第23章 一元二次方程1.docx
- 文档编号:9538789
- 上传时间:2023-05-19
- 格式:DOCX
- 页数:21
- 大小:75.16KB
第23章 一元二次方程1.docx
《第23章 一元二次方程1.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《第23章 一元二次方程1.docx(21页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
第23章一元二次方程1
第23章一元二次方程
23.1一元二次方程(1课时)
学习目标:
1、会根据具体问题列出一元二次方程,体会方程的模型思想,提高归纳、分析的能力。
2、理解一元二次方程的概念;知道一元二次方程的一般形式;会把一个一元二次方程化为一般形式;会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。
重点:
由实际问题列出一元二次方程和一元二次方程的概念。
难点:
由实际问题列出一元二次方程。
准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数还有常数项。
导学流程:
自学课本导图,走进一元二次方程
分析:
现设长方形绿地的宽为x米,则长为米,可列方程
x()=,去括号得①.
你知道这是一个什么方程吗?
你能求出它的解吗?
想一想你以前学过什么方程,它的特点是什么?
探究新知
【例1】小明把一张边长为10cm的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形,再折合成一个无盖的长方体盒子,如果要求长方体的底面积为81cm
那么剪去的正方形的边长是多少?
设剪去的正方形的边长为xcm,你能列出满足条件的方程吗?
你是如何建立方程模型的?
合作交流
动手实验一下,并与同桌交流你的做法和想法。
列出的方程是②.
自主学习
【做一做】根据题意列出方程:
1、一个正方形的面积的2倍等于50,这个正方形的边长是多少?
2、一个数比另一个数大3,且这两个数之积为这个数,求这个数。
3、一块面积是150cm
长方形铁片,它的长比宽多5cm,则铁片的长是多少?
观察上述三个方程以及①②两个方程的结构特征,类比一元一次方程的定义,自己试着归纳出一元二次方程的定义。
展示反馈
【挑战自我】判断下列方程是否为一元二次方程。
【我学会了】
1、只含有个未知数,并且未知数的最高次数是,这样的方程,叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式:
其中二次项,是一次项,是常数项,二次项系数,一次项系数。
【例2】将下列一元二次方程化为一般形式,并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数。
(1)
(2)
【巩固练习】教材第19页练习
归纳小结
1、本节课我们学习了哪些知识?
2、学习过程中用了哪些数学方法?
3、确定一元二次方程的项及系数时要注意什么?
达标测评
(A)1、判断下列方程是否是一元二次方程;
(1)
()
(2)
()
(3)
()(4)
()
2、将下列方程化为一元二次方程的一般形式,并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项:
(1)3x2-x=2;
(2)7x-3=2x2;
(3)(2x-1)-3x(x-2)=0(4)2x(x-1)=3(x+5)-4.
3、判断下列方程后面所给出的数,那些是方程的解;
(1)
±1±2;
(2)
±2,±4
(B)1、把方程
(
化成一元二次方程的一般形式,再写出它的二次项系数、一次项系数及常数项。
2、要使
是一元二次方程,则k=_______.
3、已知关于x的一元二次方程
有一个解是0,求m的值。
拓展提高
1、已知关于x的方程
。
问
(1)当k为何值时,方程为一元二次方程?
(2)当k为何值时,方程为一元一次方程?
2、思考题:
你能给出一元三次方程的概念及一般形式吗?
23.2一元二次方程的解法(5课时)
第1课时
学习目标:
1、初步掌握用直接开平方法解一元二次方程,会用直接开平方法解形如
=a(a≥0)或(mx+n)
=a(a≥0)的方程;会用因式分解法(提公因式法、公式法)解某些一元二次方程;
2、理解一元二次方程解法的基本思想及其与一元一次方程的联系,体会两者之间相互比较和转化的思想方法;
3、能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性。
重点:
掌握用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程的步骤。
难点:
理解并应用直接开平方法和因式分解法解特殊的一元二次方程。
导学流程:
自主探索
试一试解下列方程,并说明你所用的方法,与同伴交流.
(1)x2=4;
(2)x2-1=0;
解:
x=____解:
左边用平方差公式分解因式,得
x=__________________=0,
必有x-1=0,或______=0,
得x1=___,x2=_____.
精讲点拨
(1)这种方法叫做直接开平方法.
(2)这种方法叫做因式分解法.
合作交流
方程x2=4能否用因式分解法来解?
要用因式分解法解,首先应将它化成什么形式?
方程x2-1=0能否用直接开平方法来解?
要用直接开平方法解,首先应将它化成什么形式?
课堂练习反馈调控
1.试用两种方法解方程x2-900=0.
(1)直接开平方法
(2)因式分解法
2.解下列方程:
(1)x2-2=0;
(2)16x2-25=0.
解
(1)移项,得x2=2.
(2)移项,得_________.
直接开平方,得
.方程两边都除以16,得______
所以原方程的解是直接开平方,得x=___.
,
.所以原方程的解是x1=___,x2=___.
3.解下列方程:
(1)3x2+2x=0;
(2)x2=3x.
解
(1)方程左边分解因式,得_______________
所以 __________,或____________
原方程的解是 x1=______,x2=______
(2)原方程即_____________=0.
方程左边分解因式,得____________=0.
所以 __________,或________________
原方程的解是 x1=_____,x2=_________
总结归纳
以上解方程的方法是如何使二次方程转化为一次方程的?
用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程的步骤分别是什么?
巩固提高
解下列方程:
(1)(x+1)2-4=0;
(2)12(2-x)2-9=0.
分 析 两个方程都可以转化为()2=a的形式,从而用直接开平方法求解.
解:
(1)原方程可以变形为(_____)2=____,
(2)原方程可以变形为________________________,
有 ________________________.
所以原方程的解是 x1=________,x2=_________.
课堂小结
你今天学会了解怎样的一元二次方程?
步骤是什么?
它们之间有何联系与区别?
(学生思考整理)
达标测评
(A)1、解下列方程:
(1)x2=169;
(2)45-x2=0; (3)12y2-25=0;
(4)x2-2x=0;(5)(t-2)(t+1)=0;(6)x(x+1)-5x=0.
(7)x(3x+2)-6(3x+2)=0.
(B)2、小明在解方程x2=3x时,将方程两边同时除以x,得x=3,这样做法对吗?
为什么会少一个解?
拓展提高
1、解下列方程:
(1)
+2x-3=0
(2)
-50x+225=0
2、构造一个以2为根的关于x的一元二次方程。
第2课时
学习目标:
1、掌握用配方法解数字系数的一元二次方程;
2、理解解方程中的程序化,体会化归思想。
重点:
用配方法解数字系数的一元二次方程;
难点:
配方的过程。
导学流程
自主学习
自学教科书例4,完成填空。
精讲点拨
上面,我们把方程x2-4x+3=0变形为(x-2)2=1,它的左边是一个含有未知数的________式,右边是一个_______常数.这样,就能应用直接开平方的方法求解.这种解一元二次方程的方法叫做配方法.
练一练:
配方.填空:
(1)x2+6x+()=(x+)2;
(2)x2-8x+()=(x-)2;
(3)x2+
x+()=(x+)2;
从这些练习中你发现了什么特点?
(1)________________________________________________
(2)________________________________________________
合作交流
用配方法解下列方程:
(1)x2-6x-7=0;
(2)x2+3x+1=0.
解
(1)移项,得x2-6x=____.
方程左边配方,得x2-2·x·3+__2=7+___,
即(______)2=____.
所以x-3=____.
原方程的解是 x1=_____,x2=_____.
(2)移项,得x2+3x=-1.
方程左边配方,得x2+3x+()2=-1+____,
即_____________________
所以___________________
原方程的解是:
x1=______________x2=___________
总结规律
用配方法解二次项系数是1的一元二次方程?
有哪些步骤?
深入探究
用配方法解下列方程:
(1)
(2)
这两道题与例5中的两道题有何区别?
请与同伴讨论如何解决这个问题?
请两名同学到黑板展示自己的做法。
课堂小结
你今天学会了用怎样的方法解一元二次方程?
有哪些步骤?
(学生思考后回答整理)
达标测评
(A)用配方法解方程:
(1)x2+8x-2=0
(2)x2-5x-6=0.
(3)2x2-x=6(4)(4)x2+px+q=0(p2-4q≥0).
(5)4x2-6x+()=4(x-)2=(2x-)2.
拓展提高
已知代数式x2-5x+7,先用配方法说明,不论x取何值,这个代数式的值总是正数;再求出当x取何值时,这个代数式的值最小,最小值是多少?
第3课时
学习目标
1、经历推导求根公式的过程,加强推理技能训练,进一步发展逻辑思维能力;
2、会用公式法解简单系数的一元二次方程;
3进一步体验类比、转化、降次的数学思想方法。
重点:
用公式法解简单系数的一元二次方程;
难点:
推导求根公式的过程。
导学流程
复习提问:
1、用配方法解一元二次方程的步骤有哪些?
2、用配方法解方程3x2-6x-8=0;
3、你能用配方法解下列方程吗?
请你和同桌讨论一下.
ax2+bx+c=0(a≠0).
推导公式
用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0).
因为a≠0,方程两边都除以a,得
_____________________=0.
移项,得x2+
x=________,
配方,得x2+
x+______=______-
即(____________)2=___________
因为a≠0,所以4a2>0,当b2-4ac≥0时,直接开平方,得
_____________________________.
所以x=_______________________
即x=_________________________
由以上研究的结果,得到了一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式:
x=
(b2-4ac≥0)
精讲点拨
利用这个公式,我们可以由一元二次方程中系数a、b、c的值,直接求得方程的解,这种解方程的方法叫做公式法.
合作交流
b2-4ac为什么一定要强调它不小于0呢?
如果它小于0会出现什么情况呢?
展示反馈
学生在合作交流后展示小组学习成果。
1当b2-4ac>0时,方程有__个________的实数根;(填相等或不相等)
2当b2-4ac=0时,方程有___个____的实数根
x1=x2=________
3当b2-4ac<0时,方程______实数根.
巩固练习
1、做一做:
(1)方程2x
-3x+1=0中,a=(),b=(),c=()
(2)方程(2x-1)
=-4中,a=(),b=(),c=().
(3)方程3x
-2x+4=0中,
=(),则该一元二次方程()实数根。
(4)不解方程,判断方程x
-4x+4=0的根的情况。
2、应用公式法解下列方程:
(1)2x2+x-6=0;
(2)x2+4x=2;
(3)5x2-4x-12=0;(4)4x2+4x+10=1-8x.
解
(1)这里a=___,b=___,c=______,
b2-4ac=____________=_________
所以x=
=_________=____________
即原方程的解是x1=_____,x2=_____
(2)将方程化为一般式,得_________________=0.
因为b2-4ac=_________
所以x=_____________=_______________
原方程的解是x1=________,x2=_____
(3)因为___________________,
所以 x=____________=__________=__________
原方程的解是x1=________,x2=__________.
(4)整理,得_______________=0.
因为b2-4ac=_________,
所以 x1=x2=________
课堂小结
1、一元二次方程的求根公式是什么?
2、用公式法解一元二次方程的步骤是什么?
达标测评
(A)1、应用公式法解方程:
(1)x2-6x+1=0;
(2)2x2-x=6;
(3)4x2-3x-1=x-2;(4)3x(x-3)=2(x-1)(x+1).
(5)(x-2)(x+5)=8; (6)(x+1)2=2(x+1).
(B)2、某农场要建一个矩形的养鸭场,养鸭场的一边靠墙,墙长25m,另三边用篱笆围成,篱笆长为40m.
(1)养鸭场的面积能达到150m
吗?
能达到200m
吗?
(2)能达到250m
吗?
拓展提高
m取什么值时,关于x的方程2x2-(m+2)x+2m-2=0有两个相等的实数根?
第4课时一元二次方程根的判别式
学习目标:
1、了解什么是一元二次方程根的判别式;
2、知道一元二次方程根的判别式的应用。
重点:
如何应用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况;
难点:
根的判别式的变式应用。
导学流程
复习引入
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)只有当系数a、b、c满足条件b2-4ac___0时才有实数根
观察上式我们不难发现一元二次方程的根有三种情况:
1当b2-4ac>0时,方程有__个________的实数根;(填相等或不相等)
②当b2-4ac=0时,方程有___个____的实数根
x1=x2=________
③当b2-4ac<0时,方程______实数根.
精讲点拨
这里的b2-4ac叫做一元二次方程的根的判别式,通常用“△”来表示,用它可以直接判断一个一元二次方程是否有实数根,如对方程x2-x+1=0,可由b2-4ac=_____0直接判断它____实数根;
合作交流
方程根的判别式应用
1、不解方程,判断方程根的情况。
(1)x2+2x-8=0;
(2)3x2=4x-1;
(3)x(3x-2)-6x2=0; (4)x2+(
+1)x=0;
(5)x(x+8)=16; (6)(x+2)(x-5)=1;
2.说明不论m取何值,关于x的方程(x-1)(x-2)=m2总有两个不相等的实数根.
解:
把化为一般形式得___________________
Δ=b2-4ac=______________
=___________________
=______________
拓展提高
应用判别式来确定方程中的待定系数。
(1)m取什么值时,关于x的方程x2-2x+m-2=0有两个相等的实数根?
求出这时方程的根.
解:
因为Δ=b2-4ac=_______________=______
因为方程有两个相等的实数根
所以Δ=b2-4ac___0,即__________
解得m=_________________
这时方程的根x=
(2)m取什么值时,关于x的方程x2-(2m+2)x+m2-2m-2=0没有实数根?
课堂小结
1、使用一元二次方程根的判别式应注意哪些事项?
2、列举一元二次方程根的判别式的用途。
达标测评
(A)1、方程x2-4x+4=0的根的情况是()
A.有两个不相等的实数根;B.有两个相等的实数根;
C.有一个实数根;D.没有实数根.
2、下列关于x的一元二次方程中,有两个不相等的实数根的方程是()
A.x2+1=0B.x2+x-1=0C.x2+2x+3=0D.4x2-4x+1=0
3、若关于x的方程x2-x+k=0没有实数根,则()
A.k<
B.k>
C.k≤
D.k≥
4、关于x的一元二次方程x2-2x+2k=0有实数根,则k得范围是()
A.k<
B.k>
C.k≤
D.k≥
5、k取什么值时,关于x的方程4x2-(k+2)x+k-1=0有两个相等的实数根?
求出这时方程的根.
6、说明不论k取何值,关于x的方程x2+(2k+1)x+k-1=0总有两个不相等的实根.
第5课时(习题课)
学习目标
能结合具体问题选择合理的方法解一元二次方程,培养探究问题的能力和解决问题的能力。
重点:
选择合理的方法解一元二次方程,使运算简便。
难点:
理解四种解法的区别与联系。
复习提问
(1)我们已经学习了几种解一元二次方程的方法?
(2)请说出每种解法各适合什么类型的一元二次方程?
精讲点拨
观察方程特点,寻找最佳解题方法。
一元二次方程解法的选择顺序一般为:
直接开平方法、因式分解法、公式法,若没有特殊说明一般不采用配方法,其中,公式法是一把解一元二次方程的万能钥匙,,适用于任何一元二次方程;因式分解法和直接开平方法是特殊方法,在解符合某些特点的一元二次方程时,非常简便。
练习一:
分别用三种方法来解以下方程
(1)x2-2x-8=0
(2)3x2-24x=0
用因式分解法:
用配方法:
用公式法:
用因式分解法:
用配方法:
用公式法:
练习二:
你认为下列方程你用什么方法来解更简便。
(1)12y2-25=0;(你用_____________法)
(2)x2-2x=0;(你用_____________法)
(3)x(x+1)-5x=0;(你用_____________法)
(4)x2-6x+1=0;(你用_____________法)
(5)3x2=4x-1;(你用_____________法)
(6)3x2=4x.(你用_____________法)
对应训练
1、解下列方程
(1)(2x-1)2-1=0;
(2)
(x+3)2=2;(3)x2+2x-8=0;
(4)3x2=4x-1;(5)x(3x-2)-6x2=0; (6)(2x-3)2=x2.
2、当x取何值时,能满足下列要求?
(1)3x2-6的值等于21;
(2)3x2-6的值与x-2的值相等.
3、用适当的方法解下列方程:
(1)3x2-4x=2x;
(2)
(x+3)2=1;(3)x2+(
+1)x=0;
(4)x(x-6)=2(x-8);(5)(x+1)(x-1)=
; (6)x(x+8)=16;
(7)(x+2)(x-5)=1; (8)(2x+1)2=2(2x+1).
4、已知y1=2x2+7x-1,y2=6x+2,当x取何值时y1=y2?
课堂小结
根据你学习的体会,小结一下解一元二次方程一般有哪几种方法?
通常你是如何选择的?
和同学交流一下.
拓展提高
1、已知(x2+y2)(x2+y2-1)-6=0,则x2+y2的值是()
(A)3或-2(B)-3或2(C)3(D)-2
2、试求出下列方程的解:
(1)(x
-x)
-5(x
-x)+6=0
(2)
3、某服装厂为学校艺术团生产一批演出服,总成本3000元,售价每套30元.服装厂向24名家庭贫困学生免费提供.经核算,这24套演出服的成本正好是原定生产这批演出服的利润.问这批演出服共生产了多少套?
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 第23章 一元二次方程1 23 一元 二次方程