名师点睛九年级数学 中考综合题练习题512含答案.docx
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名师点睛九年级数学中考综合题练习题512含答案
2017年九年级数学中考综合题练习
2017.5.12
1、某校八年级举行英语演讲比赛,派了两位老师去学校附近的超市购买笔记本作为奖品.经过了解得知,该超市的A,B两种笔记本的价格分别是12元和8元,他们准备购买这两种笔记本共30本.
(1)如果他们购买奖品共花费了300元,则这两种笔记本各买了多少本?
(2)两位老师根据演讲比赛的设奖情况,决定所购买的A种笔记本的数量要不少于B种笔记本数量,但又不多于B种笔记本数量2倍,如果设他们买A种笔记本n本,买这两种笔记本共花费
元.
①请写出W(元)关于n(本)的函数关系式,并求出自变量n的取值范围;
②请你帮他们计算购买这两种笔记本各多少时,花费最少,此时的花费是多少元?
2、某校为实施国家“营养早餐”工程,食堂用甲、乙两种原料配制成某种营养食品,已知这两种原料的维生素C含量及购买这两种原料的价格如下表:
维生素C及价格
甲种原料
乙种原料
维生素C(单位/千克)
600
400
原料价格(元/千克)
9
5
现要配制这种营养食品20千克,要求每千克至少含有480单位的维生素C.设购买甲种原料x千克.
(1)至少需要购买甲种原料多少千克?
(2)设食堂用于购买这两种原料的总费用为y元,求y与x的函数关系式.并说明购买甲种原料多少千克时,总费用最少?
3、为了响应国家节能减排的号召,鼓励市民节约用电,我市从2012年7月1日起,居民用电实行“一户一表”的“阶梯电价”,分三个档次收费,第一档是用电量不超过180千瓦时实行“基本电价”,第二、三档实行“提高电价”,具体收费情况如右折线图,请根据图象回答下列问题;
(1)当用电量是180千瓦时时,电费是 元;
(2)第二档的用电量范围是 ;
(3)“基本电价”是 元/千瓦时;
(4)小明家8月份的电费是328.5元,这个月他家用电多少千瓦时?
4、如图,直径为10的半圆O,tan∠DBC=0.75,∠BCD平分线交⊙O于F,E为CF延长线上一点,且∠EBF=∠GBF.
(1)求证:
BE为⊙O切线;
(2)求证:
BG2=FG∙CE;;
(3)求OG的值.
5、如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以点A为圆心,AC为半径,作☉A,交AB于点D,交CA的延长线于点E,过点E作A.B的平行线EF交OA于点F,连接AF,BF,DF.
(l)求证:
△ABC≌△ABF;
(2)填空:
①当∠CAB= °时,四边形ADFE为菱形;
②在①的条件下,BC= cm时,四边形ADFE的面积是6
cm2.
6、如图,已知⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆,OD∥BC,交⊙O于点D,交AC于点E,连接BD,BD交AC于点F,延长AC到点P,连接PB.
(1)若PF=PB,求证:
PB是⊙O的切线;
(2)如果AB=10,cos∠ABC=0.6,求CE的长度.
7、菱形ABCD中,两条对角线AC,BD相交于点O,∠MON+∠BCD=180°,∠MON绕点O旋转,射线OM交边BC于点E,射线ON交边DC于点F,连接EF.
(1)如图1,当∠ABC=90°时,△OEF的形状是 ;
(2)如图2,当∠ABC=60°时,请判断△OEF的形状,并说明理由;
(3)在
(1)的条件下,将∠MON的顶点移到AO的中点O′处,∠MO′N绕点O′旋转,仍满足∠MO′N+∠BCD=180°,射线O′M交直线BC于点E,射线O′N交直线CD于点F,当BC
=4,且S△O/EF:
S四边形ABCD=9:
8时,直接写出线段CE的长.
8、问题:
如图
(1),在Rt△ACB中,∠ACB=90°,AC=CB,∠DCE=45°,试探究AD、DE、EB满足的等量关系.
[探究发现]
小聪同学利用图形变换,将△CAD绕点C逆时针旋转90°得到△CBH,连接EH,由已知条件易得∠EBH=90°,∠ECH=∠ECB+∠BCH=∠ECB+∠ACD=45°.
根据“边角边”,可证△CEH≌ ,得EH=ED.
在Rt△HBE中,由 定理,可得BH2+EB2=EH2,由BH=AD,可得AD、DE、EB之间的等量关系是 .
[实践运用]
(1)如图
(2),在正方形ABCD中,△AEF的顶点E、F分别在BC、CD边上,高AG与正方形的边长相等,求∠EAF的度数;
(2)在
(1)条件下,连接BD,分别交AE、AF于点M、N,若BE=2,DF=3,BM=2
,运用小聪同学探究的结论,求正方形的边长及MN的长.
9、如图,已知在平面直角坐标系中,点A(4,0)是抛物线y=ax2+2x﹣c上的一点,将此抛物线向下平移6个单位后经过点B(0,2),平移后所得的新抛物线的顶点记为C,新抛物线的对称轴与线段AB的交点记为P.
(1)求平移后所得到的新抛物线的表达式,并写出点C的坐标;
(2)求∠CAB的正切值;
(3)如果点Q是新抛物线对称轴上的一点,且△BCQ与△ACP相似,求点Q的坐标.
10、如图,已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0),直线y=x+m与该二次函数的图象交于A、B两点,其中A点的坐标为(3,4),B点在轴y上.
(1)求m的值及这个二次函数的关系式;
(2)P为线段AB上的一个动点(点P与A、B不重合),过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E点,设线段PE的长为h,点P的横坐标为x,求h与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(3)D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点,在线段AB上是否存在一点P,使得四边形DCEP是平行四形?
若存在,请求出此时P点的坐标;若不存在,请说明理由.
参考答案
1、解:
(1)设A种笔记本买了n本,则B种笔记本买了(30-n)本,
由题意得
,解得
,∴A、B种笔记本均为15本.
(2)由题意可知:
.
又∵
种笔记本不少于
种笔记本,又不多于
种笔记本的2倍,
∴
,解得:
15≤n≤20,∴
(15≤n≤20).
∵k=4>0,∴w随x的增大而增大,∴当n=15时,w取到最小值为300元.
2、解:
(1)依题意,得
解得
∴至少需要购买甲种原料8千克.
(2)
∴
∵
∴
随
的增大而增大.
∵
,∴当算
时,
最小.
∴购买甲种原料8千克时,总费用最少.
3、解:
(1)由函数图象,得当用电量为180千瓦时,电费为:
108元.故答案为:
108;
(2)由函数图象,得设第二档的用电量为x千瓦时,则180<x≤450.故答案为:
180<x≤450;
(3)基本电价是:
108÷180=0.6;故答案为:
0.6
(4)设直线BC的解析式为y=kx+b,由图象,得
,解得:
,
y=0.9x﹣121.5.y=328.5时,x=500.答:
这个月他家用电500千瓦时.
4、证明:
(1)由同弧所对的圆周角相等得∠FBD=∠DCF,
又∵CF平分∠BCD,∴∠BCF=∠DCF,已知∠EBF=∠GBF,∴∠EBF=∠∠BCF,
∵BC为⊙O直径,∴∠BFC=90°,∴∠FBC+∠FCB=90°,
∴∠FBC+∠EBF=90°,∴BE⊥BC,∴BE为⊙O切线;
(2)证明:
由
(1)知∠BFC=∠EBC=90°,∠EBF=∠ECB,∴△BEF∽△CEB,
∴
,又∠EBF=∠GBF,BF⊥EG,∴△BEF≌△BGF,
∴BE=BG,EF=FG,∴
;
(3)如图,过G作GH⊥BC于H,由已知CF平分∠BCD得GH=GD,
又由tan∠DBC=
得sin∠DBC=
,∵BC=10,∴BD=8,BG=BD-GD=8-GD,
∴
,∴GD=GH=3,BG=5,BH=4,
∵BC=10,∴OH=OB-BH=1,在Rt△OGH中,由勾股定理得OG=
.
5、
(1)证明:
∵EF∥AB,∴∠E=∠CAB,∠EFA=∠FAB,∵∠E=∠EFA,∴∠FAB=∠CAB,
在△ABC和△ABF中,
∴△ABC≌△ABF(SAS);
(2)①60°,②6.
6、
(1)证明:
如图,∵OB=OD,∴∠OBD=∠ODB.
又∵OD∥BC,∴∠CBD=∠ODB.∴∠CBD=∠OBD.∵PF=PB,∴∠PFB=∠PBF,
又∵AB是圆O的直径,∴∠ACB=90°,即∠BCF=90°,
∴∠PFB+∠CBD=90°,∴∠PBF+∠OBD=90°.又∵AB是直径,∴PB是⊙O的切线;
(2)解:
∵AB=10,cos∠ABC=
,∠ACB=90°,∴
=
,即
=
,则AC=6.
又∵OD∥BC,点O是AB的中点,∴OD垂直平分AC.则CE=
AC=3.
7、
(1)△OEF是等腰直角三角形;证明:
如图1,∵菱形ABCD中,∠ABC=90°,
∴四边形ABCD是正方形,∴OB=
OC,∠BOC=90°,∠BCD=90°,∠EBO=∠FCO=45°,
∴∠BOE+∠COE=90°,∵∠MON+∠BCD=180°,∴∠MON=90°,
∴∠COF+∠COE=90°,∴∠BOE=∠COF,
在△BOE与△COF中,
,∴△BOE≌△COF(ASA),
∴OE=OF,∴△OEF是等腰直角三角形;故答案为等腰直角三角形;
(2)△OEF是等边三角形;证明:
如图2,过O点作OG⊥BC于G,作OH⊥CD于H,
∴∠OGE=∠OGC=∠OHC=90°,∵四边形ABCD是菱形,∴CA平分∠BCD,∠ABC+BCD=180°,
∴OG=OH,∠BCD=180°﹣60°=120°,∵∠GOH+∠OGC+∠BCD+∠OHC=360°,
∴∠GOH+∠BCD=180°,∴∠MON+∠BCD=180°,∴∠GOH=∠EOF=60°,
∵∠GOH=∠GOF+∠FOH,∠EOF=∠GOF+∠EOG,∴∠EOG=∠FOH,
在△EOG与△FOH中,
,∴△EOG≌△FOH(ASA),∴OE=OF,
∴△OEF是等边三角形;
(3)证明:
如图3,∵菱形ABCD中,∠ABC=90°,∴四边形ABCD是正方形,
∴
=
,过O点作O′G⊥BC于G,作O′H⊥CD于H,∴∠O′GC=∠O′HC=∠BCD=90°,
∴四边形O′GCH是矩形,∴O′G∥AB,O′H∥AD,∴
=
=
=
,
∵AB=BC=CD=AD=4,∴O′G=O′H=3,∴四边形O′GCH是正方形,∴GC=O′G=3,∠GO′H=90°
∵∠MO′N+∠BCD=180°,∴∠EO′F=90°,∴∠EO′F=∠GO′H=90°,
∵∠GO′H=∠GO′F+∠FO′H,∠EO′F=∠GO′F+∠EO′G,∴∠EO′G=∠FO′H,
在△EO′G与△FO′H中,
,∴△EO′G≌△FO′H(ASA),
∴O′E=O′F,∴△O′EF是等腰直角三角形;
∵S正方形ABCD=4×4=16,
=
,∴S△O′EF=18,∵S△O′EF=
O′E2,∴O′E=6,
在RT△O′EG中,EG=
=
=3
,∴CE=CG+EG=3+3
.
根据对称性可知,当∠M′ON′旋转到如图所示位置时,CE′=E′G﹣CG=3
﹣3.
综上可得,线段CE的长为3+3
或3
﹣3.
8、解:
根据“边角边”,可证△CEH≌△CDE,得EH=ED.
在Rt△HBE中,由勾股定理,可得BH2+EB2=EH2,
由BH=AD,可得AD、DE、EB之间的等量关系是AD2+EB2=DE2;
故答案为:
△CDE;勾股;AD2+EB2=DE2;
(1)在Rt△ABE和Rt△AGE中,
,∴Rt△ABE≌Rt△AGE(HL),
∴∠BAE=∠GAE,同理,Rt△ADF≌Rt△AGF,∴∠GAF=∠DAF,
∵四边形ABCD是正方形,∴∠BAD=90°,∴∠EAF=
∠BAD=45°;
(2)由
(1)知,Rt△ABE≌Rt△AGE,Rt△ADF≌Rt△AGF,∴BE=EG=2,DF=FG=3,则EF=5,
设AG=x,则CE=x﹣2,CF=x﹣3,∵CE2+CF2=EF2,∴(x﹣2)2+(x﹣3)2=52,
解这个方程,得x1=6,x2=﹣1(舍去),∴AG=6,∴BD=
,∴AB=6,
∵MN2=MB2+ND2设MN=a,则
,
所以a=
,即MN=
.
9、解:
(1)点B(0,2)向上平移6个单位得到点B'(0,8),
将A(4,0),B'(0,8)分别代入y=ax2+2x﹣c,得
,解得
,∴原抛物线为y=﹣x2+2x+8,
向下平移6个单位后所得的新抛物线为y=﹣x2+2x+2,∴顶点C的坐标为(1,3);
(2)如图2,由A(4,0),B(0,2),C(1,3),得AB2=20,AC2=18,BC2=2,
∴AB2=AC2+BC2,∴∠ACB=90°,∴tan∠CAB=
=
=
;
(3)如图3,设抛物线的对称轴x=1与x轴交于点H,
由
=
=
,得PH=
AH=
,∴P(1,
),
由HA=HC=3,得∠HCA=45°,∴当点Q在点C下方时,∠BCQ=∠ACP,
因此△BCQ与△ACP相似分两种情况:
①如图3,当
=
时,
=
,解得CQ=4,此时Q(1,﹣1);
②如图4,当
=
时,
=
,解得CQ=
,此时Q(1,
).
10、
(1)∵点A(3,4)在直线y=x+m上,∴4=3+m.∴m=1.
设所求二次函数的关系式为y=a(x-1)2.
∵点A(3,4)在二次函数y=a(x-1)2的图象上,∴4=a(3-1)2,∴a=1.
∴所求二次函数的关系式为y=(x-1)2.即y=x2-2x+1.
(2)设P、E两点的纵坐标分别为yP和yE.∴PE=h=yP-yE=(x+1)-(x2-2x+1)=-x2+3x.
即h=-x2+3x(0<x<3).
(3)存在.要使四边形DCEP是平行四边形,必需有PE=DC.∵点D在直线y=x+1上,
∴点D的坐标为(1,2),∴-x2+3x=2.即x2-3x+2=0.解之,得x1=2,x2=1(不合题意,舍去)
∴当P点的坐标为(2,3)时,四边形DCEP是平行四边形.
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