】
(1)(x-1)(x2+x+1)=x3+x2+x-x2-x-1=x3-1;
(2x-3)(4x2+6x+9)=8x3+12x2+18x-12x2-18x-27=8x3-27;
(3x-4y)(9x2+12xy+16y2)=27x3+36x2y+48xy2-36x2y-36x2y-64y3=27x3-64y3;
归纳:
(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3;
故答案为:
x3-1;8x3-27;27x3-64y3;a2+ab+b2;a3-b3;
(2)应用:
27m3-125n3=(3m)3-(5n)3
∴27m3-125n3=(3m-5n)(9m2+15mn+25n2)
故答案为:
3m-5n;9m2+15mn+25n2.
【点睛】
此题主要考查多项式乘多项式的运算,解题的关键是根据已知的等式发现规律.
24.
(1)
,理由见解析;
(2)
与
能相等,当
时,
.
【分析】
(1)根据角平分线的性质得到
,
,即可求出
,
,再根据四边形的内角和求出答案;
(2)当
时,
,推出
,即可得到
.
【详解】
解:
(1)
,
理由:
∵
平分
,
平分
,
∴
,
,
∴
,
同理,
,
∴
.
(2)
与
能相等,当
时,
,
理由:
当
时,
,
由
(1)得
,
,
∵
,
∴
,
即
.
【点睛】
此题考查角平分线的性质,四边形的内角和定理,两直线平行同旁内角互补的性质,正确观察图形,理解数形结合的思想是解题的关键.
25.
(1)见解析;
(2)
;(3)见解析
【分析】
(1)梯形的面积可以由梯形的面积公式求出,也利用三个直角三角形面积求出,两次求出的面积相等列出关系式,化简即可得证;
(2)由两直角边,利用勾股定理求出斜边长,再利用面积法即可求出斜边上的高;
(3)已知图形面积的表达式,即可根据表达式得出图形的边长的表达式,即可画出图形.
【详解】
(1)S梯形ABCD=
,S梯形ABCD=
∴
a2+ab+
b2=2×
ab+
c2
即a2+b2=c2;
(2)∵直角三角形的两直角边分别为3,4,
∴斜边为
=5,
∵设斜边上的高为h,直角三角形的面积为
×3×4=
×5×h,
∴h=
故答案为
;
(3)∵图形面积为:
(a−2b)2=a2−4ab+4b2,
∴边长为a−2b,
由此可画出的图形如下:
【点睛】
此题考查了勾股定理的证明,勾股定理,多项式的乘法的运用以及由多项式画图形的创新题型,此类证明要转化成同一个东西的两种表示方法,从而转化成方程达到证明的结果.
26.
(1)平行,理由见解析;
(2)63°;(3)10或100
【分析】
(1)根据等角的补角相等求出∠3与∠4的补角相等,再根据内错角相等,两直线平行即可判定a∥b;
(2)根据入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等可得∠1=∠2,然后根据平角等于180°求出∠1的度数,再加上36°即可得解;
(3)分①AB与CD在EF的两侧,分别表示出∠ACD与∠BAC,然后根据两直线平行,内错角相等列式计算即可得解;
②CD旋转到与AB都在EF的右侧,分别表示出∠DCF与∠BAC,然后根据两直线平行,同位角相等列式计算即可得解;
③CD旋转到与AB都在EF的左侧,分别表示出∠DCF与∠BAC,然后根据两直线平行,同位角相等列式计算即可得解.
【详解】
(1)平行.理由如下:
如图,∵∠3=∠4,
∴∠5=∠6,
∵∠1=∠2,
∴∠1+∠5=∠2+∠6,
∴a∥b;
(2)∵入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等,
∴∠1=∠2,
∵入射光线a与水平线OC的夹角为36°,b垂直照射到井底,
∴∠1+∠2=180°-36°-90°=54°,
∴
×54°=27°,
∴MN与水平线的夹角为:
27°+36°=63°;
(3)存在.
如图①,AB与CD在EF的两侧时,∵∠BAF=110°,∠DCF=50°,
∴∠ACD=180°−50°−3t=130°−3t,∠BAC=110°−t,
要使AB∥CD,
则∠ACD=∠BAF,
即130°−3t=110°−t,
解得t=10;
此时(180°−50°)÷3=43
,
∴0<t<4
,符合题意;
②CD旋转到与AB都在EF的右侧时,∵∠BAF=110°,∠DCF=50°,
∴∠DCF=360°−3t−50°=310°−3t,
∠BAC=110°−t,
要使AB∥CD,
则∠DCF=∠BAC,
即310°−3t=110°−t,
解得t=100,
此时(360°−50°)÷3=103
,
∴43
<t<103
,符合题意;
③CD旋转到与AB都在EF的左侧时,∵∠BAF=110°,∠DCF=50°,
∴∠DCF=3t−(180°−50°+180°)=3t−310°,
∠BAC=t−110°,
要使AB∥CD,
则∠DCF=∠BAC,
即3t−310°=t−110°,
解得t=100,
此时t>110,
∵100<110,
∴此情况不存在.
综上所述,t为10秒或100秒时,CD与AB平行.
故答案为:
10或100.
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质,光学原理,读懂题意并熟练掌握平行线的判定方法与性质是解题的关键,(3)要注意分情况讨论.
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