随机过程课堂例题.ppt
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2、随机过程的概念与基本类型,例1已知随机相位正弦波X(t)=acos(t+),其中a0,为常数,为在(0,2)内均匀分布的随机变量。
求随机过程X(t),t(0,)的均值函数mX(t)和相关函数RX(s,t)。
随机过程课堂习题,例2,设X(t)为信号过程,Y(t)为噪声过程,令W(t)=X(t)+Y(t),,则W(t)的均值函数为,其相关函数为,例3,设复随机过程,其中X1,X2,Xn是相互独立且服从N(0,)的随机变量,1,2,n为常数,求Zt,t0的均值函数mZ(t)和相关函数RZ(s,t)。
3、泊松过程例1已知仪器在0,t内发生振动的次数X(t)是具有参数的泊松过程。
若仪器振动k(k1)次就会出现故障,求仪器在时刻t0正常工作的概率。
解,故仪器在时刻t0正常工作的概率为:
仪器发生第k振动的时刻Wk就是故障时刻T,则T的概率分布为分布:
参数为n和s/t的二项分布,例2设在0,t内事件A已经发生n次,且0st,对于0kn,求在0,s内事件A发生k次的概率。
例3设在0,t内事件A已经发生n次,求第k次(kn)事件A发生的时间Wk的条件概率密度函数。
Beta分布,例4设X1(t),t0和X2(t),t0是两个相互独立的泊松过程,它们在单位时间内平均出现的事件数分别为1和2。
记Wk
(1)为过程X1(t)的第k次事件到达时间,W1
(2)为过程X2(t)的第1次事件到达时间,求PWk
(1)W1
(2),即第一个泊松过程的第k次事件发生早于第二个泊松过程的第1次事件发生的概率。
例6,设X(t),t0是具有跳跃强度的非齐次泊松过程。
求EX(t)和DX(t)。
例7设某路公共汽车从早上5时到晚上9时有车发出。
乘客流量如下:
5时平均乘客为200人/时;5时至8时乘客线性增加,8时达到1400人/时;8时至18时保持平均到达率不变;18时至21时到达率线性下降,到21时为200人/时。
假定乘客数在不相重叠的时间间隔内是相互独立的。
求12时至14时有2000人来站乘车的概率,并求出这两小时内乘客人数的数学期望。
4马尔可夫链例设Xn,nT是一个马尔可夫链,其状态空间I=a,b,c,转移矩阵为,求:
解:
二步转移概率矩阵:
例(例4.8)设马尔可夫链的状态空间I=1,2,3,其转移概率矩阵为,求从状态1出发经n步转移首次到达各状态的概率。
解:
例(例4.9)设马氏链的状态空间I=0,1,2,,其转移概率为,分析各状态的类型。
解:
先考查状态0,,可见状态0为正常返,且是非周期,因而是遍历的。
因为i0,故i也是遍历的。
例(例4.11)设马氏链Xn的状态空间I=1,2,3,4,5,转移矩阵为P,试分析其闭集及不可约性。
状态3为吸收态,故3是闭集;1,4,1,4,3,1,4,2,3都是闭集;3和1,4是不可约闭集;因为I含有闭子集,故马氏链Xn不是不可约链。
例(例4.13)设状态空间I=1,2,6,转移矩阵为P,试分解此链并指出各状态的常返性及周期性。
由图知f11(3)=1,f11(n)=0,n3,所以,可见1为正常返且周期等于3.含1的基本闭集C1=k:
1k=1,3,5,从而3及5为正常返且周期等于3.同理可知6为正常返状态。
6=3/2,其周期为1,含6的基本闭集为C2=k:
6k=2,6,例(例4.13)设状态空间I=1,2,6,转移矩阵为P,试分解此链并指出各状态的常返性及周期性。
可见2是遍历状态。
由于f44
(1)=1/3,f44(n)=0,n1,故4为非常返,周期为1,于是I可分解为,例(例4.14)设不可约马氏链的状态空间C=1,2,3,4,5,6,转移矩阵为P,试对其状态空间进行分解。
例(例4.14)设不可约马氏链的状态空间C=1,2,3,4,5,6,转移矩阵为P,试对其状态空间进行分解。
由状态转移图易见各状态的周期为d=3,今固定i=1,令G0=j:
对某n0有p1,j(3n)0=1,4,6G1=j:
对某n0有p1,j(3n+1)0=3,5G2=j:
对某n0有p1,j(3n+2)0=2,例(例4.15)设Xn是例4.14中的马氏链,已知d=3,则X3n,n0的转移矩阵为,例(例4.16)设马尔可夫链的转移概率矩阵为P,求马氏链的平稳分布及各状态的平均返回时间。
解:
因为该马氏链是不可约的非周期有限状态,所以存在平稳分布。
各状态的平均返回时间分别为:
平稳分布为:
例2,留宿的车站号,显然这是一个马尔可夫链,转移概率矩阵为,设平稳分布为=j,j=1,2,3,4,5,则由,例2,解得,习题,1、设马尔可夫链的转移概率矩阵为,求此链的极限分布与平稳分布。
2、设顾客以每分钟2人的速率到达,顾客流为泊松流。
求
(1)在三分钟内无顾客到达的概率
(2)在第一分钟到第二分钟之间只有一个顾客到来的概率(3)在二分钟内到达的顾客不超过三人的概率。
解答,1、解:
它的平稳分布满足,解方程组得,即不论其初始分布如何,在经过一段时间以后,有12/62的时间过程处于状态1,有23/62的时间过程处于状态2,有18/62时间过程处于状态3.故极限分布为(21/62,23/62,18/62),解答,2、解:
设X(t),t0为顾客到达数的泊松过程,=2,
(1),
(2),(3),5、连续时间的马尔科夫链例题,例:
考虑两个状态的连续时间马尔可夫链,在转移到状态1之前在状态0停留的时间是参数为的指数变量,而在回到状态0之前它停留在状态1的时间是参数为的指数变量,求其转移概率,以及极限分布和平稳分布。
解:
由题意知,该链是一个齐次马尔可夫链,其转移概率为,例题,由定理5.3知,例题,由柯尔莫哥洛夫向前方程得,其中最后一个等式来自,因此,或,例题,于是,由于,可见c=/+,则,若记,则,例题,类似的,由对称性知,6、平稳随机过程例1白噪声,设Xn,n=0,1,2,是实的互不相关随机变量序列,且EXn=0,DXn=2,试讨论随机序列的平稳性。
解,因为:
(1)EXn=0,故随机序列的均值为常数,相关函数仅与有关,因此它是平稳随机序列。
应用:
电子发射波的波动、通信设备中电流或电压的波动,例2,设有状态连续、时间离散的随机过程X(t)=sin(2t),其中为(0,1)上均匀分布的随机变量,t只取整数值1,2,,试讨论随机过程X(t)的平稳性。
解,因此X(t)是平稳随机过程。
例2如图所示X(t)是平稳过程,分析过程Y(t)的平稳性。
解,故Y(t)是平稳过程。
例1,设X(t),tT是实均方可微过程,求其导数过程X(t),tT的协方差函数BX(s,t)。
解,例3,设有随机相位过程X(t)=acos(t+),a,为常数,为(0,2)上服从均匀分布的随机变量,试问X(t)是否为各态历经过程。
故X(t)是为各态历经过程。
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