中考数学几何模型10胡不归最值模型.docx
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中考数学几何模型10胡不归最值模型
中考数学几何模型10:
胡不归最值模型
拨开云雾―开门见山
名师点睛
在前面的最值问题中往往都是求某个线段最值或者形如PA+PB最值,除此之外我们还
可能会遇上形如“PA+kP”这样的式子的最值,此类式子一般可以分为两类问题:
(1)胡不
归问题;
(2)阿氏圆.
【故事介绍】
从前有个少年外出求学,某天不幸得知老父亲病危的消息,便立即赶路回家.根据两
点之间线段最短”,虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地,但他义无反顾踏上归途,当赶到家时,老人刚咽了气,小伙子追悔莫及失声痛哭.邻居告诉小伙子说,老人弥留之际
不断念叨着胡不归?
胡不归?
…"(胡“同何")
【模型建立】
如图,一动点
P在直线MN外的运动速度为
V1,在直线MN上运动的速度为V2,且V1 A、B为定点,点C在直线MN上,确定点 C的位置使处里的值最小. V2V1 M N 【问题分析】 ACBC=—BC&AC,记kV1,即求BC+kAC的最小值.V2VVV2V2 【问题解决】构造射线AD使彳导sin/DAN=k,即CHk,CH=kAC. AC 将问题转化为求BC+CH最小值,过B点作 BC+CH取到最小值,即BC+kAC最小. BHXAD交MN 于点C,交AD于H点,此时 B 【模型总结】 在求形如PA+kPB”的式子的最值问题中,关键是构造与kPB相等的线段,将PA+kPB”型问 题转化为PA+PC”型.而这里的PB必须是一条方向不变的线段,方能构造定角利用三角函数得到kPB的等线段. 典题探究启迪思维探究重点 例题1.如图,Z^ABC中,AB=AC=10,tanA=2,BE^AC于点E,D是线段BE上的一个动 点,则CD――BD的最小值是. 5 A 变式练习>>> 1.如图,平行四边形ABCD中,/DAB=60°,AB=6,BC=2,P为边CD上的一动点,则 PB—PD的最小值等于 2 例题2.如图,AC是圆。 的直径,AC=4,弧BA=120°,点D是弦AB上的一个动点,那 么OD 的最小值为( 变式练习>>> C,1十孝D.1W3 2.如图,AABC中,ABAC=30°且AB=AC,P是底边上的高AH上一点.若AP+BP+CP的最小值为26,则BC=. 例题3.等边三角形ABC的边长为6,将其放置在如图所示的平面直角坐标系中,其中BC边在x轴上,BC边的高OA在Y轴上.一只电子虫从A出发,先沿y轴到达G点,再沿GC到达C点,已知电子虫在Y轴上运动的速度是在GC上运动速度的2倍,若电子虫走完全程的时间最短,则点G的坐标为 变式练习>>> 3.如图,AABC在直角坐标系中,AB=AC,A(0,2/叵),C(1,0),D为射线AO上一点,一动点P从A出发,运动路径为A-D-C,点P在AD上的运动速度是在CD上的 (0— D.(0,y) A,B两点(其中点A在点B的左 C,抛物线的顶点为D(点D在点C的下方),设点B的 的长(用含m的式子表示); 侧),与抛物线的对称轴交于点横坐标为t (1)求点C的坐标及线段CD (2)直接用含t的式子表示m与t之间的关系式(不需写出t的取值范围); (3)若CD=CB.△求点B的坐标;△在抛物线的对称轴上找一点F,使BF+ELcF的值 5 最小,则满足条件的点F的坐标 变式练习>>> 4.如图1,在平面直角坐标系中将y=2x+1向下平移3个单位长度得到直线li,直线li与x轴交于点C;直线12: y=x+2与x轴、y轴交于A、B两点,且与直线li交于点D. (1)填空: 点A的坐标为,点B的坐标为; (2)直线li的表达式为; (3)在直线li上是否存在点E,使&aoe=2Saabo? 若存在,则求出点E的坐标;若不存在,说明理由. (4)如图2,点P为线段AD上一点(不含端点),连接CP,一动点H从C出发,沿线段CP以每秒I个单位的速度运动到点P,再沿线段PD以每秒a个单位的速度运动到点D后停止,求点H在整个运动过程中所用时间最少时点P的坐标. 例题5.已知抛物线y=a(x+3)(x-i)(aw0,与x轴从左至右依次相交于A、B两点,与y轴相交于点C,经过点A的直线y=-d后x+b与抛物线的另一个交点为D. (I)若点D的横坐标为2,求抛物线的函数解析式; (2)若在(I)的条件下,抛物线上存在点P,使得AACP是以AC为直角边的直角三角 形,求点P的坐标; (3)在(I)的条件下,设点E是线段AD上的一点(不含端点),连接BE.一动点Q 从点B出发,沿线段BE以每秒I个单位的速度运动到点E,再沿线段ED以每秒£上3个 单位的速度运动到点D后停止,问当点E的坐标是多少时,点Q在整个运动过程中所用时间最少? 变式练习>>> 5.如图,已知抛物线y=-Lx2+bx+c交x轴于点A(2,0)、B(-8,0),交y轴于点C,4 过点A、B、C三点的AM与y轴的另一个交点为D. (1)求此抛物线的表达式及圆心M的坐标; (2)设P为弧BC上任意一点(不与点B,C重合),连接AP交y轴于点N,请问: AP? AN是否为定值,若是,请求出这个值;若不是,请说明理由; (3)延长线段BD交抛物线于点巳设点F是线段BE上的任意一点(不含端点),连接AF.动点Q从点A出发,沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到点F,再沿线段FB以每秒个单位的速度运动到点B后停止,问当点F的坐标是多少时,点Q在整个运动过程中所用时间最少? 达标检测领 悟提升强化落实 1 1.如图,在平面直角坐标系中,点A3,13,点P为x轴上的一个动点,当AP—OPm 小时,点P的坐标为. 且/ABC=60°,点M为对角线BD(不含点B)上的 1. 一动点,则AM-BM的最小值为 2 3.如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(-1,0),B(0, -心),C(2,0),其对称轴与x轴交于点D. (1)求二次函数的表达式及其顶点坐标; (2)点M为抛物线的对称轴上的一个动点,若平面内存在点N,使得以A,B,M,N为顶 点的四边形为菱形,求点M的坐标; (3)若P为y轴上的一个动点,连接PD,求看PB+PD的最小值. 药用图 4.【问题提出】如图△,已知海岛A到海岸公路BD距离为AB的长度,C为公路BD上的酒店,从海岛A到酒店C,先乘船到登陆点D,船速为a,再乘汽车,车速为船速的n倍,点D选在何处时,所用时间最短? 【特例分析】若n=2,则时间t=。 眼,当a为定值时,问题转化为: 在BC上确定一 a2a 点D,使得坦+W的值最小.如图△,过点C做射线CM,使得ABCM=30°. a2a (1)过点D作DEACM,垂足为E,试说明: DE=岑; (2)请在图△中画出所用时间最短的登陆点D'. 【问题解决】(3)请你仿照特例分析”中的相关步骤,解决图△中的问题.(写出具体方案,如相关图形呈现、图形中角所满足的条件、作图的方法等) 【综合运用】(4)如图△,抛物线y=-? x2+_*x+3与x轴分别交于A,B两点,与y轴交于点C,E为OB中点,设F为线段BC上一点(不含端点),连接EF.一动点P从E出发,沿线段EF以每秒1个单位的速度运动到F,再沿着线段FC以每秒今个单位的速度运动到C后停止.若点P在整个运动过程中用时最少,请求出最少时间和此时点F的坐标. 5.如图,AABC是等边三角形. (1)如图1,AHABC于H,点P从A点出发,沿高线AH向下移动,以CP为边在CP 的下方作等边三角形CPQ,连接BQ.求4CBQ的度数; (2)如图2,若点D为"BC内任意一点,连接DA,DB,DC.证明: 以DA,DB,DC为边一定能组成一个三角形; (3)在 (1)的条件下,在P点的移动过程中,设x=AP+2PC,点Q的运动路径长度为 x,y的关系,并说明理由. 6.如图,已知抛物线y=-y-(x+2)(x-4)(k为常数,且k>0)与x轴从左至右依次交于A,B两点,与y轴交于点C,经过点B的直线y=-'gx+b与抛物线的另一交点为D. (1)若点D的横坐标为-5,求抛物线的函数表达式; (2)若在第一象限内的抛物线上有点P,使得以A,B,P为顶点的三角形与AABC相似, 求k的值; (3)在 (1)的条件下,设F为线段BD上一点(不含端点),连接AF,一动点M从点A出发,沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F,再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止,当点F的坐标是多少时,点M在整个运动过程中用时最少? 7.已如二次函数y=-x2+2x+3的图象和x轴交于点A、B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C, (1)如图1,P是直线BC上方抛物线上一动点(不与B、C重合)过P作PQ^x轴交直线 BC于Q,求线段PQ的最大值; (2)如图2,点G为线段OC上一动点,求BG+二CG的最小值及此时点G的坐标; 5 (3)如图3,在 (2)的条彳^下,M为直线BG上一动点,N为x轴上一动点,连接AM, MN,求AM+MN的最小值. 图1图2部 8.如图,在Rt9BC中,AACB=90°,△B=30°,AB=4,点D、F分别是边AB,BC上的动点,连接CD,过点A作AE^CD交BC于点E,垂足为G,连接GF,则GF+i-FB的 最小值是() C.茅-1 D. 9.抛物线y—x22叵X捉与x轴交于点A,B(点A在点B的左边),与y轴交于点63 C.点P是直线AC上方抛物线上一点,PF,x轴于点F,PF与线段AC交于点E;将线段 1 OB沿x轴左右平移,线段OB的对应线段是OiBi,当PE—EC的值最大时,求四边形POiBiC2 周长的最小值,并求出对应的点Oi的坐标. |y 中考数学几何模型i0: 胡不归最值 模型 名师点睛 开云雾开门见山 在前面的最值问题中往往都是求某个线段最值或者形如PA+PB最值,除此之外我们还 可能会遇上形如“PA+kP”这样的式子的最值,此类式子一般可以分为两类问题: (i)胡不 归问题; (2)阿氏圆. 【故事介绍】 从前有个少年外出求学,某天不幸得知老父亲病危的消息,便立即赶路回家.根据两 点之间线段最短”,虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地,但他义无反顾踏上归途,当赶到家时,老人刚咽了气,小伙子追悔莫及失声痛哭.邻居告诉小伙子说,老人弥留之际 不断念叨着胡不归? 胡不归? …"(胡“同何") 而如果先沿着驿道AC先走一段,再走砂石地,会不会更早些到家? 【模型建立】 如图,一动点P在直线MN外的运动速度为 V1,在直线MN上运动的速度为V2,且V1 A、B为定点,点 【问题分析】 ACBC V2V1 1 =V1 BC V1AC V2 ,记kV1,即求 V2 BC+kAC的最/」、值. 【问题解决】 构造射线AD使彳导sin/DAN=k,即CHk,AC CH=kAC. B 将问题转化为求BC+CH最小值,过B点作 BC+CH取到最小值,即BC+kAC最小. BH^AD交MN于点C,交AD于H点,此时 【模型总结】 在求形如PA+kPB”的式子的最值问题中,关键是构造与kPB相等的线段,将PA+kPB”型问 题转化为PA+PC”型.而这里的PB必须是一条方向不变的线段,方能构造定角利用三角函数得到kPB的等线段. 典题探究 迪思维探究重点 例题1.如图,AABC中,AB=AC=10,tanA=2,BE^AC于点E,D是线段BE上的一个动 -5 点,则CD-5BD的最小值是 5 A 【分析】本题关键在于处理@5bd”,考虑tanA=2,AABE三边之比为1: 2: 75,sinABE—,55 故作DHLAB交AB于H点,则DH^5BD.问题转化为CD+DH最小值,故C、D、H5 共线时值最小,此时CDDHCHBE4邪. 【小结】本题简单在于题目已经将BA线作出来,只需分析角度的三角函数值,作出垂线 DH,即可解决问题,若稍作改变,将图形改造如下: 则需自行构造%如下图,这一步正 是解决胡不归”问题关键所在. 变式练习>>> 1.如图,平行四边形ABCD中,/DAB=60°,AB=6,BC=2,P为边CD上的一动点,则 3 PB—PD的最小值等于 2 M M 33 【分析】考虑如何构造yPD”,已知/A=60°,且sin60y,故延长AD,作PHLAD 3 延长线于H点,即可得PH—PD, 2 共线时,可得PB+PH取至IJ最小值,即 将问题转化为: 求 BH的长,解直角 PB+PH最小值.当B、P、H三点 祥BH即可得BH长. 例题2.如图,AC是圆O的直径,AC=4,弧BA=120°,点D是弦AB上的一个动点,那 么OD 的最小值为( C.1十孝D. 【解答】解: ABA的度数为120°,△3=60°, △AC是直径,BC=90°,AAA=30°, #BKACA,DEABK于E,OMABKTM,连接OB. 在RtADBE中, =OD+DE, △BKAAC,△垣BE=△BAC=30°, 根据垂线段最短可知,当点E与M重合时,OD+」LbD的值最小,最小值为OM, 2 △△BAO=AABO=30°,△△OBM=60°, 在RtAOBM中, △OB=2,△OBM=60°,AOM=OB? sin60=V3,4DB+OD的最/」、值为«,故选: B. 变式练习>>> 2.如图,AABC中,ABAC=30°且AB=AC,P是底边上的高AH上一点.若AP+BP+CP 的最小值为2rL则BC=^/6^V2 【解答】解: 如图将AABP绕点A顺时针旋转60°得到4AMG.连接PG,CM. △AB=AC,AHABC,AABAP=ACAP, △PA=PA,△ABAP△^CAP(SAS),APC=PB, △MG=PB,AG=AP,△GAP=60°, △AGAP是等边三角形,NPA=PG, △FA+PB+PC=CP+PG+GM, △当M,G,P,C共线时,PA+PB+PC的值最小,最小值为线段CM的长, △AP+BP+CP的最小值为2/2,ACM=2/2, △△BAM=60°,△BAC=30°,A^MAC=90°,△AM=AC=2,作BNAAC于N.则BN=J_AB=1,AN=73,CN=2一6, △bc=W产+^卢#彳=&-血. 故答案为屈-也. 例题3.等边三角形ABC的边长为6,将其放置在如图所示的平面直角坐标系中,其中BC边在x轴上,BC边的高OA在Y轴上.一只电子虫从A出发,先沿y轴到达G点,再沿GC到达C点,已知电子虫在Y轴上运动的速度是在GC上运动速度的2倍,若电子虫 走完全程的时间最短,则点G的坐标为(0,飞). 【解答】解: 如图作GMAAB于M,设电子虫在CG上的速度为V, 电子虫走完全全程的时间 在RtAAMG中,GM=yAG, △电子虫走完全全程的时间t=^(GM+CG), 当C、G、M共线时,且CMAAB时,GM+CG最短, 此时CG=AG=2OG,易知OG= X 仇: ; 所以点G的坐标为(0,-立). 故答案为: (0,-V3). 变式练习>>> 3.如图,AABC在直角坐标系中,AB=AC,A(0,2叵,C(1,0),D为射线AO上一 A-D-C,点P在AD上的运动速度是在CD上的 D的坐标应为( C. (0—0 D.(0,乎) 解: 假设P在AD的速度为3V,在CD的速度为 总时间t= 坦+西=L(a1+CD),要使t最小, 3VVV3 3VV 因为AB=AC=3,过点B作BHAAC交AC于点 1V, 就要M+CD最小, 3\ H,交OA于D, 易证"DH△9CO,所以 ACAD 0C DH =3,所以畏=DH, 因为"BC是等腰三角形,所以 BD=CD,所以要 +CD最小,就是要DH+BD最小, 就要 B、D、H三点共线就行了. 因为AAOCA^BOD,所以a3=工2,即 OB0D 0D 所以 OD=返,所以点D的坐标应为(0, 4 2 例题4. 直线y=3■工与抛物线y= 3 (x-3)2-4m+3交于A,B两点(其中点A在点B的左 点,一动点P从A出发,运动路径为3倍,要使整个运动时间最少,则点 C,抛物线的顶点为D(点D在点C的下方),设点B的 的长(用含m的式子表示); 侧),与抛物线的对称轴交于点横坐标为t (1)求点C的坐标及线段CD (2)直接用含t的式子表示m与t之间的关系式(不需写出t的取值范围); (3)若CD=CB.△求点B的坐标;△在抛物线的对称轴上找一点F,使BF&CF的值 5 最小,则满足条件的点F的坐标是 【解答】解: (1)抛物线 y=(x—3)2—4m+3的对称轴为x=3, 令x=3,则有y= X3=4,即点C的坐标为(3,4). 抛物线y=(x-3)2-4m+3的顶点D的坐标为(3,-4m+3),△点D在点C的下方,aCDnd—(―4m+3)=4m+1. (2)△点B在直线y= 工工上,且其横坐标为t,3x (x-3)2-4m+3中,得: 4 —t=t-3 3 2-4m+3,整理,得: m= 12.11 33)△依照题意画出图形,如图1 4 所示. t+3. 过点C作CEAx轴,过点B作BE&轴交CE于点E. 4日 △直线BC的解析式为y=」"x,△BE=—CE, 由勾股定理得: BC=JcE'+BE2= CE. △CD=CB, : 图1 4 —X 3 △有4m+1= (t-3) -3),解得: 3 m=—4,或m=1. 当m=—4时, 13. ■^-=-+4X(—4)=—g 131 9 <0,不合适, △m=1,此时t= 11 13 44=6,y= xu8.故此时点 B的坐标为(6,8). 则点B的坐标为(t,gt),将点B的坐标代入抛物线y= ^3 M,连接BM、BB交抛物线对 △作B点关于对称轴的对称点B过点F作FMABC于点称轴于点N,如图2所示. △直线BC的解析式为 4 y=3 x,FMABC, △tanFCM= 4' △sinFCM=罂搭 FC5 △B、B'关于对称轴对称,ABF=BF, =BF+FM. △BF 当点B'、F、M三点共线时B'F+FM最小. ;图2 △B点坐标为(6,8),抛物线对称轴为x=3, △B'点的坐标为(0,8). 又△BM^BC,△tanZNB'F=2, 4 △NF=BN? tanAIBF=9,q △点F的坐标为(3,上;).故答案为: (3,手). 44 变式练习>>> 4.如图1,在平面直角坐标系中将y=2x+1向下平移3个单位长度得到直线li,直线li与x轴交于点C;直线12: y=x+2与x轴、y轴交于A、B两点,且与直线li交于点D. (1)填空: 点A的坐标为(-2,0),点B的坐标为(0,2); (2)直线li的表达式为y=2x-2; (3)在直线li上是否存在点E,使&aoe=2Saabo? 若存在,则求出点E的坐标;若不存在,请说明理由. (4)如图2,点P为线段AD上一点(不含端点),连接CP,一动点H从C出发,沿线段CP以每秒I个单位的速度运动到点P,再沿线段PD以每秒点个单位的速度运动到点D后停止,求点H在整个运动过程中所用时间最少时点P的坐标. /心 国图2| 【解答】解: (I)直线l2: y=x+2,令y=0,则x=-2,令y=0,则x=2,故答案为(-2,0)、(0,2); (2)y=2x+i向下平移3个单位长度得到直线li,则直线li的表达式为: y=2x-2,故: 答案为: y=2x-2 (3)ASaaoe=2Szabo,AyE=2OB=4, 将yE=4代入li的表达式得: 4=2x-2,解得: x=3,则点E的坐标为(3,4); (4)过点P、C分别作y轴的平行线,分别交过点D作x轴平行线于点H、H;HC交 BD于点P; 点H在整个运动过程中所用时间=半+提=PH+PC, 当C、P、H在一条直线上时,PH+PC最小,即为CH=6,点P坐标(1,3),故: 点H在整个运动过程中所用最少时间为6秒,此时点P的坐标(1,3). 例题5.已知抛物线y=a(x+3)(x-1)(aw0,与x轴从左至右依次相交于A、B两点,与y轴相交于点C,经过点A的直线y=-d^x+b与抛物线的另一个交点为D. (1)若点D的横坐标为2,求抛物线的函数解析式; (2)若在 (1)的条件下,抛物线上存在点P,使得AACP是以AC为直角边的直角三角 形,求点P的坐标; (3)在 (1)的条件下,设点E是线段AD上的一点(不含端点),连接BE.一动点Q 从点B出发,沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E,再沿线段ED以每秒空1个 3\ 单位的速度运动到点D后停止,问当点E的坐标是多少时,点Q在整个运动过程中所用 时间最少? 【解答】解: (1)Ay=a(x+3)(x—1), △点A的坐标为_(-3,0)、点B两的坐标大(1,0), △直线y=—S*x+b经过点A,Ab=-375, △y=-J^x-3、后,当x=2时,y=-5^/S, 则点D的坐标为(2,-5/3), △点D在抛物线上,4a(2+3)(2-1)=—忐,角图,a=W3,则抛物线的解析式为y=-6(x+3)(x-1)=-VSx2
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