二次函数的解析式.docx
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二次函数的解析式.docx
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二次函数的解析式
精锐教育学科教师辅导讲义
讲义编号
学员编号:
年级:
九年级课时数:
3
学员姓名:
辅导科目:
数学学科教师:
陈松
课题
二次函数(4-2)--二次函数的解析式
授课时间
教学目标
1、三种形形式:
一般式、配方式(顶点式)、分解式(相交式);
2、怎样根据不同的已知条件确定解析式的选取;在不同的几何背景下怎样寻找确定解析式的条件;怎样根据二次函数的图像特征确定解析式的系数特征。
教学内容
一、二次函数解析式的三种形式
1、一般式:
,图像的顶点坐标为(),对称轴是直线
2、配方式:
,图像的顶点坐标为(),对称轴是直线
3、分解式:
,图像与x轴的交点坐标是A(x1,0)、B(x2,0),对称轴是直线
下面这道题恰好可以采用三种不同形式的二次函数解析式来解,是难得一见的代数多解题。
例1、已知二次函数的图像与x轴两交点之间的距离是4,且顶点M为(-1,4),求此二次函数的解析式。
小结:
选择何种形式的解析式要根据题目的条件而定。
(1)已知图像所经过的三点坐标,用一般式;
(2)已知图像顶点坐标或对称轴,用配方式;
(3)已知图像与x轴的两个交点坐标,用分解式。
选择适当形式的解析式是求解二次函数解析式的关键。
1-1、根据下列条件,分别求出函数的解析式。
(1)已知二次函数的图像经过点A(0,-1)、B(1,0)、C(-1,2);
(2)已知抛物线的顶点为(1,-3),且与y轴交于点(0,1);
(3)已知抛物线经过A(-3,0)、B(5,0)、C(0,-3)三点。
1-2、求分别满足以下条件的二次函数的解析式。
(1)函数图像的对称轴是直线
,与x轴的一个交点坐标是(-5,0),与y轴的交点坐标是(0,
);
(2)函数图像经过(-1,1)、(0,1)两点,且函数图像最高点的纵坐标为
。
小结:
1、本题的解题关键是充分利用二次函数图像的对称性,由对称点确定对称轴方程,或由对称轴确定对称点坐标,从面挖掘出新的条件。
2、顶点是抛物线中的特殊点,起到“一个顶俩”的作用。
在下面的题目中,是否隐藏了顶点为已知点?
1-3、已知抛物线
与x轴只有一个公共点A(2,0),它与y轴的交点为B。
(1)求b、c的值;
(2)点M为线段AB的中点,某二次函数的图像经过点M、A和原点O,求这个二次函数的解析式。
小结:
根据图像的特征,分析条件的作用,灵活确定解析式形式的选取,是解此类题的关键所在。
二、几何背景下的二次函数的解析式
(一)二次函数与直线经常出现在同一个坐标平面上。
例2、在坐标平面上,O为原点,已知点A(2,2),点B、C在y轴上(点B在点C的上方),BC=8,AB=AC,直线AB交x轴于点D。
(1)求点C、D的坐标;
(2)求图像经过A、C、D三点的二次函数的解析式。
小结:
在坐标平面上含有几何背景的条件下,要求函数解析式,一般是先根据几何图形的条件求出相关点的坐标,再用待定系数法求函数解析式。
注意数形结合在这里的运用。
“三点确定一个二次函数的解析式”这句话对不对?
看看下面的问题。
2-1、已知平面直角坐标系中两点A(1,2)和B(0,3),点C在x轴上,线段AC的长是
。
(1)求点C的坐标;
(2)如果一个二次函数的图像经过A、B、C三点,求这个二次函数的解析式。
2-2、已知抛物线
与x轴的一个交点为A(-1,0)。
(1)求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标;
(2)设D是抛物线与y轴的交点,点C是抛物线上的一点,且以AB为一底的梯形ABCD的面积为9,求此抛物线的表达式。
小结:
利用二次函数图像的对称性可知,如果横坐标分别为x1和x2的两点A、B关于直线x=m对称,那么
.若已知x1,则
。
因此在A、B两点中,可以从其中一点的坐标求出它的对称点的坐标(其中纵坐标不变)。
(二)二次函数的图像与锐角三角比
三、解析式系数特征的确定
根据函数图像的特征来确定系数a、b、c,以及由a、b、c组成的代数式的符号,是对二次函数解析式的进一步解读。
例3、已知二次函数
的图像如图所示,试确定以下各式的符号:
3-1、已知几个二次函数
,它们的图像分别如以下各图所示,其中系数a、b、c的符号都相同的是()(缺图P123)
3-2、如果二次函数
的图像如图所示,
那么点(ab,b-c)第象限。
3-3、二次函数
的图像可能是()
(缺图P123)
本节内容小结:
1、二次函数的解析式的三种形式
2、在特殊情况下,二次函数的解析式可采用简化形式,如:
(1)已知抛物线对称轴是y轴(或顶点在y轴上),可设解析式为
(2)已知抛物线顶点在x轴上,可设解析式为
(3)已知抛物线经过原点,可设解析式为(一般式)或(分解式)
(4)若抛物线顶点在原点,可设解析式为
3、可以根据图像性质,适当转化条件,确定最佳求解析式的方案,如:
(1)已知抛物线的对称轴以及与x轴一个交点的坐标,可根据对称性求出抛物线与x轴的另一个交点的坐标,从而采用分解式;
(2)已知抛物线上有两点的纵坐标相同,若设为(x1,y)、(x2,y),则这两点肯定是关于抛物线的对称轴对称,因而可以得到抛物线的对称轴方程为
,从而采用配方式;
(3)已知抛物线的对称轴方程以及在x轴上截得的线段长,可求出与x轴两交点的坐标,从而采用分解式;或已知抛物线在x轴上截得的线段长及x轴一个交点的坐标,可求出与x轴的另一个交点的坐标(注意有两解),从而采用分解式,等等。
精练12+1:
1、若二次函数
的图像如图所示,则a0,b0.
第1题第2题
2、小强从如图所示的二次函数
的图像中,观察得出了下面六条信息:
(1)a<0;
(2)c>1;(3)b>0;(4)a+b+c>0;(5)a-b+c>0;(6)2a+b>0
你认为其中正确的信息有(填序号)
3、已知二次函数
的y与x的部分对应值如下表:
x
…
-1
0
1
2
…
y
…
-5
1
3
1
…
下列判断中,正确的有(填序号)
(1)抛物线开口向下;
(2)抛物线的顶点为(1,3);
(3)当x>3时,y<0;
(4)方程
有两个相等的实数根。
4、已知
是二次函数,a的取值范围是
5、若某二次函数图像的顶点在原点,且经过点(2,1),则此二次函数的解析式是
6、已知抛物线
的对称轴为直线x=1,且与x轴的一个交点为(3,0),则此抛物线的
表达式是
7、已知抛物线
经过点(2,0),且与y轴交于点B,若OB=1,则该二次函数解析式中,一次项系数b为
8、抛物线
的对称轴是直线x=2,则该抛物线的顶点坐标是
9、对于任意实数x,二次函数
的值总满足y≥1,则m的值至少等于
10、已知二次函数的图像经过(0,-1)、(1,-3)、(-1,3)三点,求这个二次函数的解析式、顶点坐标,并画出图像。
11、已知二次函数
的图像经过点(0,3)和(1,3)。
(1)求此函数的解析式;
(2)将此函数的图像沿y轴方向平移(向上或向下)多少个单位可以使其图像经过坐标原点?
12、已知二次函数
的图像经过点A(1,0)、C(0,-3),与x轴的另一个交点为点B,△ABC的面积为6,求二次函数的解析式。
+1、如图,二次函数
的图像如图所示,点A0位于坐标原点,点A1,A2,A3,...,A2012在y轴的正半轴上,点B1,B2,B3...,B2012在二次函数
位于第一象限的图像上,若△A0B1A1,△A1B2A2,△A2B3A3…,△A2011B2012A2012都为等边三角形,求△A2011B2012A2012的边长。
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- 二次 函数 解析