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卢昭0806014237数学建模在经济领域中的应用
10722
0806014237
学号
学校代码
O13
密级
公开
分类号
本科毕业论文(设计)
题目
(中英文)
数学建模在经济领域中的应用
Theapplicationofmathematicalmodeling
intheeconomicfield
卢昭
作者姓名
数学与应用数学数学
专业名称
理学
学科门类
杨雪梅
成绩评定
提交论文日期
指导教师
2012年5月
摘要
本文全面系统地总结了数学经济模型的研究背景、目的、意义及其研究历史,从数学模型在经济领域中的典型例子、诺贝尔经济学奖中的数学建模、构建数学经济模型的基本步骤、典型数学经济模型的经济效益等四个方面,阐述了数学建模在经济领域中的应用现状和前景。
证明了一个重要结论:
数学建模方法在经济领域中的使用不仅在现在,也必将在未来对经济学的研究方法及经济效益实现带来前所未有积极推进作用。
关键词:
数学建模;经济;诺贝尔经济学奖
Abstract
Inthispaper,theresearchbackground,purpose,significanceandhistoryofeconomicmathematicsmodelaresummarizedcomprehensivelyandgenerally.Theapplicationstatusandprospectofmathematicaleconomicmodelareelaboratedbythefollowing:
thetypicalexamplesofmathematicaleconomicmodel,themathematicalmodelinPrizeofNobelinEconomic,thebasicstepsofmathematicaleconomicmodel,andtheeconomicbenefitsofmathematicaleconomicmodel.Animportantconclusionisproved:
Notonlyatpresent,butalsointhefuture,theapplicationofmathematicaleconomicmodelwillpromotethedevelopmentofthemethodandtherealizationofeconomicbenefitsineconomicfield.
Keywords:
mathematicalmodel;economic;PrizeofNobelinEconomic
目录
摘要I
AbstractI
目录II
前言1
1课题概述1
1.1研究课题的背景及目的1
1.2研究课题的意义1
1.3课题的研究历史2
2数学经济模型概述2
2.1数学模型2
2.1.1数学模型的内涵2
2.1.2经济学及数学经济建模3
2.1.3数学模型解决经济问题的优势3
2.2数学经济建模的价值3
2.2.1经济科学的发展需要数学建模方法的应用3
2.2.2数学建模的应用使经济研究方法更加严密4
2.3从诺贝尔经济学奖看数学建模4
2.3.1诺贝尔经济学奖4
2.3.2Klein的宏观经济模型4
2.3.3Stigler文献引证模型5
2.3.4从诺贝尔经济学奖看数学经济建模的价值6
2.4构建数学经济模型的基本步骤6
2.4.1数学经济模型建立的基本步骤6
2.4.2数学建模的过程还可以用流程图来表示:
7
2.5数学经济模型的类型7
3典型数学经济模型及其经济效益分析8
3.1生产计划问题模型8
3.2养老保险模型9
4前景展望10
谢辞11
参考文献12
前言
当今时代是一个信息高度丰富的时代,其显著特点之一就是数学的应用向一切领域渗透,进而产生了许多与数学相结合的新学科或边缘学科,如:
生物数学、经济数学和地质数学等。
而数学建模就是为了解决各种复杂问题而诞生的一种十分有效的数学手段。
当代西方经济就认为,经济学的基本研究方法,是分析经济变量之间的函数关系,建立有效的经济模型,从中引申出新的经济原则和理论进行决策和形势预测。
运用数学建模方法更好的解决经济问题、获得最佳经济效益,就是我研究这个课题的意义。
近几年来,世界各国在经济方面取得的许多成就都证明:
数学经济建模会促进经济的发展,带来现实的生产效益,并对经济决策科学化、定量化起到重要的影响作用。
如果把经济学研究中应用数学的程度分为四个等级:
特强、强、一般和弱。
则可以对获得诺贝尔经济学奖得主进行划分:
其中有56%的人可以被评为“特强”,占全体获奖者一半以上;有29%的人被评为“强”;被评为“一般”和“弱”的人共占全体获奖者的15%。
这也从一个侧面反映出数学学科于经济领域的紧密结合促使经济学研究更加发展,也反映出数学建模方法确实在实际的应用领域取得了十分丰硕的成果。
可以预测,数学向经济领域的逐渐渗透,必将使得经济研究更加深入,经济活动的目的更加容易实现。
1课题概述
1.1研究课题的背景及目的
运用数学的语言和方法,通过抽象、简化建立能近似描述和解决经济活动中的实际问题,这种解决经济问题的强有力的数学手段就是数学经济建模。
它是对客观经济事物间的空间形式和数量关系的一个近似反映。
它对经济世界的实际问题加以提炼,抽象为数学经济模型,并求出模型的解,验证模型的合理性,最终达到运用模型解释现实经济问题的目的。
从经济世界的现实来看,使用数学模型是经济问题的描述变得清晰,语言精炼;逻辑推理严密精确,可以防止漏洞和谬误,避免研究者被表面现象所蒙蔽;证明数据的数量化使得实际证明更具一般性和系统性;数学经济建模方法的使用是经济学研究者从已经有的数据中最大程度的获取有用的信息。
可以使经济研究得到以前仅靠知觉和言语描述无法或不易得到的新结论;也使得国际间对数学经济建模的交流和沟通更加便捷。
1.2研究课题的意义
将数学建模方法应用于经济领域,就是要将经济现实尽可能的简单化,其前提就是在经济理论的指导下进行,它在分析研究经济学研究变量之间的关系中是非常重的研究工具,也是经济现实和经济理论的中间环节。
数学经济建模在经济学中可以达到计算求解、分析和解决经济问题、验证理论、加工信息、明确思路的目的。
有了数学经济模型的加入,对于错综复杂的数量关系,量大面广、相互联系的经济变量间联系的分析研究就变得更加简单化、清晰化。
数学模型的研究,为经济学的研究开辟了一条宽广的大道,与此同时也促使经济学研究从定性研究向定量研究飞越,是经济学研究更富于理性,更加具有发散思维。
而数学与经济学的结合也更多地为社会创造了巨大的物质财富,使得社会科学的发展增添了动力。
在不久的将来,数学建模必将为经济学的研究及经济的发展提供更加宽广的空间。
1.3课题的研究历史
在科学技术不断发展的今天,数学建模方法在经济领域中的应用已经为经济的发展提供了一种十分得心应手的解决问题的手段。
到目前为止,数学建模已经广泛的应用于经济领域中,并且开拓和发展了许多的交叉学科,如数理经济学、计量经济学、统计经济学等,实现了数学建模在经济领域的一次大的跨越。
因为这个原因,现代经济为题的研究更加注重分析经济变量之间的函数关系,建立数学经济模型,并且从中引申出经济理论和原则,最后据此作出经济决策和预测。
就像劳埃德·雷诺兹所说:
“理论研究,简单说来,就是形成模型,从中得出逻辑预测。
”事实上,数学建模在经济领域中的应用这个课题,发展到今天已经成为一种比较完备的、能够有效解决经济问题的手段。
建立模型时,不仅要求我们去粗取精、去伪存真,找出事物内部的主要矛盾,而且要求我们在找出事物内部联系的同时,确定相应模型系统的约束条件,利用适当的数学工具刻划事物内部的数学联系,它包括概念、变量以及它们之间的数学联系。
2数学经济模型概述
2.1数学模型
2.1.1数学模型的内涵
数学模型,是对实际问题一种数学表述,是对于一个特定对象为了一个特定的目标,根据特有的内在规律,做出的一些必要的简化假设,适当的运用数学工具,得到的一个数学结构。
这个数学结构可以是数学公式、表格、算法、图表等。
建立数学模型,是运用数学的语言和方法,通过抽象、简化,建立起能近似刻划并解决实际问题的一种强有力的数学手段。
这就是数学模型,它是一种分析的方法,可以极其简单的描述现实世界的各种情况。
现实世界是有非常错综复杂的各种主要变量和次要变量构成的。
因而通过使用数学建模方法,把次要的因素排除在外,试分析更加严格更加清晰。
数学建模,就是这样把现实世界的问题加以提炼,抽象出数学模型,求出模型的解,然后验证模型的合理性,并利用该数学模型所提供的解答来解决现实问题,把这个过程叫做数学建模。
进入20世纪以来,作为数学的一种重要应用,数学建模越来越受到人们的重视。
数学在经济领域运用的首要问题是适应性或者是实践性的问题,即能否用所建立的数学模型去概括某个经济现象或者说明某个经济问题。
这样,运用数学模型就可以研究经济变量之间的变化关系,探寻其中的经济规律,用可以控制的变量得出必要的结果,从而概括出相应的经济理论假说。
2.1.2经济学及数学经济建模
经济学,是一门研究如何有效配置与管理稀缺资源的理论。
本文所涉及到的经济学是指广义的经济学,包括宏观经济学、微观经济学、金融学、市场经济学等。
所谓的数学经济建模,是指用来描述与所研究的经济现象有关的经济变量之间的依存关系的理分析方法。
简单地说,就是数学模型在经济领域中的应用。
2.1.3数学模型解决经济问题的优势
现实性,数学模型能客观地反映原型中的经济变量之间的关系;普遍性,数学模型的结构能运用于其他许多原型;简洁性,数学模型能够突出原型的主要矛盾及特征,同时忽略次要矛盾及特征;精确性,数学模型能够比较准确的刻画原型在数量方面的特征;有效性,数学模型可以多方面的刻画经济原型或可以派生出比较多的信息,而且具有多种多样的功能。
总之,数学模型在解决经济问题时发挥了数学的逻辑严谨性和思维的严密性,是经济问题的解决更加便捷和准确。
2.2数学经济建模的价值
2.2.1经济科学的发展需要数学建模方法的应用
在《经济分析基础》的中文版序言中,萨缪尔森说,不使用数理经济学方法是“不能使人超越经济科学的幼儿园的”。
在现代,经济理论工作者越来越清晰地认识到,经济理论研究中级仅靠过去普遍使用的语言文字描述方法进行思辨式推理和分析,很难保证所研究的问题的规范性和推理逻辑的统一性和严密性,自然也就很难保证研究结果的准确性、易证性和理论体系的严密性。
这就很不利于经济科学知识准确地交流和传播。
而数学建模方法的使用,能使经济学研究对象准确具体、经济变量间的关系的数量化和确保逻辑推理过程的严密性,并最终在理论上保证所得结果准确具体。
从而使所研究的经济理论建立在坚实的数学科学基础上,进而促进经济科学的不断发展。
经济年来,数学建模方法在经济领域中得到广泛的应用和发展,而且对经济学的的长足发展产生了深远的影响。
例如投入产出模型、经济控制模型、经济增长模型、博弈论模型等都是利用数学建模方法来解决或解释实际的经济问题的,它们对现代经济科学的发展做出了十分重要的贡献。
2.2.2数学建模的应用使经济研究方法更加严密
纵观经济学发展,会清楚的发现经济学的每一次重大突破,都与数学有着密切的关系。
投入与产出模型的应用,使国民经济各部门在生产过程中相互依存、相互制约的经济技术联系更加明确;最优化经济模型,是现代经济管理者在作出计划安排、资源分配和最优组合等决策时最常用到的数学工具;计量经济模型的应,使经济理论的研究有了重要的突破;在运用了博弈论之后,对不去认定性问题的分析就有了突破性的进展。
数学建模方法不断的应用于经济学的过程,强化了经济学与数学的联系。
与此同时,也在不断改变着经济理论研究者的思维方式和行为习惯,使人们的思维和行为更具严谨和定量的特性。
因为数学是最严谨的一种逻辑形式,而又有一些人在运用语言是容易逻辑不清。
这就要求经济理论工作者在论述和交流中,从以往使用语言文字描述转变为使用数学语言描述。
就是应为数学语言比较简练,表达概念时比较准确,听的人也比较容易明白。
并且数学语言具有逻辑严谨、没有歧义和容易证明的优点。
2.3从诺贝尔经济学奖看数学建模
2.3.1诺贝尔经济学奖
诺贝尔经济学奖是1968瑞典银行为庆祝建行300周年,决定从1969年起同样以诺贝尔的名义,颁发经济学奖。
这个项奖的全称是“瑞典银行为纪念阿尔弗雷德·诺贝尔的经济学奖(TheCentralBankofSwedenPrizeofNobelinEconomicSciencesinMemoryofAlfredNobel)”。
除奖金来源不同外,诺贝尔经济学奖的整个程序与其他诺贝尔奖的设置完全相同。
从诺贝尔经济学奖得主的工作看来,经济学奖的发展趋势:
日益朝着用数学表达经济内容和统计学定量化的方向发展。
并且经济科学在经济行为的数学规范和统计定量化的方向上已经越来越发展,用来解释经济增长、商情周期经济波动及各种复杂经济现象的分析工具也越来越强大。
经济学家对有关经济战略的经济关系构造数学模型的做法,已经被证明是成功的并且是有效的。
2.3.2Klein的宏观经济模型
1980年诺贝尔经济学奖授予LawrenceRKlein(克莱因),以奖励他创立的宏观经济模型,并把它应用于经济波动以及经济政策的分析。
克莱因与哥德伯格(ArthurGoldberg)两人合作完成了一套新的美国经济模型,并称其为克莱因-哥德伯格模型(Klein-Goldberg)。
克莱因在1950年发表的美国经济模型有以下六个方程:
(ⅰ)消费函数
,
(ⅱ)投资函数
,
(ⅲ)劳动需求
,
(ⅳ)恒等式
,
(ⅴ)恒等式
,
(ⅵ)恒等式
,
其中C是消费支出,I是投资支出,G是政府支出,P是利润,W是个人收入,
是政府支出,K是资本储备,T是税收,Y是税后收入,t是时间,
,
和
是随机干扰项。
C,I,W,Y,P和K是相互依赖的内生变量,其他变量是预定的外生变量,其中方包括Pt-1,Kt-1和Yt-1。
由此根据上述六个方程导出变量之间的关系。
克莱因依据的是1921-1941年的美国数据。
克莱因的早期论文主要是方法论性质的,比如他的第一个美国经济模型,只有六个变量,而后来他又提出变量数目多于六个的模型。
克莱因于1980年同中国社会科学院合办了一次计量经济的暑期研习会,从这以后,中国的访问学者也就来到费城。
尽管其进展非常有限,但为LINK建构中国模型,并维持其运作,这也算有了一个好的开始。
原来已有的中国模型,是有斯坦福大学的刘遵义(LaurenceLa)建立的。
1984年,克莱因再度造访中国,并继续讲授计量经济方法。
克莱因在中国台湾地区就建构了和LINK相容模型进行过类似的工作。
2.3.3Stigler文献引证模型
1982年诺贝尔经济学奖授予GeorgeJosephStigler,以奖励他对行业结构、市场功能和公共监管的起因和效应的系统研究。
Stigler被认为是“信息经济学”与“监管经济学”的创始人。
研究市场信息在市场中的作用,就是信息经济学的主题。
比如人在购买房屋、家用电器、汽车一类的耐用品时,会广泛收集信息,以便是自己买到最适合的商品。
Stigler就把这样的问题模型化为效用函数,这一数学观念很快就得到广泛的应用。
Stigler及其合作者对经济学家在其论文中的引证作了详细的统计分析。
其中还对1886-1925年间和1925-1969年间的数据分别做了回归分析,结果对前一时期得到
(1.68)(0.60)(1.05)(0.05)
R2=0.23,n=53。
其中圆括号中的数是t检验值,B是代表书的数量,A代表文章的数量,下标to05表示1905年以前,下标5,25表示1905-1925年间。
根据这个模型,Stigler得到一个结论:
从早起来看,书的重要性是文章的3倍。
而且R2的值很低,这说明出版物的质量所起的作用要比它的数量所起的作用大得多。
对于1925-1969年间的分析结果为
(1.28)(2.09)(0.10)(1.89)(3.37)(2.67)
R2=0.398,n=126。
根据这个模型,Stigler得到的结论是:
从早期看来文章的影响会更大,而近期的书的影响力则远远不如前者,但近期文章的影响力却在逐年上升。
2.3.4从诺贝尔经济学奖看数学经济建模的价值
从以上两位诺贝尔经济学奖得主的成绩我们可以看出,数学建模方法应用于经济领域,已经对经济领域的各个方面产生了不可估量的影响,尤其是在经济理论证明和指导实践方面取得了跨越式的发展。
将数学建模方法应用于经济领域已经是不可阻挡的趋势,并且其作用和影响也越来越受到人们的热切关注。
2.4构建数学经济模型的基本步骤
2.4.1数学经济模型建立的基本步骤
一般来说,要解决一个经济问题,建构一个合理有效的数学模型主要有一下几个步骤:
(1)分析问题
对问题所给的条件和数据进行分析,明确要解决的问题。
通过对问题的分析,明确所给的信息与那些知识有关联,判断可能用到的方法和工具,最好是能确定要解决问题的重点和关键所在。
(2)模型假设
根据问题的复杂程度、建立与求解模型所使用的条件和方法,对研究的问题进行一些必要的合理的假设。
在数学建模中,进行一些合理的假设不但能够简化问题,还可以限制求解方法和使用范围。
这也是评价一个模型的好坏的重要方法之一。
提出的模型假设,既要起到是问题简化和突出主要因素的作用,又要是问题不能过分简单或特殊,必要时需要在建立模型的过程中对已经做好的假设进行不断的修改和补充。
(3)建立模型
通过假设对要研究的问题进行简化、抽象,明确影响模型的诸因素,并找出主要因素,用数量和参数来表示这些因素。
运用相关数学知识来描述问题中变量与参数之间的数学规律,列出数学表达式、表格或图形。
对上述表达式、表格或图形进行数学处理,初步确定数学模型。
(4)模型求解
利用数学相关知识和方法,使用已知数据以及观测数据,求解模型中参数的近似值,从而初步确立模型。
在求解过程中掌握一两个数学软件(如Matlab)会使运算更加简便。
(5)模型的分析、检验和应用
对所确定的模型参数在数学上进行误差分析、模型对数据的灵敏性分析等。
还需要把所得解及其分析结果翻译回到实际问题,包括解是否合理适用,数学模型的解在实际问题中是否具有一般意义。
若误差较大或灵敏性不高,模型就必须进行调整修改,重复前面的建模过程,直到建立一个符合实际的合理有效的数学模型。
2.4.2数学建模的过程还可以用流程图来表示:
图1
2.5数学经济模型的类型
经济模型的分类可以从不同的方面来考虑。
从方法论的角度可以划分为投入产出模型、计量经济模型、最优化经济模型和数理经济模型。
按照模型的表现形式特征,可以划分为数学模型、网络模型、仿真模型、语言模型和图形模型。
还可以按照时间跨度来划分,可以分为横截面数据模型、面板数据模型、年度模型、季度模型和月份模型。
从应用的角度出发,可以划分为区域经济模型、微观经济模型、宏观经济模型、贸易模型、金融模型、能源模型和人口模型等。
由于数学的分支较多,加上各分支之间又相互渗透,又会派生出许多新的分支,所以一个给定的经济问题通常都用一个以上的数学方法对其进行描述和解释。
所及具体简历什么类型的模型,既要视问题而定,又要因人而异。
要了解自己比较熟悉和精通那些学科,这样才可以充分发挥自己的特长,也可以使建立的模型更加贴近实际。
3典型数学经济模型及其经济效益分析
3.1生产计划问题模型
一家公司计划制造两种计算机产品:
两种计算机使用相同的未处理芯片,但是其中一种使用27英寸的显示器,而另一种使用的是31英寸的显示器,除了40万元的固定费用外,每台使用27英寸显示器的计算机花费1950元,而使用31英寸显示器的计算机需要花费2250元。
制造商建议每台使用27英寸显示器的计算机零售价定为3390元,而使用31英寸的零售价为3990元。
据营销人员估计,在这些计算机的销售市场上,一种类型的计算机每多销售出一台,每台的价格就下降0.1元。
此外,两种类型的计算机的销售会互相影响:
每销售一台使用31英寸显示器的计算机,估计使用27英寸显示器的计算机的零售价会下降0.03元;每销售一台使用27英寸显示器的计算机,估计使用31英寸显示器的计算机的销售价格会下降0.04元。
现假设所有的计算机都可以销售出去,那么应该公司安排生产计划,才能时期生产利润达到最大?
(1)模型分析
这是一个优化问题,其目标是使利润最大化,要做的决策是如何安排生产计划。
即使用31英寸显示器的计算机应该生产多少台,使用27英寸显示器的计算机应该生产多少台。
有两个条件限制决策:
一种类型的计算机每多销售出一台,它的价格就会下降0.1元;一台类型的计算机的销售也会影响另一种类型计算机的销售。
(2)模型假设
①设使用27英寸显示器的计算机生产x1台,使用31英寸显示器的计算机生产x2台。
②pi为xi的零售价格,R为两种计算机的零售收入,C为计算机制造成本,P为计算机零售的总利润。
③制造的所有计算机都可以售出。
④每种类型的计算机的零售价都受自身台数以及另一种类型台数的影响,当两种类型的计算机的台数已经确定时,则两种计算机的零售价格也相应的被确定。
(3)建立模型
约束条件:
,
,
两种计算机总的零售收入:
,
两种计算机总的的制造成本:
,
于是,所求的使获利最大的目标函数为:
。
(4)求解模型
由于目标函数是一个非线性方程,故可以将该模型输入相关软件求解。
输出结果为:
,即生产4736台使用27英寸显示器的计算机,7063台使用31英寸显示器的计算机时可以使获利最大。
3.2养老保险模型
众所周知,养老保险是保险中一个非常重要的险种,一般情况下保险公司将提供不同的保险方案供投保人选择,或分析保险品种的实际投资价值。
换句话说,就是分析如果所交保险费和保险收入,按年或者按月计算实际的利率是多少?
(1)模型假设
因为缴费是按月进行的,所以这个过程可以按月进行划分。
假设投保人到第k月止所缴保费及收益的累计总额为
每月收益为r,用p,q分别表示60岁之前和之后每月缴费数和领取数,N表示停交保险费的月份,M表示停止领取保险费的月份。
(2)模型建立
在这个阶段,离散变量
的变化规律满足一下式子:
在这里
表示从投保人开始缴纳保险费以后,投保人账户上的资金数,需注意我们关心的是在第M个月时,
能否为非负数。
如果为正,则表明保险公司获得收益;否则,表明保险公司出现亏损。
当它为零时,表示保险公司既没有获得收益也没有出现亏损,即所有的收益全归投保人,把它作为投保人的实际收益。
由此可以看出,引入的变量
能够很好的刻画整个过程中资金的变化关系。
尤其是引入的收益率变量r,虽然它不是要求的投保人的收益率,但是在问题系统中必须要
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